精品解析：四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一下学期6月期末数学试题

24级高一下学期期末校校联考 数 学 本试卷共4页，共19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A B. C. 5 D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知样本数据，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东45°方向的C处的乙船，此时C处的乙船测得渔船位于自己的北偏东30°方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 7. 窗花是贴在窗户上的煎纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 在方向上的投影向量为 C. D. 若函数，则函数的最小值为 8. 定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分. 9. 为了了解某社区居民有无收看“春节联欢晚会”，某记者分别从某社区老、中、青三个年龄段中的160人、x人、200人中，采用分层抽样的方法进行调查，下列结论正确的是（ ） A. 若抽查的样本数为30，且在老年组中抽取了8人，则 B. 若老、中、青人数之比为，且在老年组中抽取了16人，则样本容量 C. 若，则当抽查的样本容量为50时，在青年组中抽取了20人 D. 若老、中、青人数之比为，且样本容量，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象 C. 直线为图象一条对称轴 D. 直线与的图象相交，存在两个交点的横坐标，使得 11. 在正四棱柱中，，，是棱上一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦的最大值为 B. C. 若为棱的中点，则三棱锥外接球的表面积的最小值为 D. 若为棱上动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i是虚数单位，则 ________． 13. 如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为________． 14. 如图，在正四棱台中，，．若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求向量的坐标； （2）设向量夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称轴； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求的最大值和最小值. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）求样本成绩的平均数，中位数和众数； （3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求； （2）若，，求的面积； （3）若面积为，，D为线段的中点，求线段的长. 19. 如图，在四棱锥中，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24级高一下学期期末校校联考 数 学 本试卷共4页，共19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的模长计算可得. 【详解】由题意可得. 故选：B. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示可求出向量的坐标. 【详解】因为向量，，则. 故选：B. 3 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逆用差角的正弦公式将原式化简，再求值即可. 【详解】. 故选：B 4. 已知样本数据，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】将该组数据从小到大排列：，共8项，又， 所以该组数据的第60百分位数为第5项，即8. 故选：C. 5. 若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点线面的关系即可求解. 【详解】由点、线、面关系的表示方式知A、B、D错误，C正确. 故选:C. 6. 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东45°方向的C处的乙船，此时C处的乙船测得渔船位于自己的北偏东30°方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意作出示意图，在中，由正弦定理求出的长，再求出由C处到达B处的时间，根据速度等于路程除以时间计算即可. 【详解】根据题意作出示意图如下， 由题意可知，，海里． 在中，由正弦定理可知， 则 海里． 甲船的行驶时间为小时， 所以乙船的速度为海里/小时． 故选：A 7. 窗花是贴在窗户上的煎纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 在方向上的投影向量为 C. D. 若函数，则函数的最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，建系，写出相关点的坐标，设，利用余弦定理求得，对于A，取中点为，推得，，继而得到，结合图形，判断当点与点或点重合时，取最大值，利用两点间距离公式计算即得；对于B，根据投影向量的定义计算即可判断；对于C，代入点的坐标计算即可判断；对于D，将相关向量的坐标代入所求函数，整理后，根据二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】 如图，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 设，在中，由余弦定理，，解得. 则 . 对于A，取中点为，则， 则， 两式相减，可得，从而， 由正八边形的对称性，可知当点与点或点重合时，取最大值. 此时不妨取， 则， 故的最大值为，故A正确； 对于B，因 ， 则在方向上的投影向量为：，故B错误； 对于C，，而， 故，即C错误； 对于D，因，， 则 ， 则当时，， 故函数的最小值为，故D错误. 故选：A. 8. 定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义运算，利用三角恒等变形化解可得，分析在区间的值域，结合二次函数性质，建立不等式可解. 【详解】由题中所给定义可知， ， 当时，， 所以，所以， 当时，，， 所以，解得； 当时，，，， 所以，解得， 综上，a的取值范围是． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分. 9. 为了了解某社区居民有无收看“春节联欢晚会”，某记者分别从某社区的老、中、青三个年龄段中的160人、x人、200人中，采用分层抽样的方法进行调查，下列结论正确的是（ ） A. 若抽查的样本数为30，且在老年组中抽取了8人，则 B. 若老、中、青人数之比为，且在老年组中抽取了16人，则样本容量 C. 若，则当抽查的样本容量为50时，在青年组中抽取了20人 D. 若老、中、青人数之比为，且样本容量，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由题意得，所以；对于B，由，得；对于C，设在青年组中抽取了y人，由题意得，解得；对于D，，解得． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象 C. 直线为图象的一条对称轴 D. 直线与的图象相交，存在两个交点的横坐标，使得 【答案】ABD 【解析】 【详解】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数图象的平移变换，即可判断各项正误. 