第02讲 导数与函数的单调性（复习课件）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 讲师：xxx 导数与函数的单调性 导数与函数的单调性 1 01 考情解码·命题预警 智能导览·极速定位 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 函数的单调性与导数的关系 知识点2 求已知函数(不含参)的单调区间 知识点3 由函数(x)的单调性求参数 的取值范围的方法 知识点4 含参问题讨论单调性 题型破译 题型1 利用导数求函数的单调区间 (不含参)【方法技巧】求单调区间步骤 题型 2 已知函数y =f(x) 在区间 D 上单调重【方法技巧】已知函数y=f(x)在区间D上单调的等价条件 题型 3 已知函数f(x)在区间D上存在单调区间 【方法技巧】已知函数f(x)在区间D上存在单调区间等价条件 题型 4 已知函数f(x)在区间D上不单调 【方法技巧】已知函数f(x)在区间D上不单调 等价条件 题型5 导函数与原函数图象的单调性 【方法技巧导函数与原函数关系 题型6含参问题讨论单调性(导函数有效部分是一次型(或可视为一次型) 题型7 含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型(或可化为二次型)且可因式分解型) 题型8 含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型(或可化为二次型)且不可因式分解型) 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 3 考情透视·目标导航 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）函数的单调区间 （2）单调性与导数的关系 （3）含参数单调性讨论 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T18(2)(i)(5分) 全国甲卷(理)T20(1)(5分) 北京卷T20(1)(4分) 全国乙卷(文)T20(2)(7分) 全国甲卷(文)T20(1)(5分) 全国 I卷T19(1)(5分) 全国 II卷T6(5分) 北京卷T20(2)(5分) 4 考情透视·目标导航 考情分析 高考对函数单调性的考查相对稳定,考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化,我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点,将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来,其余的就是具体问题的转化了． 复习目标 1)结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． (2)能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． (3)分类讨论求函数单调区间,讨论时不重复,不遗漏. 5 02 体系构建·思维可视 6 知识导图·思维引航 03 核心突破·靶向攻坚 ——题型破译 8 条件 恒有 结论 函数f(x)在区间(a,b)上可导 函数y=f (x)在区间(a,b)内______________. 函数y=f (x)在区间(a,b)内______________. 函数y=f (x)在区间(a,b)内______________. 单调递增 单调递减 是常数函数 题型破译 知能解码 函数的单调性与导数的关系 知识点1 9 -1 1 y x O -1 1 y x O A. -1 1 y x O B. -1 1 y x O C. -1 1 y x O D. A 题型破译 知能解码 函数的单调性与导数的关系 知识点1 10 题型破译 知能解码 求已知函数（不含参）的单调区间 知识点2 11 题型破译 知能解码 求已知函数（不含参）的单调区间 知识点2 12 题型破译 知能解码 由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法 知识点3 13 A 题型破译 知能解码 由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法 知识点3 14 题型破译 知能解码 含参问题讨论单调性 知识点4 15 题型破译 知能解码 含参问题讨论单调性 知识点4 16 03 核心突破·靶向攻坚 ——题型破译 17 题型破译 知能解码 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 18 题型破译 知能解码 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 19 求单调区间步骤 方法技巧 题型破译 知能解码 方法技巧 20 题型破译 知能解码 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 21 题型破译 知能解码 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 22 题型破译 知能解码 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 23 题型破译 知能解码 题型2 已知函数f(x)在区间D上单调 24 题型破译 知能解码 题型2 已知函数f(x)在区间D上单调 25 题型破译 知能解码 题型2 已知函数f(x)在区间D上单调 26 题型破译 知能解码 题型2 已知函数f(x)在区间D上单调 27 方法技巧 题型破译 知能解码 方法技巧 28 题型破译 知能解码 题型2 已知函数f(x)在区间D上单调 29 A 题型破译 知能解码 题型3 已知函数f(x)在区间D上存在单调区间 30 B 题型破译 知能解码 题型3 已知函数f(x)在区间D上存在单调区间 31 方法技巧 题型破译 知能解码 方法技巧 32 A 题型破译 知能解码 题型3 已知函数f(x)在区间D上存在单调区间 33 C D 题型破译 知能解码 题型3 已知函数f(x)在区间D上存在单调区间 34 题型破译 知能解码 题型3 已知函数f(x)在区间D上存在单调区间 35 B 题型破译 知能解码 题型4 已知函数f(x)在区间D上不单调 36 题型破译 知能解码 题型4 已知函数f(x)在区间D上不单调 37 方法技巧 题型破译 知能解码 题型4 已知函数f(x)在区间D上不单调 38 B 题型破译 知能解码 题型4 已知函数f(x)在区间D上不单调 39 题型破译 知能解码 题型4 已知函数f(x)在区间D上不单调 40 题型破译 知能解码 题型4 已知函数f(x)在区间D上不单调 41 A C B B D 题型破译 知能解码 题型5 导函数与原函数图象的单调性 42 B C 题型破译 知能解码 题型5 导函数与原函数图象的单调性 43 方法技巧 题型破译 知能解码 方法技巧 44 A A C B D 题型破译 知能解码 题型5 导函数与原函数图象的单调性 45 A C B D D 题型破译 知能解码 题型5 导函数与原函数图象的单调性 46 A C B D ACD 题型破译 知能解码 题型5 导函数与原函数图象的单调性 47 题型破译 知能解码 题型6 含参问题讨论单调性（可视为一次型） 48 题型破译 知能解码 题型6 含参问题讨论单调性（可视为一次型） 49 题型破译 知能解码 题型6 含参问题讨论单调性（可视为一次型） 50 题型破译 知能解码 题型6 含参问题讨论单调性（可视为一次型） 51 题型破译 知能解码 题型7 含参问题讨论单调性(可视为二次型且可因式分解型) 52 题型破译 知能解码 题型7 含参问题讨论单调性(可视为二次型且可因式分解型) 53 题型破译 知能解码 题型7 含参问题讨论单调性(可视为二次型且可因式分解型) 54 题型破译 知能解码 题型7 含参问题讨论单调性(可视为二次型且可因式分解型) 55 题型破译 知能解码 题型7 含参问题讨论单调性(可视为二次型且可因式分解型) 56 题型破译 知能解码 题型7 含参问题讨论单调性(可视为二次型且可因式分解型) 57 题型破译 知能解码 题型7 含参问题讨论单调性(可视为二次型且可因式分解型) 58 题型破译 知能解码 题型7 含参问题讨论单调性(可视为二次型且可因式分解型) 59 题型破译 知能解码 题型7 含参问题讨论单调性(可视为二次型且可因式分解型) 60 题型破译 知能解码 题型8 含参问题讨论单调性(可视为二次型且不可因式分解型) 61 题型破译 知能解码 题型8 含参问题讨论单调性(可视为二次型且不可因式分解型) 62 题型破译 知能解码 题型8 含参问题讨论单调性(可视为二次型且不可因式分解型) 63 题型破译 知能解码 题型8 含参问题讨论单调性(可视为二次型且不可因式分解型) 64 题型破译 知能解码 题型8 含参问题讨论单调性(可视为二次型且不可因式分解型) 65 题型破译 知能解码 题型8 含参问题讨论单调性(可视为二次型且不可因式分解型) 