第03章 圆的基本性质 章节（20知识点回顾+40题型练习）核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025－2026学年九年级上册数学（浙教版）

第03章 圆的基本性质 章节（20知识点回顾+40题型练习） 题型汇聚 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求过圆内一点的最长弦 题型三 判断点与圆的位置关系 题型四 利用点与圆的位置关系求半径 题型五 三角形外接圆的概念辨析 题型六 求特殊三角形外接圆的半径 题型七 确定圆心(尺规作图) 题型八 判断生活中的旋转现象 题型九 找旋转中心、旋转角、对应点 题型十 根据旋转的性质求解 题型十一 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型十二 画旋转图形 题型十三 求旋转对称图形的旋转角度 题型十四 线段问题(旋转综合题) 题型十五 角度问题(旋转综合题) 题型十六 利用垂径定理求值 题型十七 垂径定理的推论 题型十八 垂径定理的实际应用 题型十九 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型二十 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型二十一 圆周角定理 题型二十二 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型二十三 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型二十四 90度的圆周角所对的弦是直径 题型二十五 已知圆内接四边形求角度 题型二十六 求四边形外接圆的直径 题型二十七 求正多边形的中心角 题型二十八 正多边形和圆的综合 题型二十九 尺规作图——正多边形 题型三十 求弧长 题型三十一 求扇形半径 题型三十二 求圆心角 题型三十三 求某点的弧形运动路径长度 题型三十四 求扇形面积 题型三十五 求弓形面积 题型三十六 求其他不规则图形的面积 题型三十七 求图形旋转后扫过的面积 题型三十八 求能确定的圆的个数 题型三十九 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型四十 利用垂径定理求解其他问题 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点3．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点4．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点5．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点6．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点7．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点8．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 知识点9．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点10．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 知识点11．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点12．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点13．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点14．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点15．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点16．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　 （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　 　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 知识点17．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点18．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点19．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点20．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型练习 题型一 圆的基本概念辨析 1．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，圆的基本性质，由勾股定理得到，由题意得到，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点B为圆心，为半径画弧交边于点P， ∴， ∴， 故选：D． 题型二 求过圆内一点的最长弦 2．（九年级上·浙江湖州·期中）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（    ） A．2 B．5 C．9 D．11 【答案】D 【知识点】求过圆内一点的最长弦 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】解：因为圆中最长的弦为直径， 所以弦长≤10． ∴的长度不可能是11； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜ｌ≤10． 题型三 判断点与圆的位置关系 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（   ） A．P B．M C．N D．Q 【答案】D 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵的半径为，，，，， ∴，，,， ∴点P、M在圆内，N在圆上，Q在圆外． 故选：D． 题型四 利用点与圆的位置关系求半径 4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）若的半径是，点在圆外，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系判断方法求解即可． 【详解】解：的半径是，点在圆外， ∴， 故选：D． 题型五 三角形外接圆的概念辨析 5．（九年级上·浙江温州·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）若M是第一象限内线段上任意一点（不与B，C重合），轴于点H，与二次函数的图象交于点P，连接．设点M的横坐标为t，当是直角三角形时，求点M的坐标． （3）如图，若M是直线上任意一点，N是x轴上任意一点，且．以N为旋转中心，将逆时针旋转，使M落在Q点连接，则线段的最值为_______．（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）或；（3）最小值为，最大值为 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、二次函数综合 【分析】（1）根据A、B坐标，利用待定系数法求解； （2）求出BC表达式，分∠CPM=90°和∠PCM=90°两种情况分别求解； （3）作的外接圆⊙，连接，，，，过点作于点，过点作交的延长线于，分析出当Q，O′，B，三点共线时，BQ可取得最值，再求解． 