专项30 周期问题-小升初奥数思维提升讲义

经典奥数系列——周期问题 8种类型讲、练、测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 1.周期性问题。 在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现。如:人的12生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期有七天等等，像这些问题，我们称为“周期问题”。 2.周期性问题解决方法。 这一类问题一般要利用余数的知识来解答。 这就要求我们对题目要仔细审题,判断其不断重复出现的规律,也就是找出循环的固定数。 然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。 尾数图形 把一堆围棋子按“3白2黑”排列起来。想一想,第49个是 子。(填白或黑) ○○○●●○○○●●○○○●● 【分析】从图中可以看出:每组有5个围棋子,由“○○○●●”组成。49 个围棋子一共有49÷5=9(组)…4(个)。第49个围棋子是第10组的左起第4个,是●(黑子)。 解： 49÷(3+2)=9(组)……4(个)是黑子 【答案】黑子 【方法总结】 因为每一组里面图形排列是一样的,所以根据余数是“4”我们只需要找到第一组中的第4个即是“●”。 1.☆★☆〇☆★☆○☆★☆○……按照这个规律,请问第80个图案是 。 2.小猫咪A,B,C,D,E,F排队依次从猫妈妈手中领鱼干,每只小猫咪每次领1条，领完后再到队尾继续排队，直到鱼干发完,若猫妈妈有278条鱼干,则最后一个领到鱼干的小猫咪是 。 3.一排气球,按照4个红色、1个黄色、2个蓝色的规律排列,最后一个是黄色,且总数不超过100，这排气球的总数最多有 个。 周期求和 将50个图形按照这样的规律排列:▲▲▲★●●▲▲▲★●●…… （1）第28个图形是 ； （2）前50个图形中共有 个▲。 【分析】观察发现每组有6个图形由“▲▲▲★●●”组成。 (1)28÷6=4(组)……4(个)， 第28个图形是排完4组之后第5组的第4个,因为每一组里面图形排列是一样的,所以我们只需找到第一组中的第4个即是“★”。 (2)50÷6=8(组)……2(个)， 50个图形中,排完8组之后还有2个，在每一组中有3个“▲”,所以8组中有3×8=24(个)，还有2个是第9组的前2个，也是“▲”,所以一共有24+2=26(个)。 解： （1）28÷6=4(组)……4(个) （2）50÷6=8(组)……2(个) ▲的个数：3×8+2=26（个位） 【答案】★；26 1.篮球、足球、排球按照下面的规律排成一行,那么前99 个球中共有 个足球。 2.下面一组图形是按一定规律排列的:○○○○△△△□□○○○○△△△□□○○○○△△△□□…… 问:（1）第205个图形是什么? （2）前205个图形中,○有几个?△有几个? □有几个? 3.有一列数,1、3、6、8、5、7、1、3、6、8、5、7……第58个数是 ,这58个数相加的和是 。 日期周期 2025年1月1日是星期三,根据这一信息,可以算出2025年3月9日是星期 。 【分析】一星期7天,为一个周期这类题在计算天数时,可采用“算头不算尾”或“算尾不算头”的方法。 从2025年1月1日到3月9日过了的天数可用“算尾不算头”的方法,即2025年1月2日到3月9日的天数:31-1+28+9=67(天)。 67÷7=9(周)…4(天),4+3=7 (天)(星期日)。 解： 31-1+28+9=67(天) 67÷7=9(周)…4(天) 4+3=7 (天)(星期日) 【答案】日 【方法总结】当原来星期几加余数的结果等于或小于7时, 结果是几就是星期几，如果结果大于7时，就要减去7,剩下的结果是几就是星期几。 1.2025年7月1日是星期二，根据这一信息,可以算出2025年3月1日是星期 。 2.2015年4月4日是星期六,那么2016年的4月4日是星期 。 3.2017年3月19日是星期日,据此推算，2017年9月1日是星期 。 叠加周期 A B C A B C A B … 我 爱 科 学 我 爱 科 学 … 上表中,每列上、下两个是由字母和字组成一组,如第一组“A我”,第二组“B爱”……,则第16组是 。 【分析】观察上表,我们可以找到表中有两个独立的排列规律。第一行以“A、B、C”三个字母为一个周期重复出现,第二行以“我、爱、科、学”四个字为一个周期重复出现要求第16组是什么字母和字,必须分别求出上、下行各是什么字母和字才行。 解： 第一行:16÷3=5(组)……1(个) 说明第16个字母是“A”； 第二行:16÷4=4(组) 说明第16个字是“学”所以第16组是“A学”。 【答案】（A、学） 1.