专题02 常用逻辑用语5种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题02常用逻辑用语5种题型归类 目录 类型一、判断含有量词命题的真假 类型二、根据全称量词（存在量词）的真假求参数 类型三、充分条件与必要条件的判定 类型四、根据充分性，必要性求参数 类型五、常用逻辑用语中的新定义题 压轴专练 类型一、判断含有量词命题的真假 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可. （2）存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题. 例1．（多选）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中真命题是 （    ） A．函数是奇函数 B．，， C．函数是偶函数 D．，， 变式1-1．阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（    ） A．是有理数 B．是无理数 C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数 变式1-2．（多选）用表示不超过的最大整数，例如，则（    ） A． B．，则 C． D．方程的解集为 变式1-3．几位同学在研究函数时给出了下面几个结论： ①函数的值域为； ②存在，使得； ③在是增函数； ④若规定，且对任意正整数都有：，则对任意恒成立. 上述结论中正确结论的序号为 . 类型二、根据全称量词（存在量词）的真假求参数 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题； （2）存在量词命题可转化为存在性问题； （3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 例2、若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为． (1)已知A是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围． 变式2-1．若“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 变式2-3．设 (1)若命题：是假命题，求m的取值范围； (2)若命题： 是真命题，求m的取值范围. 类型三、充分条件与必要条件的判定 充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 例3．已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-1．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-2．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-3．已知，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 类型四、根据充分性，必要性求参数 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 例4．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 变式4-1．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 变式4-2．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 变式4-3．已知集合，集合． (1)若，且，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 类型五、常用逻辑用语中的新定义题 例5．已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 变式5-1．已知集合，其中，新定义1个性质G：若对任意的，必有，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件（写出结论即可）． 变式5-2．已知集合． (1)判断8，9，10是否属于集合A： (2)已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； (3)写出所有满足集合A的偶数． 变式5-3．已知是的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断“命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件”的真假，并说明理由； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集． 轴专练 1．给定以下两个命题：①若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是 ②若存在，对任意，使成立，则实数的取值范围是 则下面说法正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 2．已知集合，若实数、满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”，给出以下两个命题，则（    ） ①中存在“可行数对” ②中存在“可行数对”； A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 3．命题P：的是命题Q：的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（    ） A．，方程有无限组整数解 B．，方程有且只有两组整数解 C．，方程至少有一组整数解 D．，方程至多有有限组整数解 6．命题，，使成立．若为真命题，则实数的取值范围为 ． 7．已知不等式的解集为A，的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，那么实数m的取值范围是 . 8．在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到，两点的“折线距离”相等的点的集合是一条直线； ③到，两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线； ④到，两点的“折线距离”之和为4的点的集合是一个六边形． 其中正确的命题是 （写出所有正确的序号）． 9．设数列：，已知，定义数表，其中. (1)若，写出； (2)若A，B是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”； (3)若数列A与B中的1共有n个，求证：数表中1的个数不大于． 10．已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02常用逻辑用语5种题型归类 目录 类型一、判断含有量词命题的真假 类型二、根据全称量词（存在量词）的真假求参数 类型三、充分条件与必要条件的判定 类型四、根据充分性，必要性求参数 类型五、常用逻辑用语中的新定义题 压轴专练 类型一、判断含有量词命题的真假 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可. （2）存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题. 