第1章 直线与方程（单元测试·提升卷）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第一章 直线与方程·能力提升 （参考答案） 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A B C A B C 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 ACD BD BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．/ 13．/ 14． 三、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） （1）解：由图象知：直线过点（-2，0），（0，2）， 所以直线方程为：，即， 化为一般式为：；（3分） （2）由图象知：直线过点（1，0），（0，1）， 所以直线方程为：，即， 化为一般式为：；（6分） （3）由图象知：直线过点（3，0），（0，1）， 所以直线方程为：，即； 化为一般式为：；（9分） （4）由图象知：直线过点（-2，0），（0，-1）， 所以直线方程为：，即； 化为一般式为：；（13分） 16．（15分） （1）如图所示， （2分） 作点关于轴的对称点的坐标， 则反射光线所在的直线过点和， 所以， 所以直线的直线方程为. 所以反射光线的的直线方程为，其中.（7分） （2）由（1）得知，，所以， 所以， ， 所以..（15分） 17.（15分） （1）∵直线，，交于一点， ∴与不平行，∴，（2分） 由，得， 即与的交点为，（6分） 代入的方程，得， 解得或.（8分） （2）若，，交于一点，则或；（10分） 若，则；（11分） 若，则；（12分） 若，则不存在满足条件的实数.（13分） 综上，可得或或4或.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为可化为，所以与的距离为． 因为，所以．（4分） （2）设存在点满足，则点在与，平行直线上． 且，即或．（8分） 所以满足条件②的点满足或． 若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有，即，（10分） 所以或，因为点在第一象限，所以不成立． 联立方程和，解得（舍去），（13分） 联立方程和，解得，（15分） 所以即为同时满足条件的点.（17分） 19．（17分） （1）解：由题设条件，设的坐标为，则至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值． 则点的坐标是（5分） （2）解：记 至三镇的最远距离为（8分） 由解得，记， 于是（12分） 当，即时， 因为在，上是增函数，而在，上是减函数． 所以时，函数取得最小值．点的坐标是（15分） 当，即时，因为在，上当函数取得最小值，而在，上是减函数，且，所以时，函数取得最小值． 则当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第一章 直线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知直线，当实数变化时，恒过点（    ） A． B． C． D． 2．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．若三条直线，和相交于一点，则（    ） A． B． C． D． 5．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．8 7．已知的边所在直线的方程是，边所在直线的方程是，边所在直线的方程是.若夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．当时，与相交，交点为 D．当时，不经过第三象限 11．以下四个命题表述错误的是（    ） A．恒过定点 B．若直线与互相垂直，则实数 C．已知直线与平行，则或 D．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．直线与直线的夹角大小为 . 13．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 14．经过点和两直线；交点的直线方程为 . 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15.（13分） 写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式： (1)； (2)； (3)； (4). 16.（15分） 一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射后与轴交于点. （1）求反射光线的方程； （2）求三角形的面积. 17.（15分） 已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 18.（17分） 已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 19.（17分） 有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图） (1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ (2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第一章 直线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知直线，当实数变化时，恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线的方程变形为，解方程组可得出直线所过定点的坐标. 【详解】直线的方程可化为，由，解得， 因此，直线恒过定点. 故选：B. 2．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的斜率相同排除A、B；再由所过的点排除C，即可得答案. 【详解】由斜率为，而A、B中的直线斜率为，与该直线不平行，排除； C、D中直线斜率为，对于，显然不过，而过已知点， 所以C中直线不符合，D中直线符合要求. 故选：D 3．已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设直线与线段交于点，其中，利用斜率公式可求得的取值范围. 【详解】设直线与线段交于点，其中， 所以，. 故选：A. 4．若三条直线，和相交于一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出直线与直线的交点坐标，再将交点坐标代入直线的方程中，可求得实数的值. 【详解】联立，解得，即直线与直线交于点， 将点的坐标代入直线的方程中，得，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查利用三条直线的交点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 5．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点，分情况讨论即可求解. 【详解】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点， 因为，，所以， 所以过点且与平行的直线为：即， 因为，，所以线段的中点为， 所以过点与线段的中点为的直线的方程为：， 即， 所以这条直线的方程是：或， 故选：. 6．已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【分析】由平行、垂直直线的斜率关系得出的值. 【详解】因为，所以，解得，又，所以， 解得.所以. 故选：A. 7．已知的边所在直线的方程是，边所在直线的方程是，边所在直线的方程是.若夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出示意图，根据题意判断，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，进而求出答案. 【详解】联立直线方程，易得.如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，又两平行直线的斜率为1，直线的斜率为，所以线段的长度就是过A，B两点的平行直线间的距离，易得，故两条平行直线间的距离的最小值是.    故选：B. 8．数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】由题可知，△ABC的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为， 直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为， 联立方程可得△ABC的垂心为， 则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为， 故△ABC的欧拉线方程为. 故选：C. 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据各选项直线方程判断是否过点，以及求出其在两坐标轴上的截距. 