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：， ∴，得， ∴． （2）令，， ∴点坐标为， 设直线BC解析式为：， ，解得， ∴， ∵点的横坐标为， ∴点坐标为， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则轴，是等腰直角三角形， ∴． 设点坐标为， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴点坐标为， 当时，则， 过作于，则轴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴点坐标为， 综上所述，点坐标为或． （3）作的外接圆⊙，连接，，，，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作交的延长线于， ∵， ∴， ∵MN绕点逆时针旋转得到NQ， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形QKGN是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴当且仅当，，三点共线时，BQ取得最值， 即， ∴， ∴线段BQ的最小值为，线段BQ的最大值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，还涉及外接圆的性质，待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，难度较大，解题时要结合图形，画出辅助线，解题的关键是根据三点共线得到取最值时的情况． 题型六 求特殊三角形外接圆的半径 6．（九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知等边△ABC． （1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆； （2）若AB＝2，求△ABC的外接圆半径R． 【答案】（1）见解析；（2）2． 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径 【分析】（1）作∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于O点，然后以O点为圆心，OB为半径画圆即可； （2）延长AO交BC于H，如图，根据等边三角形的性质得到AH⊥BC，BH＝CH＝，∠OBH＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB即可． 【详解】解：（1）如图，⊙O为所作； （2）延长AO交BC于H，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴AH⊥BC，BH＝CH＝ BC＝AB＝，∠OBH＝30°， ∴ ， ∴OH＝BH＝1， ∴OB＝2OH＝2， 即△ABC的外接圆半径R为2． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外接圆，熟练掌握三角形的三条内角平分线的交点是三角形外接圆的圆心是解题的关键． 题型七 确定圆心(尺规作图) 7．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，是一个圆拱形模型． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】确定圆心(尺规作图)、用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查确定圆心的画法、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，正确确定圆心位置是解答的关键． （1）作线段的垂直平分线交圆拱形于点C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求作； （2）连接，设圆的半径为，根据题意和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求作： （2）解：连接，设圆的半径为， 由题意，，，， 在中，由勾股定理得， 则，解得， 即圆拱形所在圆的半径为， 故答案为：5． 题型八 判断生活中的旋转现象 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列运动形式属于旋转的是（   ） A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．运动员掷出的标枪 【答案】A 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】此题主要考查了旋转的定义，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义得出结论即可． 【详解】由题意知，荡秋千属于旋转， 故选：A． 题型九 找旋转中心、旋转角、对应点 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形网格中每个方格边长为1，和的顶点均在格点上，并且是由旋转得到的．根据所给信息，填空： (1)旋转中心为点　 　、旋转角的度数为　 　、旋转方向为　 　（顺时针或逆时针）； (2)连结，则四边形的形状是　 　，面积是　 　． 【答案】(1)C、90、顺时针 (2)平行四边形；16 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的判定： （1）由图形可直接求解； （2）由旋转的性质及图形可得，，可得，即可求解． 【详解】（1）解：由图形可知：旋转中心为点C，旋转角的度数为，旋转方向为顺时针， 故答案为：C、90、顺时针； （2）解：由图形可知：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 面积为：， 故答案为：平行四边形；16． 题型十 根据旋转的性质求解 10．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，则的大小是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由旋转可得，，，即得，再根据三角形外角性质即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型十一 根据旋转的性质说明线段或角相等 11．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，    (1)如图1，证明：平分； (2)如图2，与交于点，若，，求的度数； (3)如图3，连接，若，，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据旋转的性质得出，根据题意可得，根据等边对等角得出，等量代换可得，即可得证； （2）设，根据等边对等角以及三角形外角的性质得出，根据，列出方程，即可求解； （3）根据旋转的性质得出，进而得出，勾股定理的逆定理得出，进而得出，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转得： 由题意得：， ， ， 平分； （2）设，则， ， ， ， ， ． （3）解：由旋转可得：， ， , ∵，， ， 是直角三角形，且， , ， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，综合运用以上知识是解题的关键． 题型十二 画旋转图形 12．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为，， ，把△绕点按顺时针方向旋转后得到△．（每个方格的边长均为个单位） (1)画出△并直接写出：的坐标为 ． (2)判断直线与直线的位置关系为 ． 【答案】(1)图见解析， (2)垂直 【知识点】画旋转图形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质和旋转作图，点的坐标，掌握旋转的作图方法是解题关键． （1）按照旋转的定义作图即可，由图即可得坐标； （2）由旋转性质：对应线段所在的直线所交的角等于旋转角度可得结论． 