下表中每一列两个字(字母)组成一组如第一组“A蓝”,第二组“B天”…问第22组是什么? A B C A B C A B C A B … 蓝 天 美 丽 蓝 天 美 丽 蓝 天 美 … 2.如图,每列上、下两个是由字和字母组成一组,例如:第一组是(我、A),第二组是(是、B)…第76组是 。 我 是 中 国 人 我 是 中 国 人 我 是 中 … A B C D E F A B C D E F A … 3.如图所示表格中每行文字都是循环出现的:第一行是“疯狂动物城”不断重复,第二行是“功夫熊猫”不断重复。那么第 2016列从上到下依次写出的两个汉字为 。 疯 狂 动 物 城 疯 狂 动 物 城 … 功 夫 熊 猫 功 夫 熊 猫 功 夫 … 复杂周期 假设所有的自然数按下表的规律排列起来: （1）35 排在哪一列的第几个数? （2）B列的第8个数是几? （3）E列的第7个数是几? 【分析】我们把8个数看作一个周期,从中发现: （1）A列的数除以8没有余数;B列的数除以8余1、7;C列的数除以8余2、6;D列的数除以8余3、5;E列的数除以8余4。 （2）余数是1、2、3、4的数都在所在列的单数个位置,余数是5、6、7以及除以8没有余数的数，都在所在列的双数个位置。 （3）一个周期的8个数中，其中A、E列各占一个位置,B、C和D列各占两个位置。 解： （1）35÷8=4(周期)…3 4×2+1=9(个) 答:35排在D列的第9个数。 （2）B列双数个位置余数是7,第8个数为: 8×[(8-2)÷2]+7=31 答:B列的第8个数 31。 （3）E列中前后两项相差均为8,这列的第7个数是: 4+8×(7-1)=52 答:E列的第7个数是52。 【答案】（1）9；（2）31；（3）52 1.四年级一班12个小朋友围成一圈玩击鼓传花的游戏,1号同学手里有一朵花,每敲一下鼓就将花按顺时针方向传给下一个人,当鼓响了99下后,花落在 号同学手里。 A.2 B.3 C.4 D.5 2.王涛同学伸出左手,从大拇指开始像图示那样数数1,2,3，…,那么王涛数到2013时会落在 上。 A.大拇指 B.食指 C.无名指 D.小指 3.将1、2、3、…2015、2016作如下位置的排列行中(横向为行),那么2016应排 第 个数。 A.4、504 B.1、504 C.4、5.3 D.1、503 商与积尾数周期 用1～9这9个数码连续不断地排列成一个100位数，123456789123456789…这个100位数除以9余几? 【分析】123456789123456789……1234567891。 因为123456789能被9整除。 100÷9=11（组）……1（个） 123456789是9的倍数，所以只要考虑最后1位数除以9的余数是几。 最后一个数字是1，所以1除以9余1。 【答案】1 【方法总结】 各个数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。或先找出能被9整除的周期数（123456789为一个周期），去掉周期数后余下的数与这个数相除的余数就是原来的余数。 周期性工程问题 一部书稿，阿华田单独打完要14小时完成，小不点单独打完要20小时完成。如果阿华田先打，两人轮流打1小时。那么，打完这部书稿时阿华田、小不点二人共用了多少小时? 【分析】阿华田和小不点交替完成书稿需要16.4小时‌。具体计算过程如下： （1）首先计算阿华田和小不点的工作效率。阿华田每小时完成的工作，小不点每小时完成的工作。两人合作每小时可以完成+ = 的工作‌； （2）计算两人合作完成大部分工作所需时间。由于他们每小时合作可以完成的工作，所以完成大部分工作需要1 ÷ = （小时‌），约等于8小时‌；在这8小时内，阿华田和小不点各工作8小时。 （3）计算剩余工作量。剩余工作量 = 1 - × 8 = （4）计算阿华田完成剩余工作所需时间。阿华田每小时可以完成的工作，所以完成剩余的1/35工作需要÷ = （小时‌），即0.4小时；‌ （5）最后，计算总时间。总时间 = 8小时 × 2(阿华田和小不点各8小时) + 0.4小时 = 16.4（小时‌） 解： 甲、乙合打时间：1÷（+ ）=8（小时） 这部分工作由甲单独来完成，还需要时间：×÷=（小时） 甲、乙一共用的时间：8×2+=（小时） 【答案】 .4小时 1.一部书稿，卢建单独打完要20小时完成，文华单独打完要15小时完成。如果先由卢建打1小时，然后由文华接替打1小时，再由卢建接替文华两人如此交替工作。那么，打完这部书稿时，卢建、文华打1小时二人共用了多少小时?如果文华先打，结果一样吗? 2.