例1．（多选）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中真命题是 （    ） A．函数是奇函数 B．，， C．函数是偶函数 D．，， 【答案】BCD 【分析】取为有理数计算判断A；取计算判断B；求出，再利用奇偶性定义判断C；按是有理数、无理数计算判断D. 【详解】对于A，若是有理数，则也是有理数，则，因此不是奇函数，A错误； 对于B，当时，， ，此时，B正确； 对于C，若是有理数，则；若是无理数，， 于是，又，则，因此， 所以函数是偶函数，正确； 对于D，若是有理数，，则均是有理数，则； 若是无理数，，则均是无理数，则， 因此，D正确. 故选：BCD 变式1-1．阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（    ） A．是有理数 B．是无理数 C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数 【答案】C 【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答. 【详解】这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误； 这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确； 这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误. 故选：C 变式1-2．（多选）用表示不超过的最大整数，例如，则（    ） A． B．，则 C． D．方程的解集为 【答案】ACD 【分析】设出的整数部分与小数部分，再由的意义判断A；利用特殊值判断B，C；确定的范围，进而确定其值，代入计算判断D. 【详解】对于A，设的整数部分为，小数部分为，则，因此，故A正确； 对于B，，满足，此时，故B错误； 对于C，当时，符合题意，故C正确； 对于D，由，知为整数且，解得，显然，于是， 因为，即，由，解得，则； 由，解得或（舍去）， 因此，即或， 当时，，解得；当时，，解得， 所以方程的解集为，故D正确. 故选：ACD. 变式1-3．几位同学在研究函数时给出了下面几个结论： ①函数的值域为； ②存在，使得； ③在是增函数； ④若规定，且对任意正整数都有：，则对任意恒成立. 上述结论中正确结论的序号为 . 【答案】①③④ 【分析】按分类，进而求出函数的值域、单调性判断①②③；利用归纳推理的求解判断④. 【详解】函数， 当时，，且在上单调递增，③正确； 当时，，且在上单调递增， 因此函数的值域为，①正确； 函数在上单调递增，则，恒有，②错误； 由，得， ，，归纳推理得，④正确. 故答案为：①③④ 类型二、根据全称量词（存在量词）的真假求参数 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题； （2）存在量词命题可转化为存在性问题； （3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 例2、若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为． (1)已知A是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求解一元二次不等式化简A，B，由题意可得A是的真子集，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解； （2）写出特称命题的否定，由命题为真命题，结合二次函数的性质可得关于m的不等式组，求解得答案． 【详解】（1）不等式可化为，解得， 集合.             不等式可化为 集合.         是的充分不必要条件，是的真子集，则 的取值范围是. （2）因为命题为假命题，所以命题为真命题， 即为真命题， 令，则 解得，所以实数的取值范围是. 变式2-1．若“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得存在量词命题的否定，然后根据真假性以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】依题意，“，”是假命题， 所以“”是真命题， 当时，不等式化为恒成立； 当时，化为， 当时，取得最大值为， 所以. 当时，化为， 当时，取得最小值为， 所以. 综上所述，的取值范围是. 故选：A 【点睛】全称量词命题或存在量词命题的否定，要点有两点，一个是之间的转换，另一个是否定结论，而不是否定条件.求解不等式恒成立问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解. 变式2-2．若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据原命题的否定是真命题，令，由求解参数范围即可. 【详解】由题意知，原命题的否定“，”是真命题， 令， 所以， 解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 变式2-3．设 (1)若命题：是假命题，求m的取值范围； (2)若命题： 是真命题，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出给定命题的否定，再利用一元二次型不等式恒成立求出范围. （2）变形不等式并分离参数，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）由命题：是假命题，得是真命题， 即成立，当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以m的取值范围是. （2）不等式 命题：是真命题，则是真命题， 即是真命题， ，，当且仅当时取等号，则， 所以m的取值范围. 类型三、充分条件与必要条件的判定 充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 例3．已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合二次方程的根的情况与二次函数图象、二次不等式的解集之间的联系，推导证明可得出结论. 【详解】充分性的判断： 若，则或， 当时，关于的方程有两个相等的实数根，则， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为； 当时，关于的方程有两个不相等的实数根，不妨设， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为. 所以，由“”不能推出“关于的不等式的解集为”，充分性不成立. 必要性的判断： 若关于的不等式的解集为，因为二次函数开口向上，所以， 又因为关于的方程有两个实数根，则，则，必要性成立. 综上，“”是“关于的不等式的解集为”的必要不充分条件. 故选：B. 变式3-1．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若，则,分与讨论，结合元素的互异性求出，再根据充分条件与必要条件的定义即可判断. 【详解】若，则. ①若，则，则，满足； ②若，则或. 时，，满足； 时，与元素的互异性相矛盾，故舍去. 综上所述，若，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 变式3-2．