2025年中考数学一轮复习考点分层练习－三角形的有关概念和性质

　三角形的有关概念和性质 1．[情境题]小明有两根长度为4 cm和10 cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择(　　) A．3 cm　 　B．5 cm　 　C．8 cm　 　D．15 cm 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，下列说法中不正确的是(　　) A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线　 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 3．[易错题]如图，在△ABC中，利用三角板能表示BC边上的高的为(　　) A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，若△ABC的面积是4，则△ADC的面积是(　　) A．1 　　　　　 B．2 C．2.5 　　　　　 D．3 5．(2024·四川乐山)下列多边形中，内角和最小的是(　　) A． B． C． D． 6．(2024·四川广安)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为(　　) A．45° B．50° C．60° D．65° 7．(2024·重庆)若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 ________． 8．[数学文化](2024·甘肃临夏州)“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”窗棂的外边框为正六边形(如图)，则该正六边形的每个内角为 ________． 9．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 ________． 10．如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，点G在CA的延长线上，GE交AB于点F，交BC于点E，且∠G＝∠AFG＝35°，∠BEG＝100°，求∠ADC的度数． 11．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，试判断△ABC的形状； (2)若a＝2，b＝5，且c是奇数，试判断△ABC的形状； (3)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|． 12．如图，有一个三角形纸片ABC，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角进行折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝36°，则∠1的度数为(　　) A．96° B．106° C．116° D．126° 13．(2024·四川凉山州)如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ________． 14．已知，如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为 ________cm2． 15．若△ABC的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程3(y－1)－2(y－k)＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为 ________． 16．[归纳猜想题]已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN． (1)若多边形为四边形ABCD． ①如图1，∠A＝50°，∠C＝100°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数； ②如图2，猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时，BM∥DN，并证明你的猜想． (2)如图3，若多边形是五边形ABCDG，已知∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数． 17．[规律探究题](2024·四川达州)如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝______度． 答案与解析 1．C　[设第三边长为x cm， 由三角形三边关系可知， 6＜x＜14， ∴8 cm适合． 故选C．] 2．C　[A．由图可知，BE是△ABD的中线，正确，不符合题意； B．由图可知，BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意； C．∵BD是△BCE的角平分线， ∴∠3＝∠2， ∵BE是中线， ∴∠1≠∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意． D．由图可知， ∵∠C＝90°， ∴BC是△BDE的高，正确，不符合题意． 故选C．] 3．B　[A．表示的是△ABC中AB边上的高，故此选项不符合题意； B．表示的是△ABC中BC边上的高，故此选项符合题意； C．不能表示△ABC的高，故此选项不符合题意； D．表示的是△ABC中AC边上的高，故此选项不符合题意． 故选B．] 4．B　[∵在△ABC中，D是BC的中点，△ABC的面积是4， ∴△ADC的面积是△ABC的面积的一半， ∴△ADC的面积是2， 故选B．] 5．A　[三角形的内角和为180°，四边形的内角和为：(4－2)×180°＝360°，五边形的内角和为：(5－2)×180°＝540°，六边形的内角和为：(6－2)×180°＝720°， ∵180°＜360°＜540°＜720°， ∴在三角形，四边形，五边形和六边形中，内角和最小的是三角形． 故选A．] 6．D　[∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∴∠B＝∠CED＝70°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－70°＝65°． 