2025年中考数学一轮复习考点分层练习---解直角三角形及其应用

解直角三角形及其应用 1．(2024·云南)如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A＝(　　) A．　 　　 B． C．　 　　 D． 2．(2024·天津)cos 45°－1的值等于(　　) A．0 B．1 C．－1 D．－1 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan A＝(　　) A． C． 4．(2024·四川雅安)在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)(　　) A．25米 B．25米 C．25米 D．50米 5．当∠A为锐角，且＜cos A＜时，∠A的取值范围是 ________． 6．(2024·黑龙江绥化)如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50 m，则这栋楼的高度为________m(结果保留根号)． 7．计算： (1)(2024·江苏盐城)|－2|－(1＋π)0＋4sin 30°； (2)(2024·青海)－tan 45°＋π0－|－|． 8．(2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan ∠ACB＝1． (1)求BC的长； (2)求sin ∠DAE的值． 9．[跨学科](2024·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD＝2.50 m．点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求的值．(精确到0.1) 参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75． 10．(2024·四川眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos ∠CEF的值为(　　) A． C． D． 11．[数学文化](2024·江西)将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan ∠CAB＝________． 12．[数学文化](2024·四川达州)“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体(如图1)，在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E，F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．(结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41) 13．[项目式学习试题](2024·滨州) 【教材呈现】 人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 如图，在锐角△ABC中，探究，，之间的关系．(提示：分别作AB和BC边上的高．) 【得出结论】 ＝＝． 【基础应用】 在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，利用以上结论求AB的长． 【推广证明】 进一步研究发现，＝＝不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 请利用图1证明：＝＝＝2R． 【拓展应用】 如图2，四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，CD＝4，∠B＝∠C＝90°．求过A，B，D三点的圆的半径． 答案与解析 1．C　[∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴tan A＝＝． 故选C．] 2．A　[cos 45°－1＝×－1＝1－1＝0．故选A．] 3．A　[在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝＝， ∴设AC＝3x，AB＝5x， ∴BC＝＝＝4x， ∴tan A＝＝＝． 故选A．] 4．A　[设DC＝x米， 在Rt△ACD中，∠A＝30°， tan A＝，即tan 30°＝＝， 整理得AC＝x米， 在Rt△BCD中，∠DBC＝60°， tan ∠DBC＝，即tan 60°＝＝， 整理得BC＝x米， ∵AB＝50米， ∴AC－BC＝50，即x－x＝50， 解得x＝25， 则这栋楼的高度为25米． 故选A．] 5．30°＜∠A＜60°　[∵∠A为锐角， ∴cos A在锐角范围内，∠A的值越大，cos A的值越小， ∵＜cos A＜， ∴30°＜∠A＜60°．] 6．50＋50 　[由题意，得AD⊥BC， 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝50 m， ∴CD＝AD·tan 60°＝50(m)， 在Rt△ABD中，∠BAD＝45°， ∴BD＝AD·tan 45°＝50(m)， ∴BC＝BD＋CD＝(50＋50)m， ∴这栋楼的高度为(50＋50)m．] 7．解：(1)原式＝2－1＋4×＝2－1＋2＝3． (2)原式＝3－1＋1－＝2． 8．解：(1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8． ∵tan ∠ACB＝1，∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14． (2)∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝BC＝7， ∴DE＝CE－CD＝7－6＝1， ∵AD⊥BC， ∴AE＝＝＝， ∴sin ∠DAE＝＝＝． 9．解：过点E作EH⊥AD于点H， 由题意可知，∠CEB＝α＝36.9°，EH＝1.20 m， ∴CE＝≈＝1.60(m)，AH＝AD－CE＝2.50－1.60＝0.90(m)， ∴AE＝＝＝1.50(m)， ∴sin γ＝＝＝0.60， ∵sin β＝sin ∠CBE＝＝cos ∠CEB＝cos α＝0.80，∴＝≈1.3． 10．A　[∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6，∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处， ∴AF＝AD＝8，EF＝DE，∴BF＝＝＝2，∴CF＝BC－BF＝8－2， 在Rt△EFC中，CE＝DC－DE＝6－EF，由勾股定理，得EF2＝CE2＋CF2， ∴EF2＝(6－EF)2＋(8－2)2，∴EF＝，∴CE＝6－＝， ∴cos ∠CEF＝＝＝， 故选A．] 11．　[令AC与BD的交点为O， ∵∠ABD＝∠CDB＝90°， ∴CD∥AB， 又∵∠DAB＋∠ABC＝45°＋45°×3＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC与BD互相平分， ∴OB＝BD． ∵AB＝BD，∴OB＝AB． 在Rt△AOB中， tan ∠CAB＝＝．] 12．解：过点M作MN⊥AB，垂足为点N． 由题意知，四边形CMNB是矩形． ∴CM＝BN＝1.5米， MN＝CB＝6米， AN＝AB－BN＝6.3－1.5＝4.8(米)． 在Rt△DMN中， ∵tan ∠DMN＝， ∴DN＝tan ∠DMN·MN＝tan 30°×MN＝×6＝2(米)． 在Rt△AEF中， ∵sin ∠AEF＝， ∴AF＝sin ∠AEF·EF＝sin 45°×EF＝×4＝2(米)． ∵AF＋DN＝AN＋DF， ∴DF＝2＋2－4.8 ≈2×1.73＋2×1.41－4.8 ＝3.46＋2.82－4.8＝1.48≈1.5(米)． 答：中轴上DF的长度为1.5米． 13．解：【基础应用】 ∵∠B＝75°，∠C＝45°， ∴∠A＝180°－∠B－∠C＝60°， ∵∠C＝45°，BC＝2，＝， ∴＝， 解得AB＝． 【推广证明】 作AD⊥BC于点D，作CE⊥AB于点E，连接AO并延长交⊙O于点F，连接CF，如图所示， ∵＝， ∴a·c sin B＝c·b sin A， ∴＝， 同理可证，＝， ∴＝＝， ∵AF是直径， ∴∠ACF＝90°， ∵∠B＝∠AFC， ∴sin B＝sin ∠AFC＝＝， ∴＝2R， ∴＝＝＝2R． 【拓展应用】 连接DB，如图所示， ∵BC＝3，CD＝4，∠C＝90°， ∴BD＝＝＝5， ∴sin ∠BDC＝＝． ∵∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠ABC＋∠C＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∴sin ∠ABD＝， 作AE⊥CD交CD于点E， 则四边形ABCE是矩形， ∴CE＝AB＝2，AE＝BC＝3，∴DE＝2， ∴AD＝＝＝， ∴＝＝， ∴过A，B，D三点的圆的半径为． 学科网（北京）股份有限公司 $$