21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 2．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．2 3．已知，是关于的一元二次方程的两个根，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．无实数根 4．若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 5．已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的3倍，则的值为（    ） A．或1 B．或 C． D．1 6．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为（    ） A． B． C．9 D．36 7．关于x的一元二次方程两个实数根的倒数和为1，则（    ） A．或0 B．2或0 C．2 D．0 8．已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 二、填空题 9．已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______． 10．设是方程的两个根，若，则 ． 11．已知是一元二次方程的两个根，则 ． 12．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是 ． 13．已知，是方程的两个根，则 ． 14．已知方程的两根之积是两根之和的2倍，则 ． 三、解答题 15．已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： （1）； （2）． 16．已知关于的方程有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，决出k的值；如果不存在，请说明理由． 17．已知，是关于的方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 18．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，， 则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则______，______． (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m，n，求的值． (3)类比应用：已知实数s，t满足，，且，求的值． (4)思维拓展：已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 参考答案 1．【答案】C 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选C． 【关键点拨】一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 2．【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知，即可得出答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， 解得：， ∴方程的另一个根是1， 故选C． 3．【答案】C 【分析】由题意根据解一元二次方程的概念和根与系数的关系对选项逐次判断即可． 【详解】解：在方程中， ， 方程有两个不相等的实数根， ，，， 由以上结论可知： A、，因为方程有两个不相等的实数根，故A选项错误； B、，两根之和等于，故B选项错误； C、，两根之积等于，故C选项正确； D、无实数根，因为方程有两个不相等的实数根，故D选项错误， 故选C． 4．【答案】A 【分析】由根与系数的关系可得，将展开为，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴， ∴． 故选A． 5．【答案】D 【分析】先设，，根据根与系数的关系得到，解这个方程，求出的值，再求得，，，从而可得，求出． 【详解】解：设关于的一元二次方程的两个根， ∵其中一根是另一根的3倍， ∴设，， ， 解得，，， ∴， ， 故选D． 6．【答案】C 【分析】先由根的判别式求出c的值，再由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 即方程为， 由根与系数的关系知，两根之积为为9． 故选C． 【知识点拨】一元二次方程的两个实数根分别为,，那么两个根的关系为，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”. 7．【答案】C 【分析】先利用根与系数的关系得到，再建立关于m的方程，解方程后代入检验即可． 【详解】解：设该方程的两个实数根分别为a和b， ∴， ∵， ∴， ∴， 检验：均为该方程的解； ∵， ∴不成立， ∴， 故选C． 8．【答案】C 【分析】①利用根与系数关系求出b、c表达式，验证等式是否成立； ②代入验证是否满足方程； ③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可； ④将所求式子作差，判断差的情况即可． 【详解】解：①∵方程的两个根为和1， ∴ ， ，∴，， ∴，故说法①不正确； ②若，代入得，即方程有一根为，故②正确； ③当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 故说法③正确； ④∵是方程的一个根，∴ ， ∵ ∴，故说法④正确． 综上，正确说法为②③④， 故选C． 9．【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 10．【答案】5 【分析】由根与系数的关系可得，则，可得原方程为，再解原方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴或， 解得， ∴. 11．【答案】 【分析】根据题意得、，再将其代入即可求解． 【详解】解：由题意得： ，即：， ， . 12．【答案】4 【分析】设该方程的另一个根为，然后根据“”可进行求解． 【详解】解：设该方程的另一个根为，由关于x的一元二次方程的一个根是，可得：， ∴. 13．【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到，，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∴ 14．【答案】1 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，解方程即可求出m的值，再代入原方程检验即得答案． 【详解】解：设方程的两个根分别为，， 则，， 根据题意得：，即， 解得或； 当时，原方程为，； 当时，原方程为，，舍去． ∴． 15．【答案】（1）4 （2） 【分析】（1）根据根与系数的关系得到，再由计算求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再把所求式子去括号得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ． 16．【答案】（1）且；（2）k不存在．理由见详解． 【分析】（1）因为方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．得出其判别式Δ＞0，可解得k的取值范围； （2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k的值． 【详解】解：（1）方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2， 可得k-1≠0， ∴k≠1且Δ=-12k+13＞0， 可解得且k≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2， ∵x1+x2=0， ∴， ∴， 又∵且； ∴k不存在． 17．【答案】（1），且 （2） 【分析】 （1）根据一元二次方程有两个实数根结合一元二次方程的定义得出，，计算即可得出答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个实数根， ∴，， 解得：，且； （2）解：∵，是关于的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴． 18．【答案】(1)3，； (2)； (3)； (4)7. 【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，，再利用分式化简求值的方法进行运算即可； （3）可把与看作是方程的两个实数根，则有，，再利用分式化简求值的方法进行运算即可； （4）将，看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，根据得到，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ，， 故答案为3，； （2）一元二次方程的两根分别为，， ，， ； （3）实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ； （4），， 将，看作是方程的两实数根， ，即， 而，则， ， ， ， 即， 的最大值为7． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$