第26讲 三角恒等变换-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第26讲 三角恒等变换 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦： : : 2、两角和与差的余弦： : : 3、两角和与差的正切： :. :. 注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②公式的变形：． 知识点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角公式： （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、二倍角公式的变形及应用 （1）倍角公式的逆用： ；；． ：；；． （2）降幂（扩角）公式：；； ；． 知识点3积化和差与和差化积 1、积化和差 2、和差化积 知识点4辅助角公式 1、辅助角公式：（其中） 实质上是将同角的正弦值和余弦值与常数积的和变形为一个三角函数，当式子化简为同角不同名三角函数相加减时，通常利用辅助角公式化为正弦型． 2、辅助角公式的推导 = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角终边所在的象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定． 3、常见辅助角结论 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点5 解题技巧 1、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 2、三角函数给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 教材习题01 求下列各式的值: (1) (2) (3) (4) 解题方法 （1）. （2）. （3）. （4）. 【答案】(1) (2) (3) (4) 教材习题02 求证：. 解题方法 证明：因为，要证，即要证. 由 , 故成立. 【答案】答案见解析 教材习题03 化简 (1) (2) (3) (4) 解题方法 （1）解：， ， （2）， ， ， （3）， ， ， （4）， ， ， . 【答案】(1) (2) (3) (4) 考点一 利用和差公式化简、求值 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．若，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则 ． 4．的值为 . 5．已知，都是锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 考点二 二倍角公式 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则有（   ） A． B． C． D． 3．函数的最小正周期为 . 4．化简： ． 5．已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)若，求的值. 考点三 降幂公式 1．下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．曲线关于点对称 D．曲线关于直线对称 3．已知，且满足，则，则 ． 4．的值是 .. 5．近年来，金山区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积S； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 考点四 辅助角公式 1．以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则 . 4．若函数在时取到最大值，则 ． 5．已知函数，函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，求： (1)的单调递增区间； (2)在区间上的最大值和最小值． 考点五 给角求角、求值 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知且则tanβ=（    ） A．3 B．2 C． D． 3．已知，则的值为 . 4．已知，，，，则的值为 . 5．已知，. (1)求和的值； (2)若，为锐角，求的值； (3)若，为锐角，求角. 考点六 半角公式 1．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，且为第三象限角，则 . 4．若，且，则 . 5．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点． (1)求； (2)的值． (3)求的值． 考点七 化切为弦 1．已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则 ． 4．已知，，则 . 5．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A、B两点，点A的横坐标为，点C与点B关于x轴对称． (1)求的值； (2)若，求的值． 知识导图记忆 知识目标复核 1．两角的和差公式及变形 2．两角的倍角公式及变形 3．辅助角公式 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（） A． B． C． D． 3．已知函数的部分图象如图所示，若，则（ ） A． B． C． D． 4．（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B．3 C． D． 7．函数在内的零点之和为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，则 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知函数，则（ ） A．函数的图象关于点对称 B．的最小值为-2 C．直线是函数的一条对称轴 D．函数步骤正确 11．已知，若任意满足条件的实数、、均满足不等式，则可以为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是以为周期的周期函数 B．