【详解】（1）解：如图，点坐标为 故答案为：； （2）解：∵把绕点按顺时针方向旋转后得到， ∴直线与直线的位置关系为垂直． 故答案为：垂直． 题型十三 求旋转对称图形的旋转角度 13．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】根据图形的对称性，用除以6计算即可得解． 【详解】∵， ∴旋转角是的整数倍， ∴这个角的度数可以是， 故选：C 【点睛】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 题型十四 线段问题(旋转综合题) 14．（2023·浙江金华·一模）如图，已知和为等腰直角三角形，，，，连接、．在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时， ． 【答案】或 【知识点】线段问题(旋转综合题)、根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形 【分析】①当点在点上方时，先判断出四边形是矩形，求出，再根据勾股定理求出，，得出； ②当点在点下方时，同①的方法得，，，进而得出，即可得出结论． 【详解】∵为等腰直角三角形，， ， ①当点在点上方时，如图③， 过点作交的延长线于， 当时，可证， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， 在中，根据勾股定理得，， ． ②当点在点下方时，如图④ 同①的方法得，，， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，正方形和矩形的性质与判定，解题的关键是能够根据题意进行分情况讨论． 题型十五 角度问题(旋转综合题) 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）将二次函数绕顶点旋转后的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】角度问题(旋转综合题)、其他问题(实际问题与二次函数)、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】将函数图象绕其顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将二次函数绕顶点旋转后，得到， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解题的关键． 题型十六 利用垂径定理求值 16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在半径为的中，弦，为的中点，为上点，于点，于点，连结．若，则 ，四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 连接、，连接并延长，交于，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，进而求出，证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接、，连接并延长，交于， 为 的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：，． ， 题型十七 垂径定理的推论 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）作图题，根据要求作出以下图形： (1)在图1网格中直接画出绕点逆时针旋转的图形； (2)在图2中，已知线段，尺规作图作出经过，两点的所有圆中最小的圆．（要求保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【知识点】画旋转图形、垂径定理的推论、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查图形的旋转变换，垂径定理推论的运用，理解旋转的概率及性质，垂直平分弦的直线经过圆心，掌握旋转的性质，垂径定理的推论是解题的关键． （1）根据旋转的性质，绕点逆时针旋转的图形，对应边相互垂直，由此即可作图； （2）根据垂直平分弦的直线经过圆心，即圆心在线段的垂直平分线上，当线段是直径时，圆最小，由此即可作图． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下， ∴即为所求图形； （2）解：根据垂直平分弦的直线经过圆心， 分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧交于点； 连接与交于点，并向两边无限延伸； 以点为圆心，以画圆，得与直线交于点，此时直径为； 以点为圆心，以画圆，得与直线交于点，此时半径为，且； 以此类推，作图如下， ∴当线段是直径时，圆最小． 题型十八 垂径定理的实际应用 18．（24-25九年级上·浙江温州·期中）图1是建在溪边的一部水车，是水车旋转中心，水车上的两个竹筒，到的距离相等，当，离地高度相等时（如图2），水平距离为3米，当转动到最低位置时，它的高度下降了0.5米，也随之转动到的位置，此时的高度上升了 米． 【答案】1.3 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了勾股定理，生活中的旋转现象，垂径定理，设与相交于点C，过点作，垂足为D，根据题意可得：米，米，，米，然后设米，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算可得：米，最后设米，则米，在和中，利用勾股定理可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：设与相交于点C，过点作，垂足为D， 由题意得，米，米， ∵当转动到最低位置时， ∴， （米），， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得：， ∴米， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴米， ∴（米）， ∴此时B的高度上升了1.3米， 故答案为：1.3． 题型十九 利用弧、弦、圆心角的关系求解 19．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想： 小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则． 小江：若AB＝2BC，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由见解析． 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系进行解答即可． 【详解】证明：小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由： 小滨：如图1，作的平分线， ∵是的平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴， 即＝2； 小江：如图2，取的中点E，连接并延长交于点D，由垂径定理可知，， ∴， ∵，即，而， ∴， ∴， ∴2． 【点睛】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系是正确解答的关键． 题型二十 利用弧、弦、圆心角的关系求证 20．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． (1)求证． (2)若E为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理： （1）根据，得到，等角对等弧，即可得证； （2）等弧对等弦，得到，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴． 题型二十一 圆周角定理 21．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到，得出，即可得到答案． 【详解】如图，连接， 是的中点， ， ， ， 故选：A． 题型二十二 同弧或等弧所对的圆周角相等 22．