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件， 如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件. 故选：B. 变式3-3．已知，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】当时，成立；时，取，所以不成立； 故是的充分非必要条件， 故选：A. 类型四、根据充分性，必要性求参数 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 例4．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可. 【详解】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所得考虑参数范围. 变式4-1．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 变式4-2．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 变式4-3．已知集合，集合． (1)若，且，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由集合交集运算可得，根据集合的包含关系并讨论是否为空集，列不等式组求参数范围； （2）由题意是真子集，列不等式组求参数m范围． 【详解】（1）对于，等价于或，解得或， 所以或， 且，可得， 若，则有： ①当时，，即 ，满足 ②当时，，解得， 综上所述：a的范围是. （2）由（1）得， 若“”是“”的必要不充分条件，可知是真子集， 因为，即集合， 可得，且等号不同时成立，解得． 故存在实数m满足条件，且 m的范围是：. 类型五、常用逻辑用语中的新定义题 例5．已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 【答案】(1)不具有性质 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据给定的定义条件，进行判断； （2）由性质P确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”. （3）分别证明充分性和必要性. 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取，或或， 均有，不满足条件②， 所以不具有性质； （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令， 解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”； （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： （1）通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 变式5-1．已知集合，其中，新定义1个性质G：若对任意的，必有，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件（写出结论即可）． 【答案】(1)答案见解析 (2)4950 (3)充分不必要条件 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）由于，不符合定义故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； 集合不是整数集，所以不具有性质. （2）由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 变式5-2．已知集合． (1)判断8，9，10是否属于集合A： (2)已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； (3)写出所有满足集合A的偶数． 【答案】(1)，， (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【详解】（1），， ，， 假设，，， 则，即， 且，，， 或，显然均无整数解， . 综上，，，. （2），， ，即所有奇数都属于集合，则，必有， 又，而，即，推不出， 所以的充分非必要条件是. （3）由，，， 当和同为奇数和偶数时，均为偶数， 所以为4的倍数； 当和一奇一偶时，均为奇数， 所以为奇数. 综上，所有满足集合的偶数为. 变式5-3．已知是的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断“命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件”的真假，并说明理由； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集． 【答案】(1)是封闭集；集合不是封闭集，理由见解析 (2)命题是真命题，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据封闭集的定义结合元素特征进行检验即可判断； （2）先推充分性，由可任取，推即得；再推必要性，由是封闭集易得，故为真命题； （3）对非空集合进行分类考虑，当时，，得证；当时，运用反证法思想，假设是封闭集合，分和两种情况进行分析讨论，引出矛盾，从而得证. 【详解】（1）是封闭集，不是封闭集，理由如下： 对于集合，因，故是封闭集； 对于集合，因， 故集合不是封闭集． （2）命题是真命题，理由如下： 若，不妨任取，则有， 又集合是封闭集，则，同理， 因此，即是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 故是是封闭集的充要条件，命题是真命题． （3）因非空集合是封闭集合， 当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合， 若，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合， 同理当时，也不是封闭集合， 所以的补集不是封闭集． 轴专练 1．给定以下两个命题：①若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是 ②若存在，对任意，使成立，则实数的取值范围是 则下面说法正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】结合条件判断命题①，命题②，由此可得结论. 【详解】命题①中，若对任意，存在，使得， 所以，对任意的都成立， 又， 设， 则， 所以当时，取最小值，的最小值为， 所以， 所以，故命题①为真； 命题②中，若存在，对任意，使得， 即存在一个固定的，对任意，， 所以， 对于固定的，函数在上的最小值为，当时，取最小值， 所以，故，所以命题②为真， 故选：A. 2．已知集合，若实数、满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”，给出以下两个命题，则（    ） ①中存在“可行数对” ②中存在“可行数对”； A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 【答案】D 【分析】根据可行数对的概念，结合特值即可求解． 【详解】对于命题（1），，取，得，， 所以对任意的，均有是集合的＂可行数对＂，所以（1）为真命题； 对于命题（2），，取， 则，而， 所以，任何满足的数对都不是集合的＂可行数对＂，所以（2）为假命题， 故选：D. 3．