在上单调递减 C．的最大值为 D．存在，使得为奇函数 13．已知函数的部分图象如图，则（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．函数的零点个数为11个 D．在上的零点之和为 三、填空题 14．已知，且，则 ． 四、解答题 15．求函数的最小正周期． 16．求函数的最小正周期． 17．已知函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为. (1)求的解析式，并写出取得最大值时，自变量x的取值组成的集合； (2)若成立的充分条件是，求实数m的取值范围. 18．（1）求证：； （2）已知，，求的值． 19．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 20．已知函数，若存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26讲 三角恒等变换 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦： : : 2、两角和与差的余弦： : : 3、两角和与差的正切： :. :. 注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②公式的变形：． 知识点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角公式： （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、二倍角公式的变形及应用 （1）倍角公式的逆用： ；；． ：；；． （2）降幂（扩角）公式：；； ；． 知识点3积化和差与和差化积 1、积化和差 2、和差化积 知识点4辅助角公式 1、辅助角公式：（其中） 实质上是将同角的正弦值和余弦值与常数积的和变形为一个三角函数，当式子化简为同角不同名三角函数相加减时，通常利用辅助角公式化为正弦型． 2、辅助角公式的推导 = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角终边所在的象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定． 3、常见辅助角结论 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点5 解题技巧 1、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 2、三角函数给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 教材习题01 求下列各式的值: (1) (2) (3) (4) 解题方法 （1）. （2）. （3）. （4）. 【答案】(1) (2) (3) (4) 教材习题02 求证：. 解题方法 证明：因为，要证，即要证. 由 , 故成立. 【答案】答案见解析 教材习题03 化简 (1) (2) (3) (4) 解题方法 （1）解：， ， （2）， ， ， （3）， ， ， （4）， ， ， . 【答案】(1) (2) (3) (4) 考点一 利用和差公式化简、求值 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式，可得答案. 【详解】由题意得，则. 故选：D. 2．若，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】由可得， 由二倍角公式可得，得， 由于，则，故 ， 故选：C 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】利用和差角的余弦公式求解即得. 【详解】由，得， 整理得，所以. 故答案为： 4．的值为 . 【答案】/ 【分析】利用两角和余弦公式即可求解. 【详解】由， 故答案为： 5．已知，都是锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得，然后由二倍角的正切公式可得答案； （2）由两角差的正弦公式可得答案. 【详解】（1）因，是锐角，则. 从而，则； （2）因，是锐角，则. 则. 考点二 二倍角公式 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦的二倍角公式、弦化切可得答案. 【详解】. 故选：C. 2．设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切的二倍角公式，余弦的两角和公式，余弦的二倍角公式进行化简，再利用三角函数的单调性进行大小比较即可. 【详解】由， ， ， 根据正弦函数的单调性可知， 根据正切函数的单调性可知， 故选：D. 3．函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数，再利用正弦函数周期公式求解. 【详解】函数，其最小正周期. 故答案为： 4．化简： ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用和角公式及二倍角公式可得，再赋值计算即得. 【详解】由， 得，又， 所以 . 故答案为：0 5．已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先对函数关系式进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，再根据对称轴方程计算即可； （2）根据（1）中函数的关系式，进一步结合诱导公式二倍角公式计算即可． 【详解】（1） 由，可得， 所以图象的对称轴方程为； （2）由（1）知， 由，可得， 所以 ， 考点三 降幂公式 1．下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角恒等变换公式逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 2．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．曲线关于点对称 D．曲线关于直线对称 【答案】C 【分析】首先由降幂公式即可得出，根据余弦函数的周期性，单调性及对称性即可得出判断． 