3.8圆内接正多边形同步作业 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

圆内接正多边形 一、单选题 1．正六边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积三等分，这两个圆的半径分别为，．则的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，用六个全等的直角三角形恰好拼成一大一小两个正六边形，则大正六边形与小正六边形的周长之比为（    ） A． B． C．2 D．3 4．下列说法正确的个数是（　　） ①钟面上：时，时针和分针的夹角是：②把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；③若，则点是的中点；④各边相等的多边形是正多边形；⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线扡这个边形分成了个三角形． A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，连接的内接正十二边形顶点得到，，若，则阴影部分的面积为（　　） A． B．2 C． D． 6．圆内接正六边形的边长为2，则该圆内接正三角形的边长为（　　） A．4 B． C． D． 7．用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接并延长交于点B；②以点B为圆心，为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接，并延长分别交于点E，F；④顺次连接，，，，，，得到六边形．连接，，交于点G，则下列结论错误的是（    ） A．的内心与外心都是点G B． C．点G是线段的三等分点 D． 8．如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（    ） A． B．（1，） C．（2，2） D．（3，2） 二、填空题 9．如图，若的半径为3，则其内接正六边形的周长为 ． 10．如图，正六边形内接于，连接BD．则的度数是 ． 11．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为 ． 12．如图，四边形是的内接正方形，E是的中点，交于点F，则 度． 三、解答题 13．用等分圆周的方法画下列图形．    14．如图，正方形内接于，为的中点． (1)作等边三角形，使点，分别在和上（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求的度数； (3)若正方形的边长为4，求（1）中等边三角形的边长． 15．如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心，为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图： (1)在图①中画⊙O的一个内接正六边形； (2)在图②中画⊙O的一个内接正八边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《圆内接正多边形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A B D D A 1．C 【分析】本题考查了正多边形中心角定义．根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案． 【详解】解：∵是正六边形， ∴中心角为：， 故选：C． 2．C 【分析】根据圆的面积公式得出方程，根据算术平方根求出OA、OB、OC的值，再代入即可得出答案 【详解】解：以OA半径的圆的面积是πr2，则以OB半径的圆的面积是πr2，则以OC半径的圆的面积是πr2 ∴πr2，πr2， ∴OB＝r，OC＝r． ∴OA：OB：OC＝r：r：r＝ ：：1， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，算术平方根，圆的面积的应用，解此题的关键是能根据题意得出关于OA、OB、OC的方程，难度不是很大． 3．B 【分析】根据全等三角形的性质得到，求得，，即，得到，根据相似多边形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， 即， ∴， ∵正六边形正六边形， ∴正六边形的周长∶正六边形的周长． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，特殊角的三角函数，相似多边形的判定和性质，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 4．A 【分析】根据角的大小、角平分线、线段的中点、多边形的性质逐项判断即可； 【详解】解：钟面上：时，时针和分针的夹角是；①错误； 把一个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的角平分线；②错误； 当点在线段的延长线上时，也可以满足，因此不能说明点是的中点；③错误； 各边相等各个内角也相等的多边形是正多边形；④错误； 从边形的其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线扡这个边形分成了个三角形；⑤错误； 正确的个数为 故选：A． 【点睛】本题考查了角的大小、角平分线的定义、线段的中点定义、多边形的性质等知识点；熟练掌握上述基础知识是解题的关键． 5．B 【分析】根据已知条件得到，求得，，得到，过作于，于，解直角三角形得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图所示， ， ，， ， ， 过作于，于， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，梯形的面积的计算，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 6．D 【分析】根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】如图（一），    ∵圆内接正六边形边长为2， ∴，， ∵， ∴可得是等边三角形，圆的半径为2， 如图（二），    连接，过O作于D， 则根据内接正三角形的性质，可得， 即， 故． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键． 7．D 【分析】证明是等边三角形，，，可判断A；证明，可判断B；证明，可判断C；证明，可得结论． 【详解】解：在正六边形中，， ∵， ∴，，都是等边三角形， ∴，， ∴四边形，四边形都是菱形， ∴，， ∴的内心与外心都是点G，故A正确， ∵，， ∴， ∵， ∴，故B正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点G是线段F的三等分点，故C正确， ∵，， ∴，故D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形，四边形都是菱形． 8．A 【分析】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，连接，作于Q，由正六边形的性质得到，得到，勾股定理求出，再证得四边形是矩形，得到，即可得到点P的坐标 【详解】如图，连接，作于Q， 由正六边形的性质可得． 在中，． ∴． ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴点P的坐标为． 9．18 【分析】本题考查正多边形与圆的有关计算，等边三角形的判定与性质， 连接、，证是等边三角形，即可求得正六边形的边长，然后由正六边形周长公式求解即可．熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的确关键． 【详解】解：连接、， ∵正六边形内接于， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长， 故答案为：18． 10． 【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是判断出是等腰三角形，属于中考常考题型．求出，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：在正六边形中，， ， ， 故答案为：． 11． 【分析】圆心为A，设半径为R，大正方形边长是，根据图形可得，，利用勾股定理列出方程求解，然后代入勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图所示，圆心为A，设半径为R，大正方形边长是 ∵正方形的两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧， ， ∵小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， 由勾股定理得： ， 即， 解得：，（负值舍去） ， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查圆的基本性质及勾股定理解三角形，正方形的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 12．67.5 【分析】根据四边形是的内接正方形，得，根据，得，即可求出的度数． 【详解】解：∵边形是的内接正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴ ∴， ∴． 故答案为：67.5． 【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13．见解析 【分析】根据正多边形和圆的性质求解即可． 【详解】在图1中用半径去截圆周使得，连接，，，，，即可； 在图2中作，连接，，，，即可．    【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用圆画出正六边形，正五边形是本题的关键． 14．(1)见解析 (2)； (3)等边三角形的边长为． 【分析】（1）如图所示，连接并延长交于，以为圆心，为半径画圆，交于点，，点，即为所求； （2）利用等边三角形的性质及圆周角定理求得，，据此即可求解； （3）如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据勾股定理计算半径的长，再利用勾股定理求的长，可得等边三角形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，连接并延长交于，以为圆心，为半径画圆，交于点，，点，即为所求，即得到等边三角形．    （2）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过O作于N，    ∵， ∴， 中，， ∴， 中，，， ∴， ∴， ∴， ∴等边三角形的边长为． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：作等边三角形，圆内接三角形，还考查了正方形和等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 15．(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）设的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接，如图，正六边形即为所求； （2）圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，根据正方形对角线能形成角，以此确定，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示， 如图①，正六边形即为所求； （2）如图所示， 如图②，正八边形即为所求． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、正多边形和圆，解决本题的关键是掌握圆内接正多边的性质，准确画图． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$