（24-25九年级上·浙江金华·期末）图①，图②均是的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上．仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法） (1)如图①，已知经过点B，作出所在圆的圆心O． (2)在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析（画出一个即可） 【知识点】线段垂直平分线的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等、判断三角形外接圆的圆心位置、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、轴对称的性质、平行四边形的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）利用网格特点，作出的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心； （2）根据轴对称的性质和平行四边形的性质找出格点、或作出的外接圆，根据圆周角定理找出格点即可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． ． （2）解：如图，点即为所求（画出一个即可）． ． 题型二十三 半圆（直径）所对的圆周角是直角 23．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，已知，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟知直径所对的圆周角是直角及同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 连接，由为的直径可知，由可得，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， 故选：C． 题型二十四 90度的圆周角所对的弦是直径 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点O且与两坐标轴分别交于点、点，点M是的中点 ． (1)求的半径以及点M的坐标； (2)如图，抛物线的图象过点；一次函数的图象过点B、M，利用图象，直接写出不等式的解． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据交点确定不等式的解集、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】（1）连结，，交于点E，得等于，为直径，由勾股定理可得， ，即可求半径，由是的中点，得，由勾股定理求出，即可求点M的坐标； （2）根据两图象交点的横坐标即可写出不等式的解． 【详解】（1）解：连结， 等于， 为直径， 点、点， ， 由勾股定理可得，，       ， 连结， 是的中点， ， ， 在中，由勾股定理， ， ； （2）解：当时，即二次函数的图象在一次函数图象的下方； 由点，可得不等式的解为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到圆的基本知识，主要利用图象解不等式，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，并运用方程和数形结合的思想解决问题，题目综合性较强． 题型二十五 已知圆内接四边形求角度 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，线段是的直径，点是上一点，设．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理和圆内接四边形的性质推出．由垂径定理推出，得到，由圆内接四边形的性质推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质推出，求出，得到，由三角形的外角性质推出． 【详解】解：∵直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型二十六 求四边形外接圆的直径 26．（九年级上·浙江湖州·期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在这个圆面上随意抛一粒豆子（豆子大小忽略不计），若豆子落在正方形ABCD内的概率记为P1，豆子落在图中阴影部分内的概率记为P2，则对P1和P2的大小判断正确的是（　　） A．P1＞P2 B．P1＜P2 C．P1＝P2 D．与圆的半径有关 【答案】B 【知识点】几何概率、求四边形外接圆的直径、根据正方形的性质证明 【分析】求落在正方形和阴影部分内的概率，可直接求正方形的面积和阴影部分的面积即可得出二者的大小关系． 【详解】解：设的半径为r，则正方形的对角线为2r， ∴， ， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查概率的比较，包括正方形和圆的基本性质，熟练掌握正方形和圆的基本性质是解题关键． 题型二十七 求正多边形的中心角 27．（23-24九年级上·浙江台州·期末）图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图．其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则 ．      【答案】/ 【知识点】求正多边形的中心角、正多边形的外角问题、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】连接，，过C作于T，根据在正八边形性质，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质证得，则，进而， 证明等腰直角三角形，求得即可求解． 【详解】解：连接，，过C作于T，    在正八边形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴等腰直角三角形，则， 由勾股定理得， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握正多边形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 题型二十八 正多边形和圆的综合 28．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正五边形和正方形的性质是解题的关键．根据题意得到，求得，得到，即可得到结论． 【详解】解：正方形与正五边形都内接于， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 题型二十九 尺规作图——正多边形 29．（九年级·浙江温州·学业考试）图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在下图中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须在方格纸的格点上． （1）在图（a）中画一个等腰三角形，使它的底边长是4，且面积是16； （2）在图（b）中画一个等腰直角三角形，使它的面积是10； （3）在图（c）中画一个四边形，使它既是轴对称又是中心对称图形，且面积是29． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【知识点】尺规作图——正多边形、作等腰三角形(尺规作图) 【分析】（1）根据三角形的面积公式，可得答案； （2）根据等腰直角三角形的面积，可得腰长，可得答案； （3）根据平行四边形的面积公式，可得答案． 【详解】如图所示：（1）如图a，高=8，底边=4，S. （2）如图b,直角等腰三角形边=，，如图所示； （3）一个四边形使它既是轴对称又是中心对称图形，则此四边形为正方形.使正方形边长为，.如图c所示； 【点睛】考点作图—应用与设计作图，解题关键在于利用平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质作图. 题型三十 求弧长 30．