【详解】， 对于A，，故A正确； 对于B，当时，， 因为在单调递减，所以在上单调递减，故B正确； 对于C，，不是曲线的对称中心，故C错误； 对于D，因为，是函数的最小值，故曲线关于直线对称，D正确； 故选：C． 3．已知，且满足，则，则 ． 【答案】/ 【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以， 所以，得， 所以． 故答案为： 4．的值是 .. 【答案】/0.25 【分析】综合运用两角和的余弦公式、辅助角公式、降幂的余弦公式结合诱导公式进行化简即可求值. 【详解】原式 . 故答案为： 5．近年来，金山区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积S； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）在直角三角形中利用半径与分别表示出和，进而可得矩形面积表达式，利用二倍角公式及辅助角公式将化简变形，将代入即可求解； （2）由（1）可知矩形的面积为，其中结合角的范围及正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中，，， ，，其中. 在中，，， ，， ∴矩形的面积为 当时， ， 即矩形的面积为 . （2）由（1）知：矩形的面积为，其中. ， ∴当，即时，取得最大值，最大值为. 考点四 辅助角公式 1．以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断AB；利用二倍角的正弦及正弦函数单调性比较判断C；利用辅助角公式，结合求解判断D. 【详解】对于AB，取，，，AB错误； 对于C，，而，，，C错误； 对于D，单位圆交轴正半轴于，点在圆上，且，于， 则，劣弧长为，由，得，因此， ，D正确. 故选：D 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到，再利用二倍角余弦公式即可求得. 【详解】因为 所以， 所以. 故选：D 3．已知，则 . 【答案】 【分析】先用辅助角公式化简等式，再利用二倍角公式进行求解. 【详解】因为，所以， 令，则， . 故答案为： 4．若函数在时取到最大值，则 ． 【答案】 【分析】根据辅助角公式，对函数进行恒等变换，判断何时取得最大值，再根据正余弦两角和差公式，和同角三角函数关系，求出角的正弦值，再根据二倍角公式，求出结果. 【详解】已知，其中， 当时，取得最大值，且， 可知， 则， 同理可得， 则. 故答案为：. 5．已知函数，函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，求： (1)的单调递增区间； (2)在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为1；最小值为 【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，结合正弦函数的周期性求出，再由单调性即可求解； （2）结合正弦函数取得最值的条件即可求解. 【详解】（1）根据题意，， 因为函数图象的相邻两个对称中心间的距离为， 所以，故， 因为，所以， 所以，                         令， 即， 所以的单调递增区间为． （2）由（1）得，， 因为，所以， 所以，                             当，即时，取最大值，最大值为1； 当，即时，取最小值，最小值为． 考点五 给角求角、求值 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知等式变形得出，求出的值，根据三角恒等变换得出可得出的值，再利用二倍角的余弦公式可求出的值. 【详解】由可知， 在上述等式两边同除可得，可得， 解得， 所以， 当时，， 当时，， 综上所述，，因此，. 故选：B. 2．已知且则tanβ=（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据求得，代入题意中的等式，利用二倍角的余弦公式求出，结合同角的商数关系计算即可求解. 【详解】因为，所以， 得，又， 解得，由，解得， 所以， 所以. 故选：C 3．已知，则的值为 . 【答案】 【分析】根据和差公式及辅助角公式化解得，再利用二倍角公式可求得值. 【详解】， ， 故答案为：. 4．已知，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 5．已知，. (1)求和的值； (2)若，为锐角，求的值； (3)若，为锐角，求角. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先利用同角基本关系式和的范围求，接着利用二倍角公式求； （2）先求，再利用得解； （3）利用二倍角正切公式得，再求，结合角的范围得解. 【详解】（1）因为，且所以， 又，所以， 因此，； （2）因为，，所以， 又，则， 则 ， 则， 所以； （3）因为，，则，且， 则， 又，所以. 考点六 半角公式 1．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用半角公式求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：C 2．已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换，进行化简，根据三角函数单调性，判断大小. 【详解】因为，所以， 根据正切两角和的公式得， 根据二倍角公式可知， 根据余弦函数在上单调递减，且值域为，所以， 正切函数在上单调递增，所以， 所以， 故选：D. 3．已知，且为第三象限角，则 . 【答案】 【分析】应用两角差的正弦结合同角三角函数关系求出，最后应用半角公式结合诱导公式计算求值. 【详解】. 结合为第三象限角，， 则. 故答案为：. 4．若，且，则 . 【答案】 【分析】由，结合余弦二倍角公式求得，再结合半角公式即可求解. 【详解】由，得，解得或， 又，所以， 所以， 所以， 故答案为： 5．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点． (1)求； (2)的值． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角函数定义可得，后由两角和的正切公式可得答案； （2）由诱导公式化简，后由可得答案； （3）根据半角公式，结合同角三角函数关系式联立方程组解题即可. 【详解】（1）由三角函数定义，结合题意，可得， 即，所以； （2）由诱导公式，结合题意可得： ， 又，则 （3）根据半角公式，则， 由，即，可得. 又因为，把代入可得. 即，，，则. ，且终边与单位圆交点，终边在第一象限， 则，则， 则终边落在第一象限，则，则，； 则的值为. 考点七 化切为弦 1．已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由结合正切和角公式化简，求得，利用万能公式即可求解. 【详解】∵，∴， 解得或（舍去）， 所以. 故选：D 2．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，由两角和的正切公式展开，结合已知求得和，然后求得，再由两角差的正弦公式计算． 【详解】由得，所以， 又，所以， 由，解得，或（舍去，此时不是锐角）， ，是锐角，， ，则， 所以． 故选：C． 【点睛】思路点睛：本题考查两角和正切公式，万能公式，同角间的三角函数关系，两角差的正弦公式．解题关键是确定选用公式的顺序，解题时由函数名及角的关系确定选用的公式及顺序．． 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】由条件等式右边含有，可联想到中分离出来处理，设，待求表达式中用表示，结合万能公式进行求解. 【详解】设，于是， 整理可得，根据万能公式，， 整理可得， 由可得，， 故， 根据诱导公式，， 根据两角和的正切公式，， 故. 故答案为： 4．已知，，则 . 【答案】 【分析】由两角和与差的正余弦公式、弦化切得出，再由求出，最后代入两角差的正切公式可得答案. 【详解】因为， 所以， 即， 因为，所以， 则. 故答案为：. 5．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A、B两点，点A的横坐标为，点C与点B关于x轴对称． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系、二倍角公式可求解； （2）根据三角函数的定义及两角差的余弦公式，可求解. 【详解】（1）因为点的横坐标为，且，点在第一象限，所以点纵坐标为， 所以，. 所以. （2）因为，由图可知：. 而， 故（）（）， 所以. 知识导图记忆 知识目标复核 1．两角的和差公式及变形 2．两角的倍角公式及变形 3．辅助角公式 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的余弦公式 【分析】又条件根据同角关系求，再结合二倍角公式求结论. 【详解】因为，， 所以，即， 所以，又， 所以， 所以， 故选：A. 2．已知，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】根据题意求出，再由二倍角公式及齐次化可得 【详解】，， ， 故选：B 3．已知函数的部分图象如图所示，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、二倍角的余弦公式 【分析】根据函数图象求出函数的解析式，然后由得出的值，最后利用二倍角公式求出的值. 【详解】由题图可知相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，， 当时，，，故，． 由可得， 由函数的最大值为3可得，因此， 由，得， ∴． 故选：A． 4．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据诱导公式和正弦的差角公式，对原式进行化简，可得结果. 【详解】 . 故选：D. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式化为，再结合二倍角公式进一步化简求值即可. 【详解】因为，所以 . 故选：B 6．已知，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据已知条件，求出，根据二倍角公式及变形化简所求式子，即可求解. 【详解】因为，即，所以， 所以. 故选：A. 7．函数在内的零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、和差化积公式 【分析】化简函数为，得到或，结合正弦、余弦函数的性质，求得相应的的值，即可求解. 【详解】由函数，其中 令，即，所以或， 当时，可得或或， 当时，可得或或或， 所以的零点之和为. 故选：C. 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据两角和的正切公式计算，利用二倍角的正弦公式和同角三角函数商的关系计算，进而求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：A. 9．已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式五、六 【分析】先求出利用同角三角函数关系和角的范围求出，，利用诱导公式，凑角法和余弦和角公式进行求解. 【详解】由题意得， 则，， 所以 . 故选：B 二、多选题 10．已知函数，则（ ） A．函数的图象关于点对称 B．的最小值为-2 C．直线是函数的一条对称轴 D．函数步骤正确 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】辅助角公式 【分析】将函数化简，再根据三角函数的性质逐一分析选项. 【详解】对于选项D，正确 对于选项B，，B正确； 对于选项A，将代入函数的解析式，得，函数的图象不关于点对称，A错误， 对于选项C，因为，C正确； 故选：BCD. 11．已知，若任意满足条件的实数、、均满足不等式，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用三角恒等变换化简得出，由此可得出满足题意，然后再取，，验证不满足题设条件即可. 【详解】因为 ， ， 若，则原不等式成立，可得，而，故BCD合乎题意. 当时，不妨取，，， 则 ， 则不成立， 故选：BCD. 12．