完成一项工程，甲单独工作需要18小时，乙需要24小时，丙需要30小时，现甲、乙、丙按照如下的顺序工作:甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙甲、乙…每人工作一小时换班，直到工程完成，问:当工程完成时，甲、乙、丙个干了多少个小时? ‌ 3.甲工程队每工作6天休息1天，乙工程队每工作5天休息2天，一件工程，甲队单独做需要97天，乙队单独做需要75天，如果两队合做，自2007年10月1日开工，到几月几日可完工? 周期性行程问题 大家都听说过“蜗牛爬墙”的故事:一只地面上的蜗牛要爬上高9尺的一堵光滑的墙,它很懒惰，每爬1小时后要休息1小时，向上爬时每小时可前进3尺，由于墙壁很滑，休息时要自然下滑2尺,这只蜗牛需多少小时才能爬到墙顶?现在蜗牛想从墙顶爬到地面上，又需要多少小时?(假设蜗牛笔直前进) 【分析】根据题意可知，向上爬，蜗牛每2小时可前进3-2=1（尺），需注意在爬上墙的最后1小时蜗牛不再下滑。向下爬，蜗牛每2小时可前进3+2=5（尺）。据此解答即可。 解： 向上爬： 9-3=6（尺） 3-2=1（尺） 6÷1=6（小时） 6×2+1=13（小时） 向下爬： 3+2=5（尺） 5×2=10（尺） 10＞9 【答案】2小时 1.龟兔赛跑，全程5.4千米，兔子每小时跑 12 千米，乌龟每小时跑2千米，乌龟不停地跑，但兔子边跑边玩，它先跑1分，然后玩15分:又跑2分，玩15分:再跑3分，玩15分.....那么先到达终点的比后到达终点的快多少分? 每题5分，共100分 测试时间：60分钟 一、填空题。（25分） 1.某年六一儿童节是星期三，7月1日建党节是（ ） A.星期三 B.星期四 C.星期五 2.现在时针指着钟面上的数字“3”, 那么过30小时后，时针指着数字（ ）。 A.7 B.8 C.9 D.10 3.一项工作，甲单独做需10小时完成，乙单独做需15小时完成，如果由甲先做，两人轮流工作1小时，那么完成任务时共用多少小时? A.5 B.6 C.12 D.15 4.已知一列数按“294736294736294…排列，那么前 40 个数字之和是（ ）。 A.208 B.210 C.212 D.214 5.丁丁也不甘示弱:你们知道著名的“斐波那契”数列吗?它是这样一组数:1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问:前 2016个数中共有（ ）个偶数。 A.672 B.1344 C.504 D.1008 二、填空题。（25分） 6.圣诞节到了，街上挂满了彩灯，并且按照5盏红灯、接4盏蓝灯、接1盏黄灯，然后又是5盏红灯、接4盏蓝灯、接1盏黄灯这样的顺序排下去。 问:(1)第150盏灯是（ ）颜色。 前200彩灯中有（ ）盏蓝灯。 7.九名同学在老师的指导下玩击鼓传花游戏，老师每敲一下，同学就将花传给顺时针方向的下一个同学，例如0号传给1号，1号传给2号……8号传给0号，那么，当老师敲第 50下，同学们正好完成第50次传递，花传到7号同学的手上，你知道花是从（ ）号同学手上开始传的。 8.丁丁很快地算出了答案，他说:“2016年5月1日(劳动节)是星期日，请问明年的劳动节是星期（ ）(一年以 365 天为准)。 9.在一根绳子上依次穿2个红珠、3个白珠、5个黑珠，并按此方式反复。如果从头开 始数，直到第77颗，那么其中白珠比黑珠少（ ）颗。 10．如图，用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种彩笔，在一张方格纸中自左上到右下的斜行里按顺序循环涂色．那么第20行30列交叉处所涂的颜色是（ ）。 三、解决问题。（50分） 11.在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为(共社)，第二组为(产会)。那么，第340组是什么? 共 产 党 好 共 产 党 好 共 产 党 好 … 社 会 主 义 好 社 会 主 义 好 社 会 … 12.如图，4只小动物不断交换座位。一开始，小鼠坐第1号椅子，小猴坐第2号椅子， 小免坐第3号椅子，小猫坐第4号椅子。第1次前后两排交换．第2次是在第1次交换的基础上左右两排交换。第3次又是前后两排交换．第4次再左右两排交换，……，这样一直换下去。问：第10次交换座位后，小兔坐在第几号椅子上? 13．甲、乙、丙、丁4个停车场里分别停放着10，7，5，4辆车．从停放汽车最多的车场中往另外3个车场各开去一辆汽车，称为一次调整．那么经过1998次这样的调整后，甲场中停放着多少辆汽车? 14．500名士兵排成一列横队，第一次从左到右l至5循环报数，第二次反过来从右到 左l至6循环报数。那么，既报l又报6的士兵有多少名? 15．甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色．