3.7切线长定理同步作业 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

切线长定理 一、单选题 1．平面内，⊙的半径为，点到圆心的距离为，过点可作⊙的切线条数（   ） A．条 B．条 C．条 D．无数条 2．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．已知AD＝3，BC＝6，则AB＋CD的值是(    ) A．3 B．6 C．9 D．12 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是（    ） A．3 B．3.5 C． D． 4．AB是⊙O的直径，PB、PC分别切⊙O于点B、C，弦，若PB＝AB＝10，则CD的长为（    ） A．6 B． C． D． 5．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（    ） A．π B．π C．π D．2π 6．如图，在中，，在边上取点为圆心画圆，使经过两点，下列结论：①；②；③以圆心，为半径的圆与相切；④延长交于点，则是的三等分点．其中正确结论的序号是（    ）    A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 7．如图，，，是的切线，切点分别是P，C，D，若，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，直线分别与相切于点E、F、G且，若，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 10．如图，的半径为内接于于点D，，则长度为 ． 11．如图，⊙O内切于分别为上的切点．若的周长为60，且，则 ．    12．以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 三、解答题 13．如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数． 14．李老师在上课时的屏幕上有如下内容：如图，是的直径，点C为弧的中点，连结交于点E，，老师要求同学们在矩形方框中添加一个条件和结论后，编制成一道完整的题目，并解答． (1)李老师在方框中添加的内容是“，求的长”，请你解答； (2)某同学加的内容是，连C，求的值”．请你帮该同学完成解答． 15．如图，是的弦，C，D为优弧的三等分点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 16．如图：已知⊙M经过O点，并且⊙M与x轴，y轴分别交于A，B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程的两根． （1）求线段OA，OB的长； （2）已知点C是劣弧OA的中点，连结BC交OA于D． ① 求证：； ② 求点C的坐标； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《切线长定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B A A D C D 1．A 【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可得到答案． 【详解】⊙的半径为，点到圆心的距离为， , 点与⊙的位置关系是：点在⊙的内部， 过点可以作⊙的条切线． 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，切线的定义，切线是圆与直线有且只有一个公共点的直线，正确的理解定义是解题的关键． 2．C 【分析】根据切线长定理，可以得到等量关系，AE=AF，BE=BH，DF=DG，CG=CH，又根据题目中已知AD=3，BC=6，从而进行等量替换计算出AB+CD的长度． 【详解】解：∵AB、BC、CD、DA都是的切线， ∴可以假设切点分别为E、H、G、F，如图所示： ∴AE=AF，BE=BH，DF=DG，CG=CH， ∴AB+CD=AE+BE+DG+CG=AF+BH+DF+CH=AD+BC ∵AD=3，BC=6 ∴AB+CD=3+6=9 故选C． ． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，即可解决问题． 3．B 【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN． ∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝5， ∵AN＝NC， ∴BN＝AC＝， ∵AN＝NC，DM＝MC， ∴MN＝AD＝1， ∴BM≤BN+NM， ∴BM≤1+， ∴BM≤， ∴BM的最大值为． 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 4．A 【分析】过点O作于点F，延长CD交BP于点E，连接OC，则， ，根据切线的性质得到，结合平行线的性质推出，进而得到，四边形OBEF是矩形，根据相似三角形的性质及矩形的性质得到，根据勾股定理得到，据此即可得解． 【详解】解：过点O作于点F，延长CD交BP于点E，连接OC， ∵， ∴， ∵PC是⊙O的切线， ∴， ∴， ∵PB是⊙O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵PB、PC分别切⊙O于点B、C， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在Rt△CEP中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理，熟记切线的性质定理、垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 5．A 【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示： ∵N为BM的中点，Q为AB的中点， ∴NQ为△BAM的中位线， ∵AM⊥BP， ∴QN⊥BN， ∴∠QNB＝90°， ∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的， ∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°， ∴ABCA＝4，∠QBD＝45°， ∴∠DOQ＝90°， ∴为⊙O的周长， ∴线段BM的中点N运动的路径长为：π， 故选：A． 