故选D．] 7．8　[∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°， ∴360°÷45°＝8， 即该正多边形的边数为8．] 8．120°　[∵正六边形的内角和为：(6－2)×180°＝720°， ∴该正六边形的每个内角为：720°÷6＝120°．] 9．75°　[如图所示．依题意得：∠2＝60°，∠3＝45°， ∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝75°， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠4＝75°．] 10．解：∵∠G＝∠AFG＝35°， ∴∠GAF＝180°－∠G－∠AFG＝110°， ∴∠BAC＝180°－∠GAF＝70°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠BAC＝35°， ∴∠AFG＝∠BFE＝35°， 在△BEF中，∵∠BEG＝100°， ∴∠B＝180°－∠BEG－∠BFE＝180°－100°－35°＝45°， ∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝45°＋35°＝80°． 11．解：(1)∵a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC的形状是等边三角形． (2)∵a＝2，b＝5， ∴5－2＜c＜5＋2， ∴3＜c＜7， ∵c是奇数， ∴c＝5， ∴b＝c， ∴△ABC的形状是等腰三角形． (3)∵b＋c＞a，a＋c＞b，a＋b＞c， ∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b| ＝－(a－b－c)＋[－(b－c－a)]＋[－(c－a－b)] ＝b＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c ＝a＋b＋c． 12．C　[如图，∵∠A＝65°，∠B＝75°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－65°－75°＝40°， 又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外， ∴∠C′＝∠C＝40°， 而∠3＋∠2＋∠5＋∠C′＝180°，∠5＝∠4＋∠C＝∠4＋40°，∠2＝36°， ∴∠3＋36°＋∠4＋40°＋40°＝180°， ∴∠3＋∠4＝64°， ∴∠1＝180°－64°＝116°． 故选C．] 13．100°　[∵CD是边AB上的高， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°， ∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝50°，∠CBA＝90°－∠BCD＝60°， ∴∠CAB＝90°－∠ACD＝40°， ∵AE是∠CAB的平分线， ∴∠EAB＝∠CAB＝20°， ∴∠AEB＝180°－∠EAB－∠EBA＝100°．] 14．1　[∵D为BC中点， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2(cm2)， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1(cm2)， ∴S△BCE＝2(cm2)， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1(cm2)．] 15．18　[3(y－1)－2(y－k)＝7， 则3y－3－2y＋2k＝7， 解得y＝10－2k， ∵关于y的一元一次方程3(y－1)－2(y－k)＝7的解为非正数， ∴10－2k≤0， 解得k≥5， ∵△ABC的三边长分别为5，3，k， ∴2＜k＜8， 故符合题意的k的值为5，6，7， 则符合条件的所有整数k的和为5＋6＋7＝18．] 16．解：(1)①∵∠A＝50°，∠C＝100°， ∴在四边形ABCD中， ∠ABC＋∠ADC＝360°－∠A－∠C＝210°， ∴∠CBE＋∠CDF＝150°． ∵外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN， ∴∠PBC＋∠PDC＝∠CBE＋∠CDF＝(∠CBE＋∠CDF)＝×150°＝75°， ∴∠BPD＝360°－∠A－(∠ABC＋∠ADC)－(∠PBC＋∠PDC)＝360°－50°－210°－75°＝25°． ②当∠A＝∠C时，BM∥DN． 证明：如图，连接BD． ∵BM∥DN， ∴∠BDN＋∠DBM＝180°， ∴∠FDN＋∠ADB＋∠ABD＋∠MBE＝360°－180°＝180°， 即(∠FDC＋∠CBE)＋(∠ADB＋∠ABD)＝180°， ∴(360°－∠ADC－∠CBA)＋(180°－∠A)＝180°， ∴(360°－360°＋∠A＋∠C)＋(180°－∠A)＝180°， ∴∠A＝∠C． (2)如图，延长DC交BP于点Q． ∵∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°， ∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDG＋∠G＝540°， ∴∠ABC＋∠CDG＝180°， ∴∠CBE＋∠CDF＝360°－180°＝180°， ∵BP平分∠CBE，DP平分∠CDF， ∴∠CBP＋∠CDP＝(∠CBE＋∠CDF)＝90°， ∵∠BCD＝∠CBP＋∠CQB，∠CQB＝∠QDP＋∠BPD， ∴∠BCD＝∠CBP＋∠QDP＋∠BPD， ∴∠BPD＝∠BCD－(∠CBP＋∠QDP)＝120°－90°＝30°． 17．m　[由题意∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD， ∴设∠E1AD＝α，∠E1BD＝β，则∠CAB＝3α，∠CBD＝3β， 由三角形的外角的性质，得β＝α＋∠E1，3β＝3α＋∠C，∠E1＝∠C， 同理可求：∠E2＝∠E1，∠E2＝∠C ，…，∠En＝∠C， 即∠En＝m°．] 学科网（北京）股份有限公司 $$