专题02 直线的交点和距离问题7种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题02 直线的交点和距离问题7种题型归类 目录 类型一、三线能否围成三角形 类型二、两点间距离公式求最值 类型三、求关于直线对称的点 类型四、直线关于直线对称 类型五、直线关于点对称的直线 类型六、将军饮马问题 类型七、距离新定义 压轴专练 类型一、三线能否围成三角形 直线；；； 若①或②或③或相交于同一点，则三线不能构成三角形 例1．已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解. （2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解. 【详解】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 变式1-1．设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案. 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 变式1-2．（多选）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．4 【答案】ACD 【分析】由题意，利用分类讨论思想，分为三线交于一点和至少有两条直线平行两种情况，分别剪力方程，可得答案. 【详解】当三条直线交于一点时，由，解得直线和直线的交点的坐标， 由点在直线上可得，解得或，故AC正确； 至少有两条直线平行或重合时，即，，中至少有两条直线的斜率相等， 当时，；当时，；若，则需有，不可能，故D正确. 故选：ACD. 变式1-3．（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】先求得的交点，对进行分类讨论，画出图象，结合图象求得的范围，从而确定正确答案. 【详解】由解得，设， 当时，直线即，画出图象如下图所示，此时三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意.    当时，直线的斜率为， 当直线过时，， 平面划分为部分，符合题意.    直线的斜率为，直线的斜率为， 当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意，    当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意，    当且且时，三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意. 所以ABC选项正确，D选项错误. 故选：ABC 类型二、两点间距离公式求最值 平面上任意两点，间的距离公式为 例2、求的值域. 【答案】 【分析】设，问题化为求的范围，数形结合确定值域即可. 【详解】令， 设，如下图示， 则，当且仅当在线段的延长线上时取等号， 当时，直线可近似看作平行关系，此时， 综上，目标式的范围是. 变式2-1．已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 变式2-2．著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案. 【详解】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据几何意义，转化为动点到的距离之和问题，画出图象，，当为矩形对角线交点时，距离最小. 变式2-3．函数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】记点、、，则，数形结合可得出的最小值，当时，设，结合函数的基本性质可得出，综合可得出的取值范围. 【详解】， 记点、、， 利用几何意义，根据两边之差小于第三边， 又注意到、、三点共线时可以取到最小值， 故，如下图所示： 又因为，则， 当时，，此时； 当时，设， 则， 此时. 综上所述，函数的取值范围是. 故答案为：. 类型三、求关于直线对称的点 点关于直线对称问题步骤： 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：：中； ② 整理得： 例3．在中，，，，D是边上的点，关于直线的对称点分别为，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】易得，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立如图所示的直角坐标系，设，设与AD交于点E，分别求得直线的方程，利用点到直线的距离公式求得C到直线BE的距离，即到的距离，及的长度，从而可求得三角形的面积，再利用导数即可得出答案. 【详解】解：在中，，， 则， 所以， 所以为直角三角形，且， 则以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立如图所示的直角坐标系， 则，，，设， 则直线，即． 设与AD交于点E，则， 又因为直线，即， 此时C到直线BE的距离为，即到的距离为， 所以， 则的面积， 因为， 所以当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以当时，， 即面积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了直线中的对称性问题及点到直线的距离公式，考查了利用导数求最值，综合性较强，有一定的难度. 变式3-1．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过的重心G，则AP= ．直线PQ的斜率为 【答案】 2 【分析】根据已知，利用对称性、重心的性质，求出对称点坐标，联立直线方程进行求解. 【详解】        建立如图所示的平面直角坐标系，可得，， 所以直线的方程为，的重心G的坐标为， 设点，，分别是点关于直线BC和y轴的对称点， 连接，所以，设，则有 ，解得，所以， 由光的反射原理可知，四点共线，所以， 即，解得，此时， 所以，，，直线的方程为， 联立直线的方程与的方程有：，解得， 即，所以直线PQ的斜率为. 故答案为：，2. 变式3-2．已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有，根据几何意义，结合图形，即可得出取最小值，从而得解. 【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和. 过作轴，过点作轴， 显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置. 易得，所以的最小值为. 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于将问题转化为点到轴的距离与到的距离之和，从而结合图形即可得解. 变式3-3．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标. 类型四、直线关于直线对称 直线关于直线对称问题 1直线：：（）和：：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，，两点求出直线 2直线：：（）和：：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 例4．直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 变式4-1．两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两直线的交点，再在直线取点，并求其关于直线的对称点，由两点即可求出结果. 【详解】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为， 在上取一点，设它关于直线的对称点为， 则有，整理得，解得，即， 由，，可得所求直线方程为，即， 故选：C. 变式4-2已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 【答案】 【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解； 解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程. 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 变式4-3．已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点关于直线的对称点的坐标为；条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算直线的斜率，根据两直线的平行或垂直关系得到斜率，根据点斜式方程得到直线方程. （2）先计算直线，的交点；再在直线上取一点，求其关于对称的点；最后根据交点和对称点得到直线方程. 【详解】（1）选择条件： 因为点关于直线的对称点的坐标为， 所以是线段的垂直平分线，线段的中点坐标为． 因为， 所以直线的斜率为. 所以直线的方程为，即． 选择条件： 因为，直线与直线垂直， 所以直线的斜率为. 又因为直线过点， 所以直线的方程为，即． 选择条件， 因为，直线与直线平行， 所以直线的斜率为. 又因为直线过点， 所以直线的方程为，即． （2）联立方程组，解得， 故，的交点坐标为， 设关于：对称的点为. 则，解得. 因为在直线：上， 所以直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即， 所以：关于直线的对称直线的方程为． 类型五、直线关于点对称的直线 直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 例5．不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 变式5-1．