3.8圆内接正多边形（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦“圆内接正多边形”，系统讲解概念、中心、半径、中心角、边心距等核心知识，通过情境问题引导观察图形识别正多边形，结合知识回顾（切线长、正多边形定义）搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以证明推理（如五边形为正多边形的证明）培养推理意识，结合宝塔地基、亭子地基等实际问题发展应用意识，作图方法强化几何直观。学生能提升数学思维与解决问题能力，教师可高效备课，教学逻辑清晰。

北师大版·九年级下册 3.8 圆内接正多边形 第三章 圆 学 习 目 标 1.了解圆内接正多边形的有关概念; 2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系;(重点) 3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. （难点） 知识回顾 1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段的长叫作切线长． 2.切线长定理： 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 . 相等 切点 3.各边 ,各角也 的多边形叫做正多边形. 相等 相等 B P O A 情境引入 是各边都相等，各内角都相等的正多边形. 问题1： 观看下面的图形，你能从这四幅图中找出多边形吗？它们都是几边形？ 三角形 六边形 四边形 五边形 问题2： 上图的多边形都是什么样的多边形？ 新知探究 探究：圆内接正多边形 观察与思考: 观看下面的图形，这些正多边形的顶点都具有什么样的特征？ 它们的顶点都在同一个圆上． 新知探究 圆内接正多边形 知识归纳 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆． 新知探究 如何作圆内接正多边形呢？ 如图，把⊙O分成相等的5段弧，即AB=BC=CD=DE=EA，依次连接各等分点，所得五边形ABCDE是正五边形吗？说说你的理由. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · A B C D E O ∴AB=BC=CD=DE=EA. 同理 ∠B=∠C=∠D=∠E. ∴∠A=∠B.　 ∴ 五边形ABCDE是正五边形. 证明： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∵ AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ⌒ ∴ BCE=CDA=3AB ⌒ 是正五边形. 想一想 新知探究 利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法： 知识归纳 把一个圆n等分(n≥3)，依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正多边形． 这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆. 拓展：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形． 新知探究 以正五边形为例，了解圆内接正多边形的相关概念． 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， 圆心O叫做这个正五边形的中心； OA是这个正五边形的半径； ∠AOB是这个正五边形的中心角； OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距． 思考:正五边形的中心角是多少？正n边形呢？ 新知探究 1.正n边形的每个中心角都相等，都等于； 2.正n边形的每个外角都相等，都等于； 3.正n边形的每个内角都相等，都等于180°． 正n边形的性质： 知识归纳 新知探究 1.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 （ ） A．60° B．45° C． 36° D． 30° · A B C D E O C 新知探究 F A D E O B G C 例：如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距. 解：连接OD. ∵六边形ABCDEF为正六边形. ∴∠COD=60°， ∴△COD为等边三角形， ∴CD=OD=4 在Rt△COG中,OC=4,CG=2. ∴ ∴正六边形ABCDEF的中心角为60°,边长为4，边心距为 新知探究 方法归纳 在解决正多边形与圆的问题中，常通过作辅助线构造直角三角形求解． O A B C D E F · 2.作边心距，构造直角三角形. 1.连半径，得中心角； R M r O 边心距r 边长一半 半径R C M 中心角一半 做一做 新知探究 你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗? . O 分析：由于正六边形的中心角为 ，因此它的边长就是其 的半径R. 所以，在半径为R的圆上，依次截取等于 的弦，就可将六等分圆，进而作出圆内接正六边形. 60º R 外接圆 新知探究 作法：(1)作⊙O的任意一条直径FC； (2)分别以F，C为圆心，以R为半径作弧，与⊙O交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点； . O F C A B D E (3)顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便得到正六边形ABCDEF. 此方法可以减少累积误差. 典例分析 如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 例1 解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°； (2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°； (2)在⊙O上用圆规截取AC＝AB； (3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形． ︵ ︵ 典例分析 方法三：(1)作直径AD； (2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C； (3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE； (2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C； (3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形． 如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26 m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为中心，求地基的中心到边缘的距离.(结果精确到0.1 m) 例2 典例分析 D A B E C O ① ② 解：如图，作OM⊥AB于点M，连接OA， OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角． 由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°， ∴ ∠AOM＝36°． ∵ AB＝×26＝5.2(m)，∴ AM＝2.6(m)． 在Rt△AMO中，边心距OM＝＝≈3.6(m)． 所以地基的中心到边缘的距离约为3.6 m． M 巩固练习 基础巩固题 1．正多边形的一部分如图所示，若∠ACB=20°，则该正多边形的边数为（     ） A．6 B．8 C．9 D．12 2．如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则∠CAD的度数为（      ） A．10° B．15° C．20° D．25° C B 巩固练习 基础巩固题 3．如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠ANF的度数为（    ） A．108° B．125° C．90° D．144° 4．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC.若正六边形的边长为4，则点O到AC的距离OG的长为（     ） A．2 B．2 C．3 D．1 A B 巩固练习 基础巩固题 5．如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的，那么n的值是 . 6．若正多边形的一个中心角为60°，边长为4cm，则这个正多边形外接圆的半径为 cm． 7．图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为 ． 8．如图，⊙O是半径为3的正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接DF，则DF的长为 ． 8 4 巩固练习 基础巩固题 9.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积． 解：连接AO，BO，CO，AC， ∵正八边形ABCDEFGH的半径为2， ∴AO=BO=CO=2，∠AOB=∠BOC=360°÷8=45° ∴∠AOC=90°， ∴AC= ，此时AC与BO垂直， ∴S四边形AOCB= ∴正八边形面积为：． 巩固练习 基础巩固题 10.有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2). C D O E F A M 抽象成 B 利用勾股定理,可得边心距 解：过点O作OM⊥BC于M. 亭子地基的面积 在Rt△OMB中,OB＝4,MB＝ 亭子地基的周长l=6×4=24(m) 课堂小结 圆内接正多边形 概念 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆． 作业布置 1.必做题：习题3.10第1-4题。 2.探究性作业：习题3.10第5题。 感谢聆听! $