首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底．最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为多少厘米? 16．有一些小朋友排成一行。从左面开始，发给第一个人一个苹果，以后每隔2人发一个苹果；从右面开始，发给第一个人一个橘子，以后每隔4人发一个橘子。结果有10个小朋友苹果和橘子都拿到。那么，这些小朋友最多可能有多少人? 17．《小学生数学报》每星期五出版一期，已知1994年10月份第一期是10月7日出版的，那么1995年1月份第一期应在哪天出版? 18．王师傅在某个特殊岗位上工作，他每上8天班后．就连续休息2天．如果这个星期六和星期天他休息，那么，至少再过几周后他才能又在星期天休息? 19．某人在连续的24天中打了若干天工，共挣得190元．已知星期一到星期五全天工 作，日工资10元；星期六半天工作，得工资5元；星期天不工作，无工资．他从3月 下旬的某一天开始工作，这个月的1日是星期天．问：这个人打工的最后一天是4月几日? 20.蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条出水管。要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时;要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问多少小时开始溢水? 【巩固提升】参考答案 1.☆★☆〇☆★☆○☆★☆○……按照这个规律,请问第80个图案是 。 【分析】周期为4个（☆★☆〇） 解：80÷4=20，最后一个是○。 【答案】○ 2.小猫咪A,B,C,D,E,F排队依次从猫妈妈手中领鱼干,每只小猫咪每次领1条，领完后再到队尾继续排队，直到鱼干发完,若猫妈妈有278条鱼干,则最后一个领到鱼干的小猫咪是 。 【分析】周期为（ABCDEF）6只小猫。 解：278÷6=46（个周期）……2（只）周期里的第二个是B。 【答案】B 3.一排气球,按照4个红色、1个黄色、2个蓝色的规律排列,最后一个是黄色,且总数不超过100，这排气球的总数最多有 个。 【分析】按照4个红色、1个黄色、2个蓝色的规律排列的气球，且总数不超过100个时，最多可以有96个气球‌。这是因为每个周期包含7个气球（4红+1黄+2蓝），如果按照这种方式排列，最多可以有13个完整的周期加上5个额外的气球（因为最后一个必须是黄色），即7×13+5=96。 气球颜色排列的规律 ‌红色‌：4个 ‌黄色‌：1个 ‌蓝色‌：2个 计算方法 每个周期包含7个气球，如果总数不超过100，可以通过以下方式计算： 计算完整的周期数：100÷7= 14余2，这意味着有13个完整的周期。 计算剩余的气球数：由于最后一个必须是黄色，所以还需要5个气球来完成周期。 因此，总气球数为：7×13 +5=96（个）‌ 【答案】96 1.篮球、足球、排球按照下面的规律排成一行,那么前99 个球中共有 个足球。 【分析】正确为4（1篮球、1足球、1排球、1足） 解：99÷4=24（周期）……2（个）（余数里有1个足球） 24×2+1=49（个） 【答案】49 2.下面一组图形是按一定规律排列的:○○○○△△△□□○○○○△△△□□○○○○△△△□□…… 问:（1）第205个图形是什么? （2）前205个图形中,○有几个?△有几个? □有几个? 【分析】周期为9（○○○○△△△□□） 解：（1）205÷9=22（周期）……7（个）（周期里的第7个图形是△） （2）23个周期少2，少2个□。 ○的个数：23×4=92（个） △的个数：23×3=69（个） □的个数：23×2-2=44（个） 【答案】（1）□；（2）92,69,44 3.有一列数,1、3、6、8、5、7、1、3、6、8、5、7……第58个数是 ,这58个数相加的和是 。 【分析】周期为6（1,3,6,8,5,7） 解：58÷6=9（周期）……4（个） 第58个数字是8； 和：（1+3+6+8+5+7）×9+（1+3+6+8）=288 【答案】8,288 1.下表中每一列两个字(字母)组成一组如第一组“A蓝”,第二组“B天”…问第22组是什么? A B C A B C A B C A B … 蓝 天 美 丽 蓝 天 美 丽 蓝 天 美 … 【分析】周期为A,B,C；蓝，天，美，丽。 22÷3=7……1（A） 22÷4=5……2（天） 所以第22组为A天。 【答案】A天 2.如图,每列上、下两个是由字和字母组成一组,例如:第一组是(我、A),第二组是(是、B)…第76组是 。 我 是 中 国 人 我 是 中 国 人 我 是 中 … A B C D E F A B C D E F A … 【分析】同上 解：76÷5=15……1（我） 76÷6=12……4（D） 【答案】（我、D） 3.