【分析】由图知，，即，所以. 将代入，得，解得， 又，当时，，所以. A，，正确； B，将的图象向右平移个单位长度，得的图象，正确； C，，所以直线不是对称轴，错误； D，由三角函数的性质知，或， 所以，显然存在两个交点的横坐标使，正确. 故选：ABD 11. 在正四棱柱中，，，是棱上一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦的最大值为 B. C. 若为棱的中点，则三棱锥外接球的表面积的最小值为 D. 若为棱上动点，则三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由异面直线所成角可得与所成角即与所成角，即，在中，求出得解；对B，利用反证法，设，推理找出矛盾；对C，分别取的中点，由球的截面性质可得球心在线段上，设，则，由可得，由此求出外接球半径的得解；对D，由题可得的面积为定值，点到平面的距离为定值，可得解. 【详解】对于A，如图，在正四棱柱中，因为， 所以与所成角即与所成角，则即为所求角， 在中，，因为， 所以，即与所成角即与所成角的余弦的最大值为 ，故A正确； 对于B，如图，在正四棱柱中，易得平面，则， 若，又是平面内的两条相交直线，所以平面， 又平面，则，可得侧面为正方形，这与矛盾， 故假设错误，故B错误； 对于C，如图，分别取的中点，因为是的中点，易得， 又，则是等腰直角三角形，则是外接圆圆心， 而平面平面，所以由球的截面性质可得球心在线段上， 设，则，设三棱锥的外接球半径为， ，又，所以，即， 解得，则， 故三棱锥的外接球的表面积.故C正确； 对于D， 如图，因为点在上，所以，又点在棱上， 平面，所以点到平面的距离为1，即三棱锥的高为1， 所以，故三棱锥的体积为定值，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 13. 如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直观图的面积，再利用原图形面积是直观图面积的求解即得. 【详解】依题意，矩形的面积， 由原图形面积是直观图面积的，得原图形面积. 故答案为： 14. 如图，在正四棱台中，，．若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作于点，底面，根据正四棱台的体积求出棱台的高，即可判断四棱台外接球的球心在的延长线上，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，则， 底面，平面，∴． 过作于点，则，∴底面． ∴该正四棱台体积，∴． 连接，∵， ∴四棱台外接球的球心在的延长线上， 设，则，， ， 由，得，解得， 故，即外接球的半径， ∴外接球表面积为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是求出正四棱台的高，从而确定外接球的球心球心在的延长线上，利用勾股定理求出外接球的半径. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求向量的坐标； （2）设向量的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标线性运算计算即得； （2）利用向量的数量积的定义式和坐标式列出方程求解即得； （3）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得. 【小问1详解】 由可得，， 即向量的坐标为：； 【小问2详解】 因， 则； 【小问3详解】 依题意，，即，解得. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称轴； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期，对称轴为 （2） （3）最大值为2，最小值为1 【解析】 【分析】（1）由周期公式可得周期，将看作整体角，令，求解即可得对称轴； （2）由，解的范围可得单调增区间； （3）当时，求出整体角的范围，转化为正弦函数在的最值求解即可. 【小问1详解】 的最小正周期. 由， 得函数的对称轴为，. 【小问2详解】 由， 得 所以函数的单调递增区间为 【小问3详解】 由，得 所以，当，即时， 当，即时， 所以，函数的最大值为2，最小值为1. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）求样本成绩的平均数，中位数和众数； （3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1），86 （2）74，75，75 （3）， 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得参数，根据百分数的定义，可得答案； （2）根据平均数、中位数以及众数估计值的公式，结合频率分布直方图，可得答案； （3）根据两个分数段的频率可得其人数比例，结合平均数与方差的计算，可得答案. 【小问1详解】 根据题意可得，解得； 因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3，0.25， 所以样本成绩的第80百分位数在内，且为. 【小问2详解】 本成绩的平均数为； 因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3， 所以样本成绩的中位数在内，且为； 样本成绩的众数为. 【小问3详解】 因为与的频率之比为， 又落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4， 所以两组成绩合并后的平均数； 所以两组成绩合并后的方差. 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求； （2）若，，求的面积； （3）若的面积为，，D为线段的中点，求线段的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过三角恒等式将方程变形，结合三角形内角和为，转化为关于角A的方程求解； （2）利用正弦定理求出边长，结合面积公式计算； （3）通过面积和余弦定理求出边长关系，应用中线公式直接计算； 【小问1详解】 由正弦定理，， 可化为. 又中，， 则上式可化为， 又中，，则， 则上式可化为，即， 则.又，则， 故. 【小问2详解】 由三角形内角和为，得. 由正弦定理，得，即，解得， 且， 所以. 【小问3详解】 由，可得， 由余弦定理，可得，即. 因为，得，即. 19. 如图，在四棱锥中，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）设二面角平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】（1）证明见详解 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明线面垂直； （2）由线面平行的性质定理可得，从而，又，，所以，进而求得； （3）由线面垂直的性质定理及判定定理可证得是二面角的平面角，再由的取值范围得到，作出，可得的值，同时由余弦定理得的值，由及的取值范围可得结果. 【小问1详解】 如图，连接，因为为等边三角形，是的中点，所以， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面 【小问2详解】 连接，交于点，连接，因为平面，平面，平面平面， 所以，则，因为，，所以，故. 【小问3详解】 如图，取的中点，因为平面，平面，所以，. 又分别是的中点，所以，由，得， 因为，平面，所以平面，因为平面，则， 所以是二面角的平面角，即. 因为是边长为6的等边三角形，所以. 设，则，，得， 过作交于，连接，由平面，得平面， 所以为直线与平面所成的角，即. 由得，， 在中，. 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以 因为，所以， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $