浙江省台州市书生中学2023-2024学年高三下学期数学周练五（2024.3.31）

高三数学周练五试卷（2024.3.31） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.等比数列中，，，则(    ) A. 32 B. 24 C. 20 D. 16 2.在的展开式中，项的系数为(    ) A. 1 B. 10 C. 40 D. 80 3.已知直线a，b和平面，，，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为(    ) A. 1 B. C. 2 D. 5.2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案.出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”图就是这样一件珍宝.玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积厚度忽略不计，测得各项数据图，，，若，，则璜身即曲边四边形面积近似为(    ) A. B. C. D. 6.记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为(    ) A. 9 B. 16 C. 25 D. 50 7.，，，则的值为(    ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 8.已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则(    ) A. 事件A与B是互斥事件 B. 事件A与B是对立事件 C. 事件B与C是互斥事件 D. 事件B与C相互独立 10.已知复数z，下列说法正确的是(    ) A. 若，则z为实数 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则z为纯虚数 11.已知函数，则(    ) A. 在区间单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 关于x的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，，则的所有元素之和为__________. 13.已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上， AB的中点为F，，则C的离心率为__________. 14.已知球O的表面积为，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为的外心，棱AB与球面交于点若平面，平面，平面，平面，且与之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与交于点Q，R，则的周长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间单位：分钟，得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为，，后三个小矩形的高度比为 根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表 开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望. 16.已知函数 若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程; 讨论的单调性. 17. 如图，在三棱柱中，与的距离为，， 证明：平面平面 若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值 的最大值. 18.已知O为坐标原点，点W为和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为 求C的方程; 若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为 ⅰ证明：G，E，H三点共线; ⅱ若，过点H作的平行线，分别交线段，于点T，，求四边形面积的最大值. 19.记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，定义运算若，，则， 若，用，，，，，，，表示 证明： 若，证明： 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查等比数列的通项公式，是基础题． 利用等比数列的通项公式求出公比，由此能求出的值． 【解答】 解：在等比数列中，，， ，即，解得， 故选： 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键，属于容易题目． 利用二项展开式的通项公式求出的第项，令x的指数为2求出展开式中的系数．然后求解即可． 【解答】 解：展开式中通项， 令可得，， 的展开式中，项的系数为 故选： 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，线面平行的判定和性质，属于基础题 根据充分条件和必要条件的定义，线面平行的性质和判定，即可得到结论． 【解答】 解：根据线面平行的判定定理可得若，则，即必要性成立， 若，则不一定成立，故充分性不成立． 故“”是“”的必要不充分条件. 故选： 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查正弦定理，三角形的面积公式，属于基础题. 利用正弦定理求，由三角形的面积公式即可求解. 【解答】 解：因为， 则，即， 则的面积为 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查扇形的面积公式，属于中档题. 根据题意求出，利用扇形的面积公式即可求解. 【解答】 解： 如图，过点O作，垂足为点M， 则M为点AB的中点， 所以，，又，则，， 所以，又因为， 所以，所以， 所以，， 所以璜身面积近似为 故选 6.【答案】C  【解析】【分析】本题考查等差数列中两项积的最大值的求法，考查等差数列的性质、前n项和公式，基本不等式求最值，是中档题． 由等差数列性质、前n项和公式求出，由此利用基本不等式能求出的最大值． 【解答】解：正项等差数列的前n项和为，， ， ， 当且仅当时，取最大值 故选： 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数的周期性，考查函数值的计算，属于中档题. 先求出函数的周期，再代入计算得出结论. 【解答】 解：因为， 所以， 所以， 所以函数的周期为6， 因为， 所以 故选 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查双曲线定义与标准方程，属于中档题. 当点Q位于y轴左侧时，，对于右侧有类似结论，再由双曲线定义可得其轨迹方程. 【解答】 解：延长BP、QA交于点R，连接OP， 由得， 由得QP为的角平分线， 由三角形角平分线与高线重合得，且P为线段BR中点， 又O为线段AB中点，由中位线性质得， 当点Q位于y轴左侧时，， 当点Q位于y轴右侧时有类似结论， 由双曲线定义，Q点轨迹是以A，B为焦点的双曲线， 其中，，， 故可得， 即点Q的轨迹方程为 9.【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查互斥事件与对立事件的判定，以及相互独立事件的判定，属于基础题. 对A，B，C事件分别列出它们所包含的元素，然后根据相关概念逐一判断. 