如图所示表格中每行文字都是循环出现的:第一行是“疯狂动物城”不断重复,第二行是“功夫熊猫”不断重复。那么第 2016列从上到下依次写出的两个汉字为 。 疯 狂 动 物 城 疯 狂 动 物 城 … 功 夫 熊 猫 功 夫 熊 猫 功 夫 … 【分析】同上 2016÷5=403……1（疯） 2016÷4=504（猫） 【答案】（疯、猫） 1.四年级一班12个小朋友围成一圈玩击鼓传花的游戏,1号同学手里有一朵花,每敲一下鼓就将花按顺时针方向传给下一个人,当鼓响了99下后,花落在 号同学手里。 A.2 B.3 C.4 D.5 【分析】周期为（2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，1） 99÷12=8（周期）……3（4号） 【答案】C 2.王涛同学伸出左手,从大拇指开始像图示那样数数1,2,3，…,那么王涛数到2013时会落在 上。 A.大拇指 B.食指 C.无名指 D.小指 【分析】8个数字为一个周期（大拇指，食指，中指，无名指，小指，无名指，中指，食指） 解：2013÷8=251（周期）……5（小指） 【答案】D 3.将1、2、3、…2015、2016作如下位置的排列行中(横向为行),那么2016应排 第 个数。 A.4、504 B.1、504 C.4、503 D.1、503 【分析】2016应排在第一行中的第504个数‌。这是因为排列的规律是每8个数为一个周期，每个周期包含两列。2016除以8的商为252，表示2016是第252个周期的最后一个数。由于每个周期有8个数，因此252个周期共有2×252=504个数。因此，2016排在第一行中的第504个数‌。 解：2016÷8=252（周期） 252×2=504 【答案】B（1、504） 【分析】 1个7 2个7 3个7 4个7 5个7 6个7 …… 连乘 7 72 73 74 75 76 …… 尾数 7 9 3 1 7 9 …… 若干个自然数的积的尾数等于这若干个自然数尾数之积的尾数,2025个17的连乘积的尾数等于2025个7的连乘积的尾数。 我们先列举前几个7的积,看看尾数在怎样变化, 解： 1个7的尾数就是7; 7×7的尾数是9; 7×7×7的尾数是3; 7×7×7×7的尾数是1; 由此可见,积的尾数以7、9、3、1这四个数字循环出现,2025÷4=506……1,说明2025个7相乘,积的尾数是7,即2025个17相乘:积的尾数是7。 【答案】7 【方法总结】 一个自然数的n次方的尾数等于它的尾数的n次方的尾数,而且一个自然数的n次方的尾数是有规律可循的。 1.一部书稿，卢建单独打完要20小时完成，文华单独打完要15小时完成。如果先由卢建打1小时，然后由文华接替打1小时，再由卢建接替文华两人如此交替工作。那么，打完这部书稿时，卢建、文华打1小时二人共用了多少小时?如果文华先打，结果一样吗? 【解析】卢建和文华交替工作完成书稿所需的总时间为17小时。‌ 具体计算过程如下： ‌（1）工作效率计算‌： 卢建每小时的工作效率为（因为他单独打完需要20小时）。 文华每小时的工作效率为（因为他单独打完需要15小时）。 两人交替工作时，每小时共同完成的工作量为两人的工作效率之和，即+=。 ‌（2）交替工作时间计算‌： 在这种情况下，两人交替工作8小时可以完成的工作量×8= ）。 剩余的工作量为1- =。 剩余的工作量由卢建工作1小时后还剩下-=； ‌最后由文华完成要÷=（小时） （3）总时间计算‌：8×2+1+=17（小时） 文华和卢建交替工作完成书稿所需的总时间为8×2+÷=17小时。‌ 【答案】17小时；17小时 2.完成一项工程，甲单独工作需要18小时，乙需要24小时，丙需要30小时，现甲、乙、丙按照如下的顺序工作:甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙…每人工作一小时换班，直到工程完成，问:当工程完成时，甲、乙、丙个干了多少个小时? ‌【解析】轮班顺序影响剩余工作量的分配顺序，需严格按照“甲→乙→丙→乙→丙→甲……”的循环处理。‌‌ 最小公倍数法将分数运算转化为整数计算，简化过程。‌‌‌‌ 解： （1）设定基准工作量‌。 将工程总量设为甲、乙、丙单独工作时间的最小公倍数360，得到效率值： 甲：360 ÷ 18 = 20单位/小时。 乙：360 ÷ 24 = 15单位/小时。 丙：360 ÷ 30 = 12单位/小时。‌‌ ‌（2）完整轮次计算‌。 每轮三人按“甲→乙→丙→乙→丙→甲→丙→甲→乙……”顺序工作（完整轮次7次）： 每轮3小时完成工作量：20 + 15 + 12 = 47单位。 7轮后完成工作量：47 × 7 = 329单位。 