66 题型破译 知能解码 题型8 含参问题讨论单调性(可视为二次型且不可因式分解型) 67 04 真题溯源·考向感知 68 真题溯源·考向感知 69 真题溯源·考向感知 70 真题溯源·考向感知 71 真题溯源·考向感知 72 课本典例·高考素材 73 05 课本典例·高考素材 74 课本典例·高考素材 75 课本典例·高考素材 76 课本典例·高考素材 77 课本典例·高考素材 78 讲师：xxx 感谢观看 THANK YOU 79 【详解】由图可知在上单调递减,在上单调递增,则的切线斜率在上递减,在上递增,选项A符合题意； 【自主检测】 已知函数的图象是下列四个图象之一,且其导函数的图象如图所示,则该函数的图象是( ) ③令___________,解不等式,求单调增区间 ④令_________,解不等式,求单调减区间 注：求单调区间时,令(或)不跟等号. ①求的定义域 ②求 【自主检测】 (2025.甘肃平凉.模拟预测)函数的单调递减区间是______________. 【详解】因为,,令,得,解得,所以的单调递减区间是. 注：已知单调性,等价条件中的不等式含等号. (2)已知函数在区间D上存在单调区间 ①已知在区间D上存在单调增区间令,解不等式,求单调增区间I,则 ②已知在区间D上存在单调减区间令,解不等式,求单调减区间M,则 (3)已知函数在区间D上不单调使得(是变号零点) (1)已知函数在区间D上单调 ①已知在区间D上单调递增,恒成立. ②已知在区间D上单调递减,恒成立. 【详解】因为,所以.因为在区间[1,3]上单调递减,所以,即,则在[1,3]上恒成立.因为在[1,3]上单调递减,所以,故. 【自主检测】 已知函数在区间[1,3]上单调递减,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 第三步：确定导函数有效部分,记为 对于进行求导得到,对初步处理(如通分),提出的恒正部分,将 该部分省略,留下的部分则为的有效部分(如：,则记 为的有效部分).接下来就只需考虑导函数有效部分,只有该部分 决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型(或可化为一次型) ②为二次型(或可化为二次型) 第五步：通过分析导函数有效部分,讨论的单调性 第一步：求的定义域 第二步：求(导函数中有分母通分) (1)当时,求在处的切线方程； (2)讨论的单调性,并求最值. 【详解】(1)当时,,求导得：,则, ,则在处的切线方程：,即. (2)由求导得：, ①当时,在上恒成立,故在上单调递增,无最值； ②当时,由,解得,当时,,则在 上单调递减；当时,,在单调递增, 在有最小值,,无最大值. 【自主检测】 (2025.黑龙江齐齐哈尔.模拟预测)已知函数. 【例1-1】函数的单调递增区间为____________. 【详解】 由题设,令,即的单调递增区间为. 【例1-2】函数的递增区间是__________；递减区间是___________. 【详解】函数的定义域为,.当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增.所以函数的递增区间是,递减区间是. ③令,解不等式,求单调增区间 ④令,解不等式,求单调减区间 注：求单调区间时,令(或)不跟等号. ①求的定义域 ②求 【变式训练1-1】函数的单调递增区间为__________. 【详解】因为,因为,由可得：,即(舍去)或,所以函数的单调递增区间为. 【变式训练1-2】函数的单调递增区间是______； 单调递减区间是_________. 【详解】函数的定义域为,又,令,得.当时,；当时,,所以的单调递减区间为,单调递增区间为. 【变式训练1-3】函数的单调递增区间为_______________. 【详解】,令,解得或,从而的单调递增区间为和. 【例2-1】已知关于的函数在区间上单调递减,则的取值范围是____________________. 【解析】因为,所以.因为函数在区间上单调递减,所以在上恒成立,所以,解得或,所以的取值范围是. 成立,所以在上恒成立,所以在 上恒成立,令,则,当 且仅当,即时等号成立,所以,即实数的取值范围为. 【例2-2】(2025.江苏.一模)若在上单调递减,则实数的取值范围为_____________. 【详解】因为在上单调递减,所以在上恒 【变式训练2-1】(2025.山西.模拟预测)若函数在区间单调递增,则的取值范围是______________. 【详解】,令,则当时,.又因为,当且仅当时等号成立,且当时,不恒为0,故的取值范围是. 