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是 ． 【答案】 【知识点】求弧长、求扇形面积 【分析】本题主要考查扇形的面积公式、弧长的求解，掌握相关计算方法是解题的关键． 设扇形所在圆的半径为r，根据题意，得，解得（舍去），根据弧长公式，得即可求解． 【详解】解：设扇形所在圆的半径为r， 根据题意，得， 解得（舍去）， 根据弧长公式，得． 故答案为：． 题型三十一 求扇形半径 31．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 【答案】B 【知识点】求扇形半径 【分析】本题考查了弧长公式的变形计算，根据公式，变形计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， 故选B． 题型三十二 求圆心角 32．（2024·浙江温州·一模）若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 ． 【答案】/45度 【知识点】求圆心角 【分析】本题主要考查了弧长公式． 设该扇形的圆心角度数为，根据弧长公式建立方程即可求解． 【详解】解：设设该扇形的圆心角度数为， 根据弧长公式得：，解得，即圆心角度数为． 故答案为：． 题型三十三 求某点的弧形运动路径长度 33．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． (1)将绕点O旋转得到的，请作出，并写出点的坐标： (2)在（1）的条件下，求点C旋转到点所经过的路径长．（结果保留） 【答案】(1)见解析， (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、求某点的弧形运动路径长度、画旋转图形 【分析】本题考查了作图—旋转变换，勾股定理，弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． （1）根据旋转的性质作图，再写出坐标即可得解； （2）由勾股定理可得，再由弧长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：即为所作，， ； （2）解：∵， ∴， ∴点C旋转到点所经过的路径长为． 题型三十四 求扇形面积 34．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知扇形的半径为6，弧长为，则扇形的面积为 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查扇形面积公式及弧长公式，根据扇形面积公式，计算即可．解题关键是找到弧长公式与面积公式之间得关系． 【详解】解：扇形面积． 故答案为：． 题型三十五 求弓形面积 35．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知，、是上的点，P为外一点，连结、，分别交于点、，． (1)求证：． (2)若，，的面积等于9，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、求弓形面积、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，直角三角形的特征，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，扇形面积公式等； （1）连接，由已知条件得，结合圆的基本性质及等腰三角形的性质，即可得证； （2）连，，，过作于，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，由圆周角定理得，求出，由直角三角形的特征得， 由即可求解； 掌握圆的基本性质，圆周角定理，直角三角形的特征，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，扇形面积公式，能熟练利用扇形及三角形转化求不规则阴影图形的面积是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ； （2）解：连，，，过作于， ， ， 由（1）知为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 的面积等于9， ， ， 解得：， ． 题型三十六 求其他不规则图形的面积 36．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 【详解】解：在正方形中，，， ，，， ， ， 故选：A． 题型三十七 求图形旋转后扫过的面积 37．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，将以为旋转中心逆时针旋转得到，请画出，并求出线段扫过的面积； (2)在图2中，线段上作点，使得． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查旋转变换作图，扇形面积的计算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质，扇形的面积公式，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可；利用勾股定理求出的长，再利用扇形的面积公式计算即可； （2）结合相似三角形的判定与性质，取格点，使，且，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 由勾股定理得：， ∴线段扫过的面积为； （2）解：取格点，使，且，连接交于点，如图所示： 此时， ∴，则点即为所求． 题型三十八 求能确定的圆的个数 38．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【知识点】求能确定的圆的个数 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 题型三十九 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 39．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如，，都是格点． (1)将绕点B逆时针旋转得到，在网格中画出； (2)在（1）的变换中，若中有点，则点P的对应点的坐标是＿＿＿＿． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、画旋转图形 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，解题关键是熟练掌握相关知识． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质即可求解； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：观察图象可知，点P的对应点的坐标， 故答案为：． 题型四十 利用垂径定理求解其他问题 40．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，详见解析 (3)或8 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题是圆的综合题，考查了弧、弦、圆心角的关系，垂径定理推论，勾股定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由弧、弦、圆心角的关系和垂径定理推论可得出答案； （2）证明，得出，证出四边形是平行四边形，由（1）得，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）证明：， ， 是直径， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）得， 四边形是菱形； （3）解：，， ①如图1，当点在点左侧时， ， ， ， 在中，， ． ②如图2，当点在点右侧时， ， ， ， 在中，， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03章 圆的基本性质 章节（20知识点回顾+40题型练习） 题型汇聚 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求过圆内一点的最长弦 题型三 判断点与圆的位置关系 题型四 利用点与圆的位置关系求半径 题型五 三角形外接圆的概念辨析 题型六 求特殊三角形外接圆的半径 题型七 确定圆心(尺规作图) 题型八 判断生活中的旋转现象 题型九 找旋转中心、旋转角、对应点 题型十 根据旋转的性质求解 题型十一 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型十二 画旋转图形 题型十三 求旋转对称图形的旋转角度 题型十四 线段问题(旋转综合题) 题型十五 角度问题(旋转综合题) 题型十六 利用垂径定理求值 题型十七 垂径定理的推论 题型十八 垂径定理的实际应用 题型十九 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型二十 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型二十一 圆周角定理 题型二十二 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型二十三 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型二十四 90度的圆周角所对的弦是直径 题型二十五 已知圆内接四边形求角度 题型二十六 求四边形外接圆的直径 题型二十七 求正多边形的中心角 题型二十八 正多边形和圆的综合 题型二十九 尺规作图——正多边形 题型三十 求弧长 题型三十一 求扇形半径 题型三十二 求圆心角 题型三十三 求某点的弧形运动路径长度 题型三十四 求扇形面积 题型三十五 求弓形面积 题型三十六 求其他不规则图形的面积 题型三十七 求图形旋转后扫过的面积 题型三十八 求能确定的圆的个数 题型三十九 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型四十 利用垂径定理求解其他问题 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点3．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点4．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点5．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点6．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点7．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点8．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 知识点9．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点10．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 知识点11．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点12．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点13．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点14．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点15．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点16．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　 （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　 　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 知识点17．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点18．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点19．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点20．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型练习 题型一 圆的基本概念辨析 1．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型二 求过圆内一点的最长弦 2．（九年级上·浙江湖州·期中）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（    ） A．2 B．5 C．9 D．11 题型三 判断点与圆的位置关系 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（   ） A．P B．M C．N D．Q 题型四 利用点与圆的位置关系求半径 4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）若的半径是，点在圆外，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 题型五 三角形外接圆的概念辨析 5．（九年级上·浙江温州·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）若M是第一象限内线段上任意一点（不与B，C重合），轴于点H，与二次函数的图象交于点P，连接．设点M的横坐标为t，当是直角三角形时，求点M的坐标． （3）如图，若M是直线上任意一点，N是x轴上任意一点，且．以N为旋转中心，将逆时针旋转，使M落在Q点连接，则线段的最值为_______．（直接写出答案） 题型六 求特殊三角形外接圆的半径 6．（九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知等边△ABC． （1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆； （2）若AB＝2，求△ABC的外接圆半径R． 题型七 确定圆心(尺规作图) 7．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，是一个圆拱形模型． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____． 题型八 判断生活中的旋转现象 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列运动形式属于旋转的是（   ） A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．运动员掷出的标枪 题型九 找旋转中心、旋转角、对应点 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形网格中每个方格边长为1，和的顶点均在格点上，并且是由旋转得到的．根据所给信息，填空： (1)旋转中心为点　 　、旋转角的度数为　 　、旋转方向为　 　（顺时针或逆时针）； (2)连结，则四边形的形状是　 　，面积是　 　． 题型十 根据旋转的性质求解 10．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，则的大小是（  ） A． B． C． D． 题型十一 根据旋转的性质说明线段或角相等 11．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，    (1)如图1，证明：平分； (2)如图2，与交于点，若，，求的度数； (3)如图3，连接，若，，，则的长为______． 题型十二 画旋转图形 12．