剩余工作量：360 - 329 = 31单位。‌‌ ‌（3）剩余工作量分配‌。 按照顺序继续分配： ‌乙‌工作1小时：完成15单位，剩余31 - 15 = 16单位。 ‌丙‌工作1小时：完成12单位，剩余16 - 12 = 4单位。 ‌甲‌最后工作时间：4 ÷ 20 = 0.2小时（即12分钟）。‌‌ （4）‌总工作时间统计‌。 甲：7轮 × 1小时 + 0.2小时 = ‌7.2小时‌（7小时12分钟）。 乙：7轮 × 1小时 + 1小时 = ‌8小时‌。 丙：7轮 × 1小时 + 1小时 = ‌8小时‌。‌‌ ‌【答案】8小时 3.甲工程队每工作6天休息1天，乙工程队每工作5天休息2天，一件工程，甲队单独做需要97天，乙队单独做需要75天，如果两队合做，自2007年10月1日开工，到几月几日可完工? 【解析】两队合作需要43天完成该工程，若从3月1日开工，则竣工日期为4月12日。‌ ‌核心计算过程‌ ‌（1）实际工作天数分析‌。 ‌甲工程队‌：每7天周期工作6天，休息1天。甲单独完成需97天，其中包含13天休息（97÷7≈13周），实际工作天数为97-13=84天。‌‌ ‌乙工程队‌：每7天周期工作5天，休息2天。乙单独完成需75天，其中包含20天休息（75÷7≈10周），实际工作天数为75-20=55天。‌‌ ‌（2）工作效率与总量计算‌。 假设工程总量为甲、乙单独工作量的公倍数（84×55=4620单位）。 ‌甲每天效率‌：4620÷84=55单位/天。 ‌乙每天效率‌：4620÷55=84单位/天。‌‌ ‌（3）合作效率与进度‌。 ‌每周（7天）合作效率‌：甲工作6天完成6×55=330单位，乙工作5天完成5×84=420单位，合计750单位。‌‌ ‌总进度计算‌： 合作6周完成750×6=4500单位，剩余120单位。 剩余部分需120÷（55+84）≈0.86天，即需要额外1天完成。‌‌ ‌（4）总工期与日期推算‌。 总耗时：6周（42天）+1天=43天。‌‌ 从3月1日开始： 3月共有31天，扣除3月1日当天，剩余30天。 43-30=13天，即完工日期为4月12日。 【答案】4月12日 1.龟兔赛跑，全程5.4千米，兔子每小时跑 12 千米，乌龟每小时跑2千米，乌龟不停地跑，但兔子边跑边玩，它先跑1分，然后玩15分:又跑2分，玩15分:再跑3分，玩15分.....那么先到达终点的比后到达终点的快多少分? 【分析】乌龟和兔子完成龟兔赛跑全程5.4千米所需的时间分别为162分钟和117分钟，因此兔子比乌龟快45分钟到达终点‌‌。 解： ‌乌龟的时间计算‌：乌龟每小时跑2千米，所以跑完全程5.4千米需要的时间为5.4千米 ÷ 2千米/小时=2.7小时=162（分钟） ‌兔子的时间计算‌：兔子每小时跑12千米，但会边跑边玩。兔子先跑1分钟，然后玩15分钟；再跑2分钟，玩15分钟；以此类推。兔子实际跑步的时间段为1分钟、2分钟、3分钟……6分钟，总共跑了6分钟。这6分钟内，兔子跑了12千米/小时×6分钟/60 = 0.2千米/分钟×6分钟=1.2（千米）。 因此，兔子跑完全程5.4千米需要的时间为5.4千米÷0.2千米/分钟=27（分钟） 在这27分钟内，兔子玩了6次15分钟，总共玩了90分钟。所以，兔子完成全程所需的总时间为27分钟+90分钟=117（分钟） 通过以上计算，可以得出兔子比乌龟快45分钟到达终点‌。 【答案】兔子比乌龟快45分钟到达终点‌。 【综合测试】参考答案 每题5分，共100分 测试时间：60分钟 一、填空题。（25分） 1.某年六一儿童节是星期三，7月1日建党节是（ ） A.星期三 B.星期四 C.星期五 【分析】算尾不算头解题，从6.1至7.1，刚好为30天。 解：30÷7=4（周）……2（天） 2+3=5（星期五） 【答案】C 2.现在时针指着钟面上的数字“3”, 那么过30小时后，时针指着数字（ ）。 A.7 B.8 C.9 D.10 【分析】 30÷12=2（圈）……6（小时） 数字：3+6=9 【答案】C 3.一项工作，甲单独做需10小时完成，乙单独做需15小时完成，如果由甲先做，两人轮流工作1小时，那么完成任务时共用多少小时? A.5 B.6 C.12 D.15 【分析】 1÷（+）=6（小时），刚好为 【答案】A 4.已知一列数按“294736294736294…排列，那么前 40 个数字之和是（ ）。 A.208 B.210 C.212 D.214 【分析】6个数字294736为一个周期。 解：40÷6=6（组）……4。 和：（2+9+4+7+3+6）×6+（2+9+4+7）=208 【答案】A 5.丁丁也不甘示弱:你们知道著名的“斐波那契”数列吗?它是这样一组数:1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问:前 2016个数中共有（ ）个偶数。 