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是以为周期的周期函数 B．在上单调递减 C．的最大值为 D．存在，使得为奇函数 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用周期函数的定义判断A；举例说明判断B；在内求出的最大值，结合周期性判断C；利用奇函数图象特征判断D. 【详解】对于A，， ，因此是以为周期的周期函数，故A正确； 对于B，，， 则，故B错误； 对于C，当时，， 令 ，，， 当时，， 令， ，， 因此函数在上的最大值为， 由选项A得在定义域R上的最大值为，故C正确； 对于D，由选项C知，函数在定义域R上的值域为， 函数的图象总在上方，因此函数不可能是奇函数， 即不存在，使得为奇函数，故D错误. 故选：AC 13．已知函数的部分图象如图，则（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．函数的零点个数为11个 D．在上的零点之和为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、二倍角的余弦公式、求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】先由因式分解和余弦的二倍角公式求出函数解析式，根据函数图象得出函数的周期和所过的点，求出函数的两个参数，得到具体函数解析式，再根据余弦函数的对称轴，单调区间，零点，和最值，分别判断各选项正误. 【详解】由题意得， 由图象可知，解得，所以，解得， 所以，图象经过点，且在处递增趋势， 可得，解得，因为，所以， 可得， 当时，，所以是函数图象的对称轴，所以A正确； 当时，，可知在此区间上不单调，所以B错误； 令，即， 可知，最小正周期为， ，当时，， 当时，，解得， 易知单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以可得大致图象： 由图可知，曲线与有11个交点，所以C正确. 令，则，解得， 当时，可知或0，则有两个零点，， 零点之和为，所以D正确； 故选：ACD. 三、填空题 14．已知，且，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数关系得出，再应用两角和正切公式计算求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 所以． 故答案为：. 四、解答题 15．求函数的最小正周期． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、正弦函数图象的应用 【分析】化简得到，得到其最小正周期，进而得到答案. 【详解】化简函数， 由公式得：的最小正周期， 的图象为的图象位于轴下方部分向上进行翻折，故周期减半， ∴的最小正周期为． 16．求函数的最小正周期． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式 【分析】利用二倍角公式得到，利用公式求出最小正周期. 【详解】化简得，故的最小正周期． 17．已知函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为. (1)求的解析式，并写出取得最大值时，自变量x的取值组成的集合； (2)若成立的充分条件是，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由三角恒等变换、周期公式得，进一步令，即可求解； （2）将问题转换成时，恒成立，根据即可求解. 【详解】（1）， 因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为. 由，解得，所以函数. 由，，得，， 所以函数取得最大值时，自变量x的取值组成的集合为. （2）由，得， 因为当时，恒成立， 所以只需. 由，得，所以，， 所以，，即. 所以m的取值范围为. 18．（1）求证：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、无条件的恒等式证明 【分析】（1）利用两角和的正切公式以及二倍角的正弦、余弦公式可证得结论成立； （2）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）等式左边， 等式右边，即左边右边，故等式成立． （2）由，可得：， 解得，， 即． 19．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】已知三角函数值求角、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）化简得，根据正弦型函数的单调性得到不等式，解出即可； （2）根据题意，问题转化为，即，得或，结合，得解； （3）由，求出，当时，符合；当时，转化为，令，则，，利用单调性求出最大值得解. 【详解】（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为. （2）令，即， 所以或， ，此时，在内解为， ，此时，在内解为， 综上，函数在上的零点为. （3）当时，，故. 原式， 当时，符合； 当时，， 令，则，， 因在上单调递增，最大值为， . 综上：的取值范围为. 20．已知函数，若存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)是“可平衡”函数，理由见解析； (3) 【难度】0.4 【知识点】三角恒等变换的化简问题、函数新定义、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】（1）根据“平衡”数对的定义建立方程，根据恒成立求解即可； （2）时，假设是 “可平衡”函数，列出等式，利用三角函数化简，即可求解； （3）根据“平衡”数对的定义将用关于的三角函数表达，然后求解即可. 【详解】（1）因为为“可平衡”函数， 所以对于任意实数，均有成立， 即对于定义域内的任意实数恒成立， 故只有，符合题意，所以函数的“平衡”数对为. （2）时，，， 若是“可平衡”函数，则， 所以，解得， 所以存在，所以是“可平衡”函数. （3），， 因为，所以，， ， 令，则，在上单调递增， 所以. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$