在上单调递增,所以在上恒成立,即在上 恒成立,令,即在上恒成立,所以 在上恒成立,因为当时,,当且仅当时,等号成 立,所以,解得,所以的取值范围为. 【变式训练2-2】已知函数在上单调递增,则的取值范围为______. 【详解】由函数,可得.因为 ②已知在区间D上单调递减,恒成立. 注：已知单调性,等价条件中的不等式含等号. 已知函数在区间D上单调等价条件 ①已知在区间D上单调递增,恒成立. 【变式训练2-3】已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是___________. 【详解】由题可知,在上恒成立,即恒成立,令,则,所以函数在上单调递增,所以,解得,则实数的取值范围是. A. B. C. D. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间,所以在 上有解,且,所以,,令 ,则,当时,,则函数单调递 增,所以,所以,即实数的取值范围是 . 【例3-1】已知函数在上存在单调递增区间,则 实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【详解】求导可得,由题意 有解,即有解,即有解,令 时,所以,又,,所以,解得：, 所以的取值范围是. 【例3-2】(2025.山东威海.三模)已知函数在上 存在单调递减区间,则的取值范围是( ) ②已知在区间D上存在单调减区间令,解不等式,求单调减区间M,则 已知函数在区间D上存在单调区间等价条件 ①已知在区间D上存在单调增区间令,解不等式,求单调增区间I,则 A. B. C. D. 【详解】由已知可得定义域为,.当时,解 可得,不满足定义域；当时,令,要使函数 在区间内存在单调递减区间,只需满足或. 由可得,,此时有；由可得,, 此时有.所以,.综上所述,. 【变式训练3-1】若函数在区间内存在单调递减区间,则实 数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【详解】,因为函数在区间内存在单调递增区间,所以在内有解,所以有解,由于,所以,故,则实数的取值范围是,结合选项可知,符合题意. 【变式训练3-2】(多选)若函数在区间内存在单调递增区 间,则实数的取值可以为( ) 【变式训练3-3】若函数在上存在单调递减区间,则实数的取值范围为_________. 【详解】依题意,在区间上有解,即在区间上有解,设,则,故只需求在上的最小值,而,当时,取得最小值,故得,则实数的取值范围为. 【详解】函数在区间上不单调,则在区间上有零点,所以,得,(舍),故,使得函数在上递减,在上递增,所以实数的取值范围为. 【例4-1】已知函数在区间上不单调,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【例4-2】已知函数在上不单调,则的取值范围是_____________. 【详解】由题意可知：的定义域为,且,令,解得或；令,解得,可知在,上单调递增,上单调递减,若在上不单调,则或,解得或,即实数的取值范围是. 已知函数在区间D上不单调等价条件 已知函数在区间D上不单调,使得(是变号零点) 【详解】函数,其定义域为,对求导得 ,令,可得.当时,, 单调递减；当时,,,单调递增.函数在区 间上不单调,所以,的取值范围是. 【变式训练4-1】若函数在区间上不单调,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. ,令,即,因为,所 以,则,解得.当时,,,,所以 ,函数在上单调递减；当时,,,,所以 ,函数在上单调递增.因为函数在上不单调,所以 ,故实数的取值范围是. 【变式训练4-2】若函数在上不单调,则实数的取值范围是__________. 【详解】已知,其定义域为,对求导可得： 【变式训练4-3】已知函数在区间上不单调,则实数的取值范围为____________. 【详解】,.当时,,∴函数在上单调递增,不符合题意；当时,令,解得；令,解得,函数在上不单调,,解得. 由的图象可知,当或时,当时,所 以在、上单调递增,在上单调递减,故排除C、D； 又在上单调递减,则在上切线的斜率逐渐减小,且由的图 象可知当时趋近于一个常数(正数),所以的切线斜率不趋近于, 故排除A. 的图象如图所示,则在该区间的图象是( ) 【例5-1】已知下列四个图象之一是函数在某区间的图象,且的导函数 【详解】不妨设在区间(,,可为,也可为)内的图象, C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递增 【详解】在区间、上,在区间、上, 所以在、上不单调,在上单调递减,在上单调递增. 