A.672 B.1344 C.504 D.1008 【分析】奇数，奇数，偶数，奇数，奇数，偶数…… 周期为3（奇数、奇数、偶数） 解：2016÷3=672（组） 偶数有672个 【答案】A 二、填空题。（25分） 6.圣诞节到了，街上挂满了彩灯，并且按照5盏红灯、接4盏蓝灯、接1盏黄灯，然后又是5盏红灯、接4盏蓝灯、接1盏黄灯这样的顺序排下去。 问:(1)第150盏灯是（ ）颜色。 （2）前200彩灯中有（ ）盏蓝灯。 【分析】周期为5+4+1=10 解： （1）150÷10=15（组），最后一盏是黄灯； （2）每组里面有4盏蓝灯，一共有黄灯4×15=60（盏） 【答案】（1）黄；（2）60 7.九名同学在老师的指导下玩击鼓传花游戏，老师每敲一下，同学就将花传给顺时针方向的下一个同学，例如0号传给1号，1号传给2号……8号传给0号，那么，当老师敲第 50下，同学们正好完成第50次传递，花传到7号同学的手上，你知道花是从（ ）号同学手上开始传的。 【分析】周期为（1,2,3,4,5,6,7,8,0），共9个号码。 解：50÷9=5（个周期）……5（次） 即实际传花顺序为（3,4,5,6,7,8,0,1,2），所以是从2号开始传的。 【答案】2 8.丁丁很快地算出了答案，他说:“2016年5月1日(劳动节)是星期日，请问明年的劳动节是星期（ ）(一年以 365 天为准)。 【分析】2017年为平年，一共经历了365天。 解：365÷7=52（周）……1天（星期一） 【答案】一 9.在一根绳子上依次穿2个红珠、3个白珠、5个黑珠，并按此方式反复。如果从头开 始数，直到第77颗，那么其中白珠比黑珠少（ ）颗。 【解析】有2+3+5＝10个珠子一个周期，77÷10＝7……7，所以有7个周期再加上2颗红珠，3颗白珠，2颗黑珠。所以，白珠有3×7+3＝24颗，黑珠有5×7+2＝37颗，白珠比黑珠少37－24＝13颗。 【答案】13 10．如图，用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种彩笔，在一张方格纸中自左上到右下的斜行里按顺序循环涂色．那么第20行30列交叉处所涂的颜色是（ ）。 【解析】如果两个方格行号与列号的和相同，涂的颜色也相同．20+30＝50＝1+49．所以，第20行第30列的格子涂的颜色与第一行第49个格子中涂的颜色一样。49÷7＝7，所以第一行第49个格子中应该涂紫色．于是，第20行30列交叉处所涂的颜色为紫色。 【答案】紫色 三、解决问题。（50分） 11.在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为(共，社)，第二组为(产，会)。那么，第340组是什么? 共 产 党 好 共 产 党 好 共 产 党 好 … 社 会 主 义 好 社 会 主 义 好 社 会 … 【解析】因为“共产党好”有4个字，“社会主义好”有5个字，4与5的最小的公共倍数是20，所以再连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之和，将重头写起，出现周期循环，而且每个周期是20组数。而340÷20＝17，所以第340组正好写完第17个周期，第340组是(好，好) 。 【答案】(好，好) 12.如图，4只小动物不断交换座位。一开始，小鼠坐第1号椅子，小猴坐第2号椅子， 小免坐第3号椅子，小猫坐第4号椅子。第1次前后两排交换．第2次是在第1次交换的基础上左右两排交换。第3次又是前后两排交换．第4次再左右两排交换，……，这样一直换下去。问：第10次交换座位后，小兔坐在第几号椅子上? 【解析】每一次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一个，每4次交换座位，小兔的座位又回到原处。10÷4＝2……2，所以第十次交换座位后，小兔的座位应该是第2号位置。 【答案】2 13．甲、乙、丙、丁4个停车场里分别停放着10，7，5，4辆车．从停放汽车最多的车场中往另外3个车场各开去一辆汽车，称为一次调整．那么经过1998次这样的调整后，甲场中停放着多少辆汽车? 【解析】我们把甲、乙、丙、丁4个停车场的车辆数目作为一组数考察，有(10，7，5，4) →(7，8，6，5)→(8，5，7，6)→(5，6，8，7)→(6，7，5，8)→(7，8，6，5)→(8，5，7，6)→… 甲停车厂停放着8辆汽车。 【答案】8 14．500名士兵排成一列横队，第一次从左到右l至5循环报数，第二次反过来从右到 左l至6循环报数。那么，既报l又报6的士兵有多少名? 【解析】 即每5×6＝30个人组成一个循环，报数的情况在完整个循环周期后的所报的两个数完全一样，而左起第5×4+1＝21个人为第一个既报1又报6的，而有(500－20)÷30＝16，所以500个人中有16个既报1又报6。 