6．D 【分析】①连接OB，△OAB是等腰三角形，则两底角相等为30°，在Rt△ABC中可求得∠ABC的度数，做差得∠OBC，再利用30°的三角函数值得到线段间的关系； ②在Rt△OBC中，OB是斜边＞直角边BC的长度，而OA＝OB，可判断； ③过点O作OE⊥AB于点E，利用角平分线的性质定理，得到OC＝OE来判断； ④延长BC，交于点D，连接AD，可得到DC＝BC，加上∠C为90°，可推断△ABD为等腰三角形，而∠ABC＝60°，可判断△ABD是等边△，即可得出. 【详解】①如图，连接，则． ， ， ． ，故①正确； ②在中，， ，故②错误； ③如图，过点作于点， ， ， ∴以圆心，为半径的圆与相切，故③正确； ④如图，延长，交于点，连接． ． ， ， 是等边三角形． ， 是的三等分点，故④正确； 故正确的有①③④．    【点睛】本题综合性较强，考查了特殊角的三角函数值、角平分线的性质定理、等腰三角形、等边三角形的判定和性质，需要熟练掌握灵活应用性质及判定. 7．C 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角”； 本题首先根据切线长定理，可得，再由，可求得的长，最后再次利用切线长定理，即可求得的长； 【详解】解：∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴， 故选：C． 8．D 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 9．2 【分析】本题考查切线长定理，由切线长定理知，根据已知条件即可判定是等边三角形，由此可求得的长． 【详解】解：∵、分别切于A、B， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 10．2 【分析】连接OA、OC，利用圆中的性质，以及三角函数进行解题即可． 【详解】解：如图所示，连接OA、OC， 由题意得：， ∴∠AOC=90°， ∵的半径为，OA=OC， ∴OA=OC=，∠OAD=45°， ∵，     ∴sin∠OAD=， 解得：OD=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是圆的基本性质，以及与三角形的综合运用，三角函数的运用，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 11．14 【分析】由切线长定理可求出AB，BC，AC的长，再根据切线长定理列出方程组，解出方程组即可求出结论． 【详解】设，则． 由，解得． ． 设． 分别为的切线， ，则 ①+②+③，得 ．④   ④-②，得 ． 【点睛】此题主要是考查了切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题． 12．4 【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 根据切线长定理可得，然后根据的周长可求出正方形的边长． 【详解】解：在正方形中，，， ∵与半圆相切于点，以正方形的边为直径作半圆O， ∴与半圆相切， ， ∵的周长为12， ， ， ∵， 正方形的边长为4． 故答案为：4． 13．， 【分析】根据切线的性质，得到，利用互余关系求出的度数，利用切线长定理，得到是等腰三角形，利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质和切线长定理．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 14．(1)AB=6，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据点C为弧的中点得，即可得，即可判定，得，进行计算即可得，根据是的直径得，运用勾股定理即可得，即可得； （2）连接交于点F，根据点C为弧的中点得，，根据，即可得，根据得，由（1）知，，，则 ，，，，即可得． 【详解】（1）解：∵点C为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点F， ∵点C为弧的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，，， 则 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形函数，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握并灵活运用这些知识点． 15．(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由点C，D为优弧AB的三等分点得到，从而，进而，又，根据“对边分别平行的四边形是平行四边形”得证四边形ABEC是平行四边形； （2）由点C，D为优弧AB的三等分点可证，从而得到，，，根据相似三角形的对应边成比例可求得的长． 【详解】（1）∵C，D为优弧的三等分点 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 （2）∵四边形是平行四边形 ∴ ∵C，D为弧ACB的三等分点 ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，圆的相关知识，掌握圆的相关知识是解题的关键． 16．（1）；（2）①见解析；②（6，-4） 【分析】（1）依题意解一元二次方程即可求得线段OA，OB的长； （2）①由题意得，根据同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠DOC，结合公共角，进而证明△OCB∽△DCO，即可证明；②根据点C是劣弧OA的中点，连接MC交OA于点E，由垂径定理可得，，由直角所对的弦是直径，勾股定理求得，进而求得，即可求得点的坐标． 【详解】（1） OA＞OB （2）①∵点C是劣弧OA的中点， ∴ ∴∠OBC=∠DOC， 又∵∠C=∠C， ∴△OCB∽△DCO． ∴ 即； ②连接MC交OA于点E，连接, ∵点C是劣弧OA的中点， ME⊥OA， ， ∵OA=12，OB=5，∠BOA=90°， ∴AB是⊙M的直径，由勾股定理得AB=13， 根据勾股定理，得 ∴CE=6.5-2.5=4，即C（6，-4）； 【点睛】本题考查了解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，垂径定理及其推理，掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$