【详解】对于A：因为，所以过点， 且在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故A正确； 对于B：因为，所以过点， 令，解得，即直线在轴上的截距为，不符合题意，故B错误； 对于C：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故C正确； 对于D：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，符合题意，故D正确. 故选：ACD 10．已知直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．当时，与相交，交点为 D．当时，不经过第三象限 【答案】BD 【分析】利用直线与直线垂直判断A，利用直线与直线平行判断B，利用直线与直线相交判断C，利用直线与坐标轴的交点判断D． 【详解】解：直线，， 对于A，若，则， 解得，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，当时，直线，， 与相交，交点为，故C错误； 对于D，当时，，不过第三象限； 当时，时，，当时，， 不经过第三象限． 综上，当时，不经过第三象限，故D正确． 故选：BD． 11．以下四个命题表述错误的是（    ） A．恒过定点 B．若直线与互相垂直，则实数 C．已知直线与平行，则或 D．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据题意，求出各直线的斜率，依次判断各选项的正误. 【详解】选项A：直线，即， 所以恒过定点，故A正确； 选项B：根据题意，当时，直线的斜率，直线的斜率不存在， 此时，与互相垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为两直线互相垂直，所以，解得， 所以或，故B错误； 选项C：根据题意，当时，直线的斜率，直线的斜率不存在， 此时，与互相垂直，舍去， 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为两直线互相平行，所以，解得， 当时，两直线重合，故舍去， 所以，故C错误； 选项D：根据题意，直线的斜率， 因为，所以，所以， 倾斜角的取值范围是，故D错误； 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．直线与直线的夹角大小为 . 【答案】/ 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】因为直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为， 故答案为：． 13．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 【答案】/ 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 14．经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15.（13分） 写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据图象得到直线与坐标轴的交点，利用截距式求解. 【详解】（1）解：由图象知：直线过点（-2，0），（0，2）， 所以直线方程为：，即， 化为一般式为：； （2）由图象知：直线过点（1，0），（0，1）， 所以直线方程为：，即， 化为一般式为：； （3）由图象知：直线过点（3，0），（0，1）， 所以直线方程为：，即； 化为一般式为：； （4）由图象知：直线过点（-2，0），（0，-1）， 所以直线方程为：，即； 化为一般式为：； 16.（15分） 一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射后与轴交于点. （1）求反射光线的方程； （2）求三角形的面积. 【答案】（1），其中；（2）8. 【分析】（1）直接利用点关于线的对称，求出对称的点的坐标，再利用反射定理，求出直线的方程； （2）首先根据（1）中直线方程求出点的坐标，求出三角形的边长，再利用三角形的面积公式求出结果. 【详解】（1）如图所示， 作点关于轴的对称点的坐标， 则反射光线所在的直线过点和， 所以， 所以直线的直线方程为. 所以反射光线的的直线方程为，其中. （2）由（1）得知，，所以， 所以， ， 所以.. 【点睛】本题主要考查了点关于直线对称、求直线方程、三角形面积问题. 17.（15分） 已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 【答案】（1）或；（2）或或4或. 【分析】（1）联立方程组即可求出； （2）根据题意可知直线交于一点或有两条直线平行，则可求解. 【详解】（1）∵直线，，交于一点， ∴与不平行，∴， 由，得， 即与的交点为， 代入的方程，得， 解得或. （2）若，，交于一点，则或； 若，则； 若，则； 若，则不存在满足条件的实数. 综上，可得或或4或. 18.（17分） 已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】（1）根据平行间的距离公式建立方程，求解可得答案； （2）设存在点满足，由平行间的距离公式可求得或．得出满足条件②的点满足或．再由点到直线的距离公式可得或，联立方程，求解可得结论. 【详解】（1）因为可化为，所以与的距离为． 因为，所以． （2）设存在点满足，则点在与，平行直线上． 且，即或． 所以满足条件②的点满足或． 若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有，即， 所以或，因为点在第一象限，所以不成立． 联立方程和，解得（舍去）， 联立方程和，解得， 所以即为同时满足条件的点. 19.（17分） 有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图） (1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ (2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 【答案】(1) (2)当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 【分析】（1）设出的坐标，表示出至三镇距离的平方和，利用配方法，可得结论； （2）记，表示出至三镇的最远距离，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得结论． 【详解】（1）解：由题设条件，设的坐标为，则至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值． 则点的坐标是 （2）解：记 至三镇的最远距离为 由解得，记， 于是 当，即时， 因为在，上是增函数，而在，上是减函数． 所以时，函数取得最小值．点的坐标是 当，即时，因为在，上当函数取得最小值，而在，上是减函数，且，所以时，函数取得最小值． 则当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 学科网（北京）股份有限公司2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第一章 直线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知直线，当实数变化时，恒过点（    ） A． B． C． D． 2．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．若三条直线，和相交于一点，则（    ） A． B． C． D． 5．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．8 7．已知的边所在直线的方程是，边所在直线的方程是，边所在直线的方程是.若夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．当时，与相交，交点为 D．当时，不经过第三象限 11．以下四个命题表述错误的是（    ） A．恒过定点 B．若直线与互相垂直，则实数 C．已知直线与平行，则或 D．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．直线与直线的夹角大小为 . 13．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 14．经过点和两直线；交点的直线方程为 . 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15.（13分） 写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式： (1)； (2)； (3)； (4). 16.（15分） 一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射后与轴交于点. （1）求反射光线的方程； （2）求三角形的面积. 17.（15分） 已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 18.（17分） 已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 19.（17分） 有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图） (1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ (2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$