【例5-2】(多选)如图,是函数的导函数的图象,则下列判断正确的是( ) A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减 (导函数等于0,只在离散点成立,其余点满足)；原函数单调递减 导函数(导函数等于0,只在离散点成立,其余点满足). 导函数与原函数关系 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系,原函数单调递增导函数 【详解】由的图象可知,当时,函数单调递增,则,故排除 C、D；当时,先递增,再递减最后递增,所以所对应的导数值应该先大 于0,再小于0,最后大于0,排除B. 【变式训练5-1】设函数在定义域内可导,的图象如图所示,则其导函数 的图象可能是( ) 【详解】由的图象可知,当时,,则单调递增；当 时,,单调递减；当时,,单 调递增；满足该函数单调性的,只有选项D对应的图象. 【变式训练5-2】设是函数的导函数,的图象如图所示,则 的图象最有可能是( ) 对于D,函数在区间上增长的速度越来越慢,故D不可能. 【详解】 对于C,函数在区间上增长的速度越来越快,故C不可能； 对于D,函数在区间上增长的速度越来越慢,故D不可能. 对于A,函数在区间上增长的速度越来越慢,在区间上增长的速度 越来越快,故A不可能； 对于B,函数在区间上增长的速度越来越快,在区间上增长的速度 越来越慢,故B可能； 【变式训练5-3】(多选)已知函数的导函数的图象如图所示,则函 数的图象不可能是( ) (2)讨论的单调性. 【详解】(1)当时,,求导得,则,而 ,所以所求切线方程为：,即. (2)函数的定义域为,求导得.当时, 恒成立,函数在上单调递减；当时,由,得； 由,得,函数在上单调递减,在上单调递增. 【例6-1】, (1)当时,求曲线在点处的切线方程； 【详解】(1)由题意可知,,则. 当时,恒成立,在上单调递增； 当时,由解得,由解得,所以在上单调递增,在上单调递减. 【例6-2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)讨论的单调性； 【详解】(1)当时,,则,切线的斜率. (2)由,,则.当时,,即 在上单调递增；当时,,由,得,由 ,得,所以在上单调递增,在上单调递减. 【变式训练6-1】已知. (1)若,求在处的切线的斜率； 【详解】(1)由题设. 当时,令,得,故上,上, 当时,恒成立,故的增区间为,无减区间； 所以的减区间为,增区间为. 【变式训练6-2】(变载体)设函数. (1)求的单调区间 (2)讨论的单调性； 【详解】(1)当时,,. 令得或(舍),当时,,为减函数； 当时,,为增函数；所以的最小值为. 【例7-1】已知函数. (1)若,求的最小值； (2)讨论的单调性； (2). 时,,单调递减；时,,单调递增； 当时,时,,单调递增；时,, 单调递减；时,,单调递增； 当时,,且不恒为0,在定义域内单调递增； 当时,时,,单调递增；时,,单 调递减；时,,单调递增. 【例7-1】已知函数. (1)若,求的最小值； (2)讨论函数的单调性； 【详解】(1),函数 的图象在点处的切线与直线垂直,所以 ,解得. 【例7-2】(2025.新疆.模拟预测)已知函数. (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直,求实数的值； (2)当时,令,得,当时,,在单调递 减；时,,在单调递增. 当时,令,得,. 当时,,,所以当或时,, 在,单调递减；当时,,在 单调递增； 当时,恒成立,所以在单调递减； 当时,,,所以当或时,,在 ,单调递减；当时,,在单调递增. 【例7-2】(2025.新疆.模拟预测)已知函数. (2)讨论函数的单调性； (2)讨论的单调性； 【详解】(1)因为,所以函数,对函数求导得： .因为点在曲线上,所以曲线在点处的 切线斜率为,故切线方程为,即. 【变式训练7-1】已知函数. (1)设,求曲线在点处的切线方程； 的单调递增区间是,,单调递减区间是； 当时,或时,；时,,此时 的单调递增区间是,,单调递减区间是； 当时,,此时函数在上单调递增. (2)因为,所以.令 【变式训练7-1】已知函数. (1)设,求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； ,则,. 当时,或时,；时,,此时 【详解】(1)的定义域为,且. 