【解答】 解：事件， 事件 ，，，，， 事件， 由于，且， 则事件A与事件B是互斥事件，且对立， 由于， 则事件B与事件C不是互斥事件， 易知， 由于， 则事件B与C不相互独立. 故选： 10.【答案】AC  【解析】【分析】 本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，属于基础题. 设，a，，利用共轭复数的概念和复数的乘方运算法则判断AB；利用复数的模公式和复数的概念判断 【解答】 解：设，a，， A.若，则，即，所以，所以z为实数，故A正确； B.若，则，则，不能得出，故B不正确； C.若，则，则表示以为圆心，1为半径的圆上的点，的最大值为圆上的点到原点的距离，则最大值为，故C正确； D.若，则，整理得：且，当，时，z为实数0，当，时，z为纯虚数，故D不正确. 故选： 11.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题主要考查的是三角函数的性质，二倍角公式，复合函数的单调性，函数的对称性，诱导公式，函数的值域，函数零点的概念，属于中档题. 根据数的周期性与对称性，结合复合函数的单调性作出图象即可解决问题. 【解答】 解：， ， 则是偶函数，图象关于y轴对称. 是周期函数，周期 又 且， ，即图象关于轴对称， 故直线，都是的对称轴.故B正确； 当时，， 则， 令，则可看成由与复合而成的函数， 设， ，单调递增， 当，则，单调递增，则单调递增; 当，则，单调递减，则单调递减; 因为，则，，又， 因为，所以，故A错误； 由上可知：，故C正确； 结合以上性质，作出函数，的大致图象. 如图可知，方程的实数根的个数可能是0个，1个，2个，4个， 若实数根的个数为1个，则； 若实数根的个数为2个，则这两个实数关于对称，所以两个根的和为； 若实数根的个数为4个，由对称性可知四个根的和为故D正确. 故选： 12.【答案】0  【解析】【分析】 本题考查并集中所有元素之和的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 先求出集合B，由此求出，从而能求出的所有元素之和． 【解答】 解：集合，， 则， 所以所有元素之和为 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的离心率，属于中档题. 由题意求出A，B的坐标，利用，，得出，则，即可构造出关于e的方程，求解出e的值. 【解答】 解：由已知可得：， 因为点A，B在C上， AB的中点为F， 则， 因为，则， 所以， 因为，所以，所以， 则，所以， 所以负值舍去 故答案为  14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查棱锥与球的结构特征，面面平行的性质定理，考查空间想象能力与推理论证能力，属于难题. 由球的表面积得其半径，从而可得正四面体棱长，设AD的三等分点依次为E，靠近，得平面过点E，平面过点F，解三角形求出PB，由面面平行得，再结合余弦定理求出QR，PQ，即可得的周长. 【解答】 解：设球O半径为r，则， 解得， 由正弦定理可得，则 如图，设AD的三等分点依次为E，靠近， 因为平面，平面，平面，平面，且与之间的距离为同一定值， 所以平面过点E，平面过点F， 又棱AC，AD分别与交于点Q，R， 所以点E与点R重合， 在中，， 在中，， 则， 所以， 所以，且， 因为，平面平面 ，平面平面 ， 所以，所以Q为AC中点， 在中，，，， 则， 即， 同理可得， 所以的周长为 15.【答案】解：由题知：各组频率分别为：，，，，， 日均阅读时间的平均数为：分钟， 由题意，在三组分别抽取3，2，1人， 的可能取值为：0，1，2， 则， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 P   【解析】本题考查了频率分布直方图、平均数、、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题. 根据频率分布直方图和平均数公式计算即可； 易得的可能取值为：0，1，2，得出对应概率，可得随机变量的分布列与数学期望. 16.【答案】解：当时，，解得， 又因为，所以切线方程为：； 的定义域为，， 当时，得恒成立，在单调递增， 当时，令，， 当即时，恒成立，在单调递增； 当即时， 由得，或， 由得，， 所以在，单调递增， 在单调递减， 综上：当时，在单调递增; ，在，单调递增，在单调递减.   【解析】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及逻辑推理能力，属于较难题． 将代入，求导得出切线斜率，并求出切点，进而由点斜式得到切线方程； 对函数求导，分，讨论即可求得的单调性. 17.【答案】解：取棱中点D，连接BD， 因为1B，所以， 因为三棱柱1B1C1， 所以1， 所以1，所以 因为，所以， 因为，， 所以，所以， 同理， 因为，且，平面， 所以平面， 因为平面ABC， 所以平面平面 取AB中点O，连接， 取BC中点P，连接OP，则， 由知平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以，， 因为，则， 以O为坐标原点，OP，OB，所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 设点，， ，，， 设面的法向量为，得，得， 取，则，，所以， 设直线AN与平面所成角为， 则，， 若，则， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线AN与平面所成角的正弦值的最大值   【解析】本题考查面面垂直的判定，直线与平面所成角的向量求法，属于中档题. 取棱中点D，连接BD，结合条件可得，，根据线面垂直的判定平面，即可证得平面平面ABC； 取AB中点O，连接，取BC中点P，连接OP，则，以O为坐标原点，OP，OB，所在的直线为x轴、y轴、z轴，利用空间向量求解即可. 18.【答案】解：设，切点为N， 则， 所以 化简得， 所以C的方程为； 因为，所以可设，， 又因为， 所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线， 所以G，E，H三点共线； 设，，，，AB中点为E，中点为F， 将代入得：， 所以，， 所以，同理均在定直线上， 因为， 所以与面积相等，与面积相等; 所以四边形面积等于四边形GAHB面积， 设，， 直线， 即， 整理得：直线， 又因为， 所以， 同理，直线，， 所以， 所以， 所以四边形GAHB面积 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以四边形GAHB面积的最大值为16，即四边形面积的最大值为  【解析】本题主要考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线中的面积以及学生的推理运算能力，属于综合题，难度较大. 由几何关系得到，进而求出C的方程； 利用向量方法，分别证明G，E，F三点共线，以及H，E，F三点共线，进而证明结果； 将四边形面积转化为四边形GAHB面积，再根据四边形GAHB面积求出其最大值，进而得到结果即可. 19.【答案】解：因为， 所以 因为， 所以 又因为 ， 所以， 所以 对于，， 因为 ， 所以， 所以， 所以， ， 所以   【解析】本题考查新定义问题，考查数列与不等式，考查裂项相消求和法，属于难题. 由定义可得，从而可求解； 根据新定义的概念证明即可； 由题意可得，故，故，根据等比数列的求和公式及裂项相消法即可证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$