命题P：的是命题Q：的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】将命题P：去掉绝对值符号，分四种情况讨论，得出命题Q：不一定成立，即是的不充分条件；将命题Q：变形为后，分或情况讨论，得出不一定成立，即是的不必要条件. 【详解】命题Q：可变形为，即， 即，即或. ()当时，有和两种情况，此时不一定成立，故是的不必要条件； ()当时，有和两种情况，此时不一定成立，故是的不必要条件； 综上两种情况可知，是的不必要条件； 命题P：,去掉绝对值符号，有以下四种情况： ()当，即时，，，即， 故是的不充分条件； ()当，即时，，，即， 故是的充分条件； ()当，即时，，，即， 故是的充分条件； ()当，即时，，，即， 故是的不充分条件； 综上四种情况可知，是的不充分条件； 所以是的即不充分也不必要条件. 故选：D 4．命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程整理为；当时，解方程可确定其符合题意；当和时，将问题转化为与在时，有且仅有一个交点的问题，采用数形结合的方式可构造不等式组求得的范围，由此可得原命题成立的充要条件. 【详解】由得； ①当时，，则，解得， 因为，，满足题意； ②当时，， 若存在唯一的，使得成立， 则与有且仅有一个交点， 在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示， 由图象可知：当时，与有且仅有一个交点， 所以，，解得，此时，； ③当时，， 由②同理可得，解得：，则. 综上所述：原命题成立的充要条件为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 5．若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（    ） A．，方程有无限组整数解 B．，方程有且只有两组整数解 C．，方程至少有一组整数解 D．，方程至多有有限组整数解 【答案】C 【分析】由，结合整数的分解形式转化为求解方程组的整数解的情况即可. 【详解】选项A，当时，由得， 解得， ，都是方程的整数解， 故，方程有无限组整数解. A项判断正确； 选项B，当时，由， 由，则，， 又， 由与，仅有这种整数分解的方法， 所以（舍），或； 解得 或，故方程有且仅有两组整数解， 即，方程有且只有两组整数解，故B项判断正确； 选项C，当时，由，，，， 仅有这种整数分解的方法，又， 所以（舍），或（舍）， 或①，或②； 方程组①消得，，，无整数解； 方程组②消得，，此方程无解； 故当时，方程无整数解，所以选项C判断不正确； 选项D，若关于x，y的方程不存在整数解， 则满足至多有有限组整数解； 若关于x，y的方程存在整数解． 由，则， ，整数至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为， 由， 得， 消得，，， 对于的每一个确定取值，此关于的二次方程最多有个整数解， 即方程组至多有组整数解； 故，方程至多有组整数解，故D项判断正确. 故选：C. 6．命题，，使成立．若为真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】构造函数，由已知条件将问题转换为，利用基本不等式可求得，分类讨论，构造不等式即可得求出实数a的取值范围. 【详解】因为，， 使成立． 若为真命题，设， 则可将问题转化为，， ，当且仅当， 即时等号成立，故， 的对称轴为，且开口向上， 当，则，函数在上单调递增， 所以，解之可得，此时无解，故舍之 当时，即，， 解之可得，则可得， 当时，，函数在单调递减， ，解之可得，则可得， 综上可知实数的取值范围为. 故答案为： 7．已知不等式的解集为A，的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，那么实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】计算得到，根据题意得到，设，得到 ，计算能得到答案. 【详解】等式的解集为A，则，“”是“”的充分不必要条件，则. 设，则 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数，转化为是解题的关键. 8．在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到，两点的“折线距离”相等的点的集合是一条直线； ③到，两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线； ④到，两点的“折线距离”之和为4的点的集合是一个六边形． 其中正确的命题是 （写出所有正确的序号）． 【答案】①②③④ 【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可． 【详解】对①，集合，是一个正方形，故①正确； 对②，集合，故②正确； 对③，集合，化简得，故集合是两条平行线，故③正确； 对④，集合，故集合是六边形，如图所示，    故④正确； 故答案为①②③④. 【点睛】本题考查点的轨迹问题，考查“折线距离”的定义，以及分析问题解决问题的能力，新定义创新题，首先要理解清楚所给信息的含义． 9．设数列：，已知，定义数表，其中. (1)若，写出； (2)若A，B是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”； (3)若数列A与B中的1共有n个，求证：数表中1的个数不大于． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据运算规则直接代入计算可得； （2）由可知若时数列，即可得充分性成立，再进行必要性证明可得结； （3）由运算法则可设中1的个数为，可得中0的个数以及中1的个数和0的个数，再由基本不等式计算可得结论. 【详解】（1）将代入计算可得. （2）充分性：若，由于， 令，由此数列， 由于， 从而有，即充分性成立； 必要性： 若， 由于是不同的数列， （1）设，对任意的正整数， ①若，可得，所以； ②若，可得，所以； 同理可证时，有成立． （2）设，对任意的正整数， 若，可得， 所以有，则是相同的数列，不符合要求． 若，可得， 所以有，则是相同的数列，不符合要求． 同理可证时，是相同的数列，不符合要求． 综上，数表满足“”的充分必要条件为“”. （3）由于数列中的1共有个，设中1的个数为，因此中0的个数为，中1的个数为，中0的个数为， 若，则数表的第行为数列， 若，则数表的第行为数列； 所以数表中1的个数为， 因此，数表中1的个数不大于. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解运算法则之后对中1的个数和0的个数与中1的个数和0的个数进行统一处理，得出表达式再由基本不等式可得结论. 10．已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【答案】(1)答案见解析 (2)4950 (3)充分不必要条件，理由见解析 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）由于，不符合定义，故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； （2）由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以， 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$