当时,由,得,由,得,所以函数在上 单调递减,在上单调递增；当时,恒成立,故函数在 上单调递增；当时,由,得,由,得或 ,所以函数在上单调递减,在,上单调递增； 当时,由,得,由,得或,所以函数 在上单调递减,在,上单调递增. 【变式训练7-2】(2025.河南.二模)已知函数. (1)讨论的单调性. (1)当时,求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【详解】(1)当时,,,,, 以函数的图象在处的切线方程为. 【变式训练7-3】 (变载体)(2025.江西.二模)已知函数. 当时,由,得或. 当即时,,在上单调递增； 当时,时,,在上单调递减； 和时,,在,单调递增； 当时,,时,,在上单调递减； ,时,,在,上单调递增. (2)讨论的单调性； (2). 当时,,所以当时,,单调递减；当 时,,单调递增； (2)当时,求的单调区间. 【详解】(1)当时,,, 所以在上单调递减,又,则当时,；当 时,,故的解集为. 【例8-1】已知函数. (1)当时,求的解集； 当,有,则,在单调递减. 当,则有两个不等正根,,所以 、上,上 (2)当时,求的单调区间. ,在、上单调递减,在 上单调递增； (2) 设,的对称轴,, 上单调递减. (2) 设,的对称轴,, 当,则有一个正根,即上, 上,在上单调递增,在 令,,则,因,故 , 当,即时,,则在上单调递减； 当时,令,,,,, ,在和单调递减,在 单调递增； 当时,,,则在上单调递增,在 单调递减； 【例8-2】已知函数.讨论的单调性. 【详解】,则, (2)设,讨论的单调性. 【详解】(1)当时,,函数的定义域为, 令有,由有,有, 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以的极大值为,无极小值； 【变式训练8-1】(2025.贵州黔东南.三模)设函数,. (1)若,试求函数的极值； 【详解】(1)因为,所以, 设,, (i)时,,则,所以在 上递增； 【变式训练8-3】已知函数,定义域为. (1)讨论的单调性. 当时,,对称轴,方程的两根都为负, 令可得：,所以在上递增. 【变式训练8-3】已知函数,定义域为. (1)讨论的单调性. 当时,,对称轴,方程的两根, (ii)或,对称轴, 都为正,令可得：,,令可得： ,所以在,上递增,在上递减； 成立,则,即在区间上恒成立, 故,而,故,故 即,故,结合题意可得实数的取值范围是. (2023.全国乙卷.高考真题)设,若函数在上单调递 增,则的取值范围是___________. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒 【详解】(1)定义域为,, 当时,,故在上单调递减； 当时,时,,单调递增,时,,单调递减. (2024.全国甲卷.高考真题)已知函数. (1)求的单调区间； (1)求,的值； (2)设函数,求的单调区间； 【详解】(1)因为,,所以, 因为在处的切线方程为,所以,, 则,解得. (2023.北京.高考真题)设函数,曲线在点处的切线 方程为. 易知恒成立, 所以令,解得或；令,解得或, 所以在,上单调递减,在,上单调递增. (2023.北京.高考真题)设函数,曲线在点处的切线 方程为. (1)求,的值； (2)设函数,求的单调区间； (2)由(1)得,则, 令,解得,不妨设,,则, 【详解】(1)因为,定义域为,所以,令 ,解得或,则令得,由得或 ,函数的单调递减区间为,,单调递增区间； (2)因为,定义域为,所以,令 ,解得或,则由得或,由得 ,所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为 ,. (人教A版选择性必修第二册练习)判断下列函数的单调性,并求出单调区间： (1)； (2). 【详解】,则当时,,所以,故 函数在区间内单调递减. (人教A版选择性必修第二册练习) 证明函数在区间内单调递减. 【详解】因为,,所以 所以,在上都是增函数,在区间内,的 图象比的图象“陡峭”；在区间上,的图象比 的图象“平缓”,故对应,对应. 当时,. 当时,； 当时,； (人教A版选择性必修第二册例4)设,,,两个函数的 图象如图所示.判断与的图象与,之间的对应关系. 当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增. 所以在处取得最小值, 所以,即. (人教A版选择性必修第二册练习)证明不等式：,. 【证明】构造,求导, 【证明】构造,则,所以在上 单调递增,所以,即. (人教A版选择性必修第二册练习) 利用函数的单调性,证明不等式：,. $$