【答案】16 15．甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色．首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底．最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为多少厘米? 【解析】考虑60厘米长的一段木棍中，没有被涂黑的部分长度总和为1+3+5+4+2＝15厘米．所以3米长的木棍中共有15×(300÷60)＝75厘米长的未被涂黑。 【答案】75 16．有一些小朋友排成一行。从左面开始，发给第一个人一个苹果，以后每隔2人发一个苹果；从右面开始，发给第一个人一个橘子，以后每隔4人发一个橘子。结果有10个小朋友苹果和橘子都拿到。那么，这些小朋友最多可能有多少人? 【解析】苹果每3人发一个，橘子每5人发1个．由于3，5的最小的公共倍数是15，所以每15个朋友中有1个苹果和橘子都拿到。 因此，苹果和橘子都拿到的10个小朋友之间共有15×(10－1)+1＝136人。 他们的左边最多有4个小朋友拿到苹果，左边最多有3×4＝12人；而右边最多有2个小朋友拿到橘子，右边最多有5×2＝10人。 因此，最多有12+136+10＝158人。 【答案】158 17．《小学生数学报》每星期五出版一期，已知1994年10月份第一期是10月7日出版的，那么1995年1月份第一期应在哪天出版? 【解析】1995年1月1日，是在1994年10月7日(31－7)+30+31+1＝86天后，86÷7＝12……2，所以1月1日是在星期日，则再过5天，即1月6日是星期五，那么1995年1月份的第一期也就是在这一天出版。 【答案】1月6日 18．王师傅在某个特殊岗位上工作，他每上8天班后．就连续休息2天．如果这个星期六和星期天他休息，那么，至少再过几周后他才能又在星期天休息? 【解析】王师傅星期六休息有两种可能，星期六、天休息，星期天、一休息； 如果是星期六，天休息，有王师傅工作状态10天一个循环，而一个星期7天，所以最少70天后，星期六、天休息，即10个星期后；如果是星期天、一休息，有7+7+7+7+7+7+7+7＝10+10+10+10+10-1，所以7个星期后，王师傅星期天、一休息。那么至少再过7个星期王师傅又在星期天休息。 【答案】7 19．某人在连续的24天中打了若干天工，共挣得190元．已知星期一到星期五全天工 作，日工资10元；星期六半天工作，得工资5元；星期天不工作，无工资．他从3月 下旬的某一天开始工作，这个月的1日是星期天．问：这个人打工的最后一天是4月几日? 【解析】因为3×7＜24＜4×7，所以24天中星期六和星期日的个数，都只能是3或4。 又190是10的整数倍，所以24天中的星期六的天数是偶数．再由240－190＝50元可知， 这24天中恰有4个星期六、3个星期日．星期日总是紧挨在星期六之后的。因此，这人打工结束的那一天必定是星期六．由此逆推回去，便可知道开始的那一天是星期四．因为3月1日是星期日，所以3月22日也是星期日，从而3月下旬唯一的一个星期四是3月26日。 从3月26日往后算，可知第24天是4月18日，这就是打工结束的日子。 【答案】18 20.蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条出水管。要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时;要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问多少小时开始溢水? 【解析】 甲、乙、丙、丁四管按顺序每小时轮换开启的周期性计算得出：每个4小时周期净增加水量池，结合池内初始水量，通过5个完整周期积累至临界点后，由甲管补充剩余水量完成注满。‌‌ ‌解： ‌（1）各水管工作效率‌ 甲进水管：每小时注水池 丙进水管：每小时注水池 乙排水管：每小时排水池 丁排水管：每小时排水池。‌‌ ‌（2）周期水量变化分析‌ 按甲→乙→丙→丁顺序每4小时为一个周期，水量净增加： （甲注水） - （乙排水） + （丙注水） - （丁排水） = 池/周）期临界点与时间计算‌ 初始水量：池（即池） 5个周期后累计水量： + 5× = （池） 剩余需注水量：1 - = （池） ‌甲管最后一轮工作时间‌： ÷ = 0.75小时（45分钟）。‌‌ ‌（3）总耗时 总时间 = 5个周期×4小时/周期+甲管补充时间=20小时+4分钟=20小时45分钟‌。 【答案】20小时45分钟 14 学科网（北京）股份有限公司 $$