第1章 直线与方程（单元测试·基础卷）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第一章 直线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 2．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 3．设直线的倾斜角分别为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．若等边三角形一边所在直线的斜率为，则该三角形另两条边所在直线斜率为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ） A． B． C． D． 8．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法中错误的是（    ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 11．已知直线：与：，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线可能重合 B．直线与直线可能垂直 C．直线与直线可能平行 D．存在直线上一点P，直线绕点P旋转后可与直线重合 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若直线方程为，则该直线的倾斜角为 . 13．直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为 ． 14．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当△的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）已知直线经过点. (1)若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16．（15分）已知点，两条直线，， (1)设点到直线的距离分别为，求； (2)过点作直线分别交于，使为线段的中点，求直线的方程． 17．（15分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，. (1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标. (2)求边AB的高所在直线方程. 18．（17分）已知直线l:＋＝1. (1)如果直线l的斜率为2，求实数m的值； (2)如果直线l与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成的三角形面积最大时直线l的方程． 19．（17分）已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； (2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第一章 直线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由一次函数的性质判断 【详解】直线即，经过第一、二、四象限， 则，得， 故选：B 2．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率判断直线的倾斜角进而判断各个选项； 【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意． 故选：B. 3．设直线的倾斜角分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据直线方程分别求解每条直线斜率，然后根据斜率判断倾斜角的范围，根据范围比较大小即可. 【详解】，，即，； ，，即，； 为垂直于轴的直线，. 综上所述可得：. 故选：D 4．已知，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的最小值即为与的距离的平方的最小值，然后求点到直线的距离即可求解. 【详解】由于， 所以的最小值即为与的距离的平方的最小值， 则点到直线上的最小值即为点到直线的距离， 故，所以的最小值为. 故选：C. 5．若等边三角形一边所在直线的斜率为，则该三角形另两条边所在直线斜率为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为，且，由直线的到角公式即可求出. 【详解】根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为，且， 则有，解得，， 故另两条边所在直线斜率为，. 故选：C. 【点睛】关键点睛：解题的关键是正确利用直线的夹角公式. 6．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围. 【详解】因为直线的斜率为，且， ，因为， . 故选：A. 7．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案. 【详解】由两直线垂直得，解得， 所以原直线直线可写为， 又因为垂足为同时满足两直线方程， 所以代入得， 解得， 所以， 故选:D 8．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，利用点斜式可得直线方程. 【详解】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点， 当直线时，因为直线的斜率为， 所以直线的方程是，即； 当直线经过线段的中点时，则的斜率为， 的方程是，即， 故选：AC 10．下列说法中错误的是（    ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 【答案】ABD 【分析】根据对直线的截距式、两点式的理解即可判断AC；根据两直线的位置关系即可判断BD. 【详解】A：直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误； B：和的斜率有可能不存在，故B错误； C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果， 直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线， 但化为整式后就可以表示任意直线，故C正确； D：直线斜率不存在，则直线垂直于x轴； 直线斜率存在，但不一定为0，所以两直线不一定垂直，故D错误. 故选：ABD. 11．已知直线：与：，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线可能重合 B．直线与直线可能垂直 C．直线与直线可能平行 D．存在直线上一点P，直线绕点P旋转后可与直线重合 【答案】BD 【分析】分别求出直线，的斜率，根据两直线平行和垂直斜率满足的关系即可逐一求解. 【详解】直线的斜率为， 直线的斜率， ，，不可能相等， 直线与直线不可能重合，也不可能平行，故A，C均错误； 当时，，，直线与直线可能垂直，故B正确； 直线与直线不可能重合，也不可能平行， 直线与直线一定有交点， 存在直线上一点，直线绕点旋转后可与直线重合，故D正确． 故选：BD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若直线方程为，则该直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】先得到直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由题意，直线斜率为1，设直线的倾斜角为，则. 故答案为：. 13．直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出斜率，代入斜截式方程即可得解. 【详解】直线即，所以直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即， 则直线的倾斜角为，其斜率为， 则直线的斜截式方程为，即直线的方程是. 故答案为： 14．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当△的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为 【答案】 【分析】由题设可得，进而写出△的面积关于的函数关系式，应用换元法并结合分式及二次函数的性质，判断面积取最小的值. 【详解】由题设得：， ∴当△的面积， 令，则， ∴当，即时，取得最小值． 故答案为： 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）已知直线经过点. (1)若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得. （2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得. 【详解】（1）由向量是直线的一个方向向量，得直线的斜率， 又经过点，则方程为：，即：， 所以直线的方程为. （2）依题意，当直线过原点时，而直线又过点， 则直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则有，解得，即直线的方程为， 所以直线的方程为或. 16．（15分）已知点，两条直线，， (1)设点到直线的距离分别为，求； (2)过点作直线分别交于，使为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式求解即可； （2）根据题意，直线的斜率存在，设方程为，再分别联立方程求得，，进而根据中点坐标公式解方程即可. 