第二十一章一元二次方程练习2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 练习 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 3．已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（    ）人 A．2 B．8 C．10 D．4 5．用配方法解方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 6．定义运算：．例如：．方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 7．若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（　　） A．6 B．2或 C．6或 D．6或 8．如果关于x的一元二次方程无实数根，那么实数a、b可以满足的条件是（    ） A． B． C． D． 9．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 10．学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若是一元二次方程的一个根，则 ． 12．方程的两根为，，则的值为 ． 13．已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 14．如图所示的是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有1个点，第2行有2个点，……，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为120，则a的值为 ． 15．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 三、解答题 16．解方程： (1)； (2)． 17．已知方程． (1)当时，求方程的根． (2)若方程与方程至少有一个方程有实根，求的取值范围． 18．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？ 19．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 20．活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十一章 一元二次方程 练习2025--2026学年人教版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B B C C B A B 1．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程．根据一元二次方程的定义（整式方程，只含一个未知数且最高次数为2）逐一分析选项． 【详解】解：A、 是二次多项式，但无等号，不是方程，故本选项不符合题意． B、是整式方程，仅含未知数，且最高次数为2，符合定义，故本选项符合题意． C、 展开后为，最高次数为4，不符合，故本选项不符合题意． D、 含分式，非整式方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：对于方程， 判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了解一元二次方程，将原方程变为，再转化为关于的一元二次方程，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：或， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用-传播问题，根据题意列出方程是解题的关键． 设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意建立方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮传染后，患病人数为人， 第二轮传染时，每人传染人，新增人，总人数为：， 根据题意，有：， 解得：或（舍去）， 因此，每轮传染中平均一个人传染了人． 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，化简将方程左边配成完全平方形式即可． 【详解】解：． 移项：将常数项移到右边，得． 配方：配方时，系数为 ，取其一半的平方，即 ． 保持等式平衡：． 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：． 因此，配方后的方程为 ． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查新定义及一元二次方程根的判别式，根据定义运算将方程转化为一元二次方程的一般形式，然后计算判别式判断根的情况．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：由定义运算得：， ∴方程可化为： 整理得：， ∵， ∴方程无实数根． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，分类讨论，掌握一元二次方程解法及勾股定理是解题的关键；先解方程得到两根，再分两种情况讨论斜边的可能长度． 【详解】解：解方程， 因式分解得 ， 解得 ，； 当6和4均为直角边时，斜边为 ； 当6为斜边，4为直角边时，另一条直角边为 ，此时斜边仍为6； 由于斜边必为最长边，4不可能是斜边， 因此，斜边可能为6或，对应选项C； 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，将方程整理为标准形式，利用判别式分析无实根的条件，结合选项判断符号关系． 【详解】∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴． ∴， ∴， A：，此时，不满足条件． B：，此时，满足条件． C：，此时，不满足条件． D：，此时，不满足条件． 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，关于x的方程有实数解，需分两种情况讨论：当时，方程退化为一次方程，必有解；当时，方程为二次方程，需满足判别式非负，即可求解． 【详解】解：当时：方程变为， 解得， 显然有实数解，此时符合条件． 当时：方程为二次方程， ∵方程有实数解， ∴， 解得． 综上，当时，方程有解， 故选A． 10．B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设班级共有名同学，原定全班平均每人制作朵，实际参加人数为人，平均每人制作朵，根据题意，实际平均比原定多15朵，列方程即可． 【详解】解：设这个班级共有名同学，根据题意可得方程， 故选：B． 11． 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键．将代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，解的， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．若一元二次方程的两个解为，，则，，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴， 故答案为：3． 13． 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 14．15 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律探究，找出图形变换规律，正确列出一元二次方程是解题的关键． 分析第1行有1个点，点数之和为1，第2行有2个点，前2行点数之和为，第3行有3个点，前3行点数之和为，……，第n行有n个点，前n行点数之和为，当时，前a行的点数之和为，再根据前a行的点数之和为120，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：15． 15．20 【详解】设每件衬衫应降价x元．根据题意，得．整理，得，解得．要扩大销售，减少库存，应舍去，．故每件衬衫应降价20元． 16．(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解一元二次方程和分式方程的方法以及步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）先去分母化为整式方程求解，再检验是否有增根． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： 整理，可得， 去分母可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原分式方程的解为． 17．(1)，； (2)或． 【分析】此题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式， （1）将代入方程，然后利用因式分解法求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴ ∴ 或 ∴解得，； （2）解：∵ 根据题意得， ∴； ∵ 当时，即 ∴，解得，此时方程有解； 当时，即 根据题意得，， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 18．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数运算的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：（个）． ∴预计7月份该品牌头盔销售量是个． 19．(1)不是 (2)或 (3)m的值为或或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 20．（1）原硬纸板的长是和宽是； （2）剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． 任务1：设原硬纸板的长是和宽是，建立方程，求解即可； 任务2：设剪裁的小正方形的边长为，建立方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设原硬纸板的长是和宽是．则          解得，（不符，舍）     所以 答：原硬纸板的长是和宽是．     任务2：小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒     设剪裁的小正方形的边长为．则              ，（不符，舍）     答：剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$