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为，， ，把△绕点按顺时针方向旋转后得到△．（每个方格的边长均为个单位） (1)画出△并直接写出：的坐标为 ． (2)判断直线与直线的位置关系为 ． 题型十三 求旋转对称图形的旋转角度 13．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（    ） A． B． C． D． 题型十四 线段问题(旋转综合题) 14．（2023·浙江金华·一模）如图，已知和为等腰直角三角形，，，，连接、．在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时， ． 题型十五 角度问题(旋转综合题) 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）将二次函数绕顶点旋转后的函数表达式是 ． 题型十六 利用垂径定理求值 16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在半径为的中，弦，为的中点，为上点，于点，于点，连结．若，则 ，四边形的面积为 ． 题型十七 垂径定理的推论 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）作图题，根据要求作出以下图形： (1)在图1网格中直接画出绕点逆时针旋转的图形； (2)在图2中，已知线段，尺规作图作出经过，两点的所有圆中最小的圆．（要求保留作图痕迹） 题型十八 垂径定理的实际应用 18．（24-25九年级上·浙江温州·期中）图1是建在溪边的一部水车，是水车旋转中心，水车上的两个竹筒，到的距离相等，当，离地高度相等时（如图2），水平距离为3米，当转动到最低位置时，它的高度下降了0.5米，也随之转动到的位置，此时的高度上升了 米． 题型十九 利用弧、弦、圆心角的关系求解 19．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想： 小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则． 小江：若AB＝2BC，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 题型二十 利用弧、弦、圆心角的关系求证 20．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． (1)求证． (2)若E为的中点，求的长． 题型二十一 圆周角定理 21．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 题型二十二 同弧或等弧所对的圆周角相等 22．（24-25九年级上·浙江金华·期末）图①，图②均是的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上．仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法） (1)如图①，已知经过点B，作出所在圆的圆心O． (2)在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）． 题型二十三 半圆（直径）所对的圆周角是直角 23．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，已知，则为（　　） A． B． C． D． 题型二十四 90度的圆周角所对的弦是直径 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点O且与两坐标轴分别交于点、点，点M是的中点 ． (1)求的半径以及点M的坐标； (2)如图，抛物线的图象过点；一次函数的图象过点B、M，利用图象，直接写出不等式的解． 题型二十五 已知圆内接四边形求角度 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，线段是的直径，点是上一点，设．若，则（　　） A． B． C． D． 题型二十六 求四边形外接圆的直径 26．（九年级上·浙江湖州·期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在这个圆面上随意抛一粒豆子（豆子大小忽略不计），若豆子落在正方形ABCD内的概率记为P1，豆子落在图中阴影部分内的概率记为P2，则对P1和P2的大小判断正确的是（　　） A．P1＞P2 B．P1＜P2 C．P1＝P2 D．与圆的半径有关 题型二十七 求正多边形的中心角 27．（23-24九年级上·浙江台州·期末）图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图．其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则 ．      题型二十八 正多边形和圆的综合 28．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为 ． 题型二十九 尺规作图——正多边形 29．（九年级·浙江温州·学业考试）图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在下图中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须在方格纸的格点上． （1）在图（a）中画一个等腰三角形，使它的底边长是4，且面积是16； （2）在图（b）中画一个等腰直角三角形，使它的面积是10； （3）在图（c）中画一个四边形，使它既是轴对称又是中心对称图形，且面积是29． 题型三十 求弧长 30．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是 ． 题型三十一 求扇形半径 31．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 题型三十二 求圆心角 32．（2024·浙江温州·一模）若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 ． 题型三十三 求某点的弧形运动路径长度 33．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． (1)将绕点O旋转得到的，请作出，并写出点的坐标： (2)在（1）的条件下，求点C旋转到点所经过的路径长．（结果保留） 题型三十四 求扇形面积 34．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知扇形的半径为6，弧长为，则扇形的面积为 ． 题型三十五 求弓形面积 35．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知，、是上的点，P为外一点，连结、，分别交于点、，． (1)求证：． (2)若，，的面积等于9，求图中阴影部分的面积． 题型三十六 求其他不规则图形的面积 36．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 题型三十七 求图形旋转后扫过的面积 37．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，将以为旋转中心逆时针旋转得到，请画出，并求出线段扫过的面积； (2)在图2中，线段上作点，使得． 题型三十八 求能确定的圆的个数 38．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 题型三十九 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 39．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如，，都是格点． (1)将绕点B逆时针旋转得到，在网格中画出； (2)在（1）的变换中，若中有点，则点P的对应点的坐标是＿＿＿＿． 题型四十 利用垂径定理求解其他问题 40．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$