【详解】（1）解：因为点，两条直线， 所以，点到直线的距离， 点到直线的距离分别为， 所以 （2）解：当过点的直线的斜率不存在时，方程为， 此时与的交点分别为，显然不满足为线段的中点， 所以，直线的斜率存在，设方程为 因为点作直线分别交于， 所以，且， 所以，联立方程得，即， 联立方程得，即， 因为为线段的中点， 所以，，解得， 所以，所求直线方程为，即. 17．（15分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，. (1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标. (2)求边AB的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合中点坐标公式求得正确答案. （2）结合点斜式求得求边AB的高所在直线方程. 【详解】（1）的顶点，，，则对角线AC中点为. 于是得对角线BD的中点是，设，因此有，， 解得：. 所以平行四边形ABCD的顶点. （2）依题意，直线AB的斜率， 则边AB上的高所在直线的斜率为，于是有：， 即. 所以边AB上的高所在直线的方程为. 18．（17分）已知直线l:＋＝1. (1)如果直线l的斜率为2，求实数m的值； (2)如果直线l与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成的三角形面积最大时直线l的方程． 【答案】(1)m＝4； (2)x＋y－1＝0. 【分析】（1）解方程＝2即得解； （2）解不等式组得到的取值范围，再求出S＝－(m－1)2＋，利用二次函数求解. 【详解】（1）解：直线l的方程可化为y＝x＋m，所以＝2，解得m＝4. （2）解：直线l与两坐标轴的交点为(2－m，0)， (0，m)． 据题意知解得0<m<2， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为S＝m(2－m)＝－(m－1)2＋. 因为0＜m＜2，所以当m＝1时，S取到最大值， 故所求直线l的方程为＋＝1，即x＋y－1＝0. 19．（17分）已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； (2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹角的最小值； （2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线PR与直线PQ的方程，联立得P的坐标； （3）设出直线，的方程，求出原点到它们的距离，计算，转化变形后结合基本不等式可得取值范围． 【详解】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则 ， 等号成立的条件是，所以的最小值为， 则两直线的夹角的最小值为； （2）设直线的斜率分别为， 则，得或， 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，； 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，，与点C重合，舍去； 故所求为； （3）由题意可设即，即，其中， 故 由于（等号成立的条件是）， 所以，故即， 所以. 【点睛】方法点睛:“新定义"主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说"新题"不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 学科网（北京）股份有限公司1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第一章 直线与方程·基础通关 （参考答案） 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D C C A D D 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 AC ABD BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13． 14． 三、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） （1）由向量是直线的一个方向向量，得直线的斜率，（2分） 又经过点，则方程为：，即：， 所以直线的方程为.（5分） （2）依题意，当直线过原点时，而直线又过点， 则直线的方程为，即；（7分） 当直线不过原点时，设直线的方程为，（9分） 则有，解得，即直线的方程为，（11分） 所以直线的方程为或.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）解：因为点，两条直线， 所以，点到直线的距离，（2分） 点到直线的距离分别为，（4分） 所以（6分） （2）解：当过点的直线的斜率不存在时，方程为， 此时与的交点分别为，显然不满足为线段的中点，（8分） 所以，直线的斜率存在，设方程为 因为点作直线分别交于， 所以，且，（10分） 所以，联立方程得，即， 联立方程得，即， 因为为线段的中点， 所以，，解得， 所以，所求直线方程为，即.（15分） 17.（15分） （1）的顶点，，，则对角线AC中点为. 于是得对角线BD的中点是，设，因此有，， 解得：. 所以平行四边形ABCD的顶点.（7分） （2）依题意，直线AB的斜率， 则边AB上的高所在直线的斜率为，于是有：，（13分） 即. 所以边AB上的高所在直线的方程为.（15分） 18．（17分） （1）解：直线l的方程可化为y＝x＋m，所以＝2，解得m＝4.（5分） （2）解：直线l与两坐标轴的交点为(2－m，0)， (0，m)．（7分） 据题意知解得0<m<2，（10分） 所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为S＝m(2－m)＝－(m－1)2＋.（12分） 因为0＜m＜2，所以当m＝1时，S取到最大值，（14分） 故所求直线l的方程为＋＝1，即x＋y－1＝0.（17分） 19．（17分） （1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则 ， 等号成立的条件是，所以的最小值为， 则两直线的夹角的最小值为；（5分） （2）设直线的斜率分别为， 则，得或， 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，； 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，，与点C重合，舍去； 故所求为；（11分） （3）由题意可设即，即，其中， 故 由于（等号成立的条件是）， 所以，故即， 所以.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第一章 直线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 2．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 3．设直线的倾斜角分别为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．若等边三角形一边所在直线的斜率为，则该三角形另两条边所在直线斜率为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ） A． B． C． D． 8．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法中错误的是（    ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 11．已知直线：与：，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线可能重合 B．直线与直线可能垂直 C．直线与直线可能平行 D．存在直线上一点P，直线绕点P旋转后可与直线重合 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若直线方程为，则该直线的倾斜角为 . 13．直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为 ． 14．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当△的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）已知直线经过点. (1)若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16．（15分）已知点，两条直线，， (1)设点到直线的距离分别为，求； (2)过点作直线分别交于，使为线段的中点，求直线的方程． 17．（15分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，. (1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标. (2)求边AB的高所在直线方程. 18．（17分）已知直线l:＋＝1. (1)如果直线l的斜率为2，求实数m的值； (2)如果直线l与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成的三角形面积最大时直线l的方程． 19．（17分）已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； (2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$