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 变式5-2．已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】 【分析】先求出交点坐标，根据垂直关系求出直线的方程，然后采用相关点法求解出直线的方程. 【详解】因为，所以，所以交点是， 设直线的方程为，代入，则，所以， 因为直线与直线关于点对称，设直线上任意一点的坐标为， 关于的对称点为，且在直线上， 所以，即， 所以直线的方程为. 变式5-3．已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在对称直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 类型六、将军饮马问题 例6．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 变式6-1．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B. 变式6-2．（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 变式6-3．已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用点到线的距离公式求解即可. （2）设点关于直线的对称点，求出坐标，结合求解即可. 【详解】（1）当时，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. （2）当时，直线的方程为， 设点关于直线的对称点，如图所示， 则，解得，即， 所以， 故的最小值为. 类型七、距离新定义 例7．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 /0.5； 4. 【分析】设出点的坐标，利用给定的定义列出函数关系，借助分段函数求出最小值即得. 【详解】设，则， 当时，；当时，；当时，， 因此对任意，，所以当，即点时，取得最小值； 设，则，令，于是， 显然，当时，；当时，； 当时，，因此对任意，， 所以当，即时，如点，取得最小值4. 故答案为：；4. 变式7-1．出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知的轨迹关于轴对称，也关于轴对称，进而先研究其在时的函数解析式，并画出其图象，结合对称性可将图象补充完整，数形结合求解即可. 【详解】由题意可知，的轨迹关于轴对称，也关于轴对称． 当时，， 即 画出此函数的图象，并结合对称性可得点的轨迹是如图所示的六边形． 由图可知，的最小值为图中点到直线的距离． 故选：A 变式7-2．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．若点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设，则，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：C. 变式7-3．（多选）在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（    ） A． B．到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C． D． 【答案】ACD 【分析】由新距离定义求解判断A；由新距离定义，分类讨论求出点P的轨迹判断B；设M为直线上的动点，由新距离定义，分情况讨论判断C；由新距离定义，结合绝对值的几何意义推理判断D. 【详解】对于A，，，则，A正确； 对于B，，即， 当且时，有，即； 当目时，有，即； 当且时，有，即； 当目时，有，即； 因此点P的轨迹围成的图形是以为顶点的正方形， 边长为，面积为，B错误；    对于C，令M为直线上的动点，设， 则与点的“新距离”， 当时，， 当时，， 当时，， 因此点 D到直线的“新距离”，C正确； 对于D，由绝对值的几何意义得，， 则，， 将两式相加得：， 即，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及新定义的理解和运用问题，解题的关键是正确理解新定义，注意与的区别. 压轴专练 1．已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出点坐标，可得，分、、讨论，代入利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】由，解得，可得， 所以，即， 当时，，则无意义； 当时， ，当且仅当即等号成立； 当时， ，当且仅当即等号成立； 综上，，或. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出点坐标，代入利用基本不等式求最值. 2．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点C的坐标，求出的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂心验证判断作答. 【详解】设顶点的坐标为，则的重心坐标为， 依题意，，整理得：， 对于A，当时，，不满足题意，排除A； 对于D，当时，，不满足题意，排除D； 对于B，当时，， 对于C，当时，， 直线AB的斜率，线段AB中点，线段AB中垂线方程：，即， 由解得：，于是得的外心， 若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，该点与点M确定直线斜率为， 显然，即点M不在线段BC的中垂线上，不满足题意，排除B； 若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，线段BC中垂线方程为：，即， 由解得，即点为的外心，并且在直线上， 边AB上的高所在直线：，即， 边BC上的高所在直线：，即， 由解得：，则的垂心，此时有， 即的垂心在直线上，选项C满足题意. 故选：C 【点睛】结论点睛：的三顶点，则的重心为. 3．已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为点到点的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解. 【详解】可看成点到点的距离的平方， 点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上， 问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小. 注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称， 观察图象知点P到直线的距离最短，， 最短距离为，所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】本题考查两点之间的距离，利用化归与转化思想，将问题转化为在直线上找一点使得它到图象的距离的平方最小，借助函数图象的对称性解决问题. 4．已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】依题意，设点，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式表示的几何意义将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和最小问题解决. 【详解】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为， 且，则点的坐标为， 则， 记， 则可将理解为点到的距离之和， 即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值. 如图，作出点关于直线的对称点,则， 连接，交直线于点,则即的最小值， 且, 故的最小值为. 故选：A. 5．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题： ①已知点，直线，则； ②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（    ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 【答案】C 【分析】对于①，设点是直线上一点，且，可得，讨论与的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；对于②，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】对于①，设点Q是直线上一点，且，可得， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，无最值， 综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故①正确； 对于②，定点、，动点， 满足， 则：， 显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设，. 当时，有，得：； 当时，有，此时无解； 当时，有，； 则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线. 结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，因此②正确， 故选：C. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础知识，以不变应万变才是制胜法宝. 6．已知向量满足，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角坐标系将向量转化为坐标，进而转化为点关于直线对称，从而求出结果. 【详解】 建立如图所示直角坐标系，其中, 则令， 设，则， ，， ， 问题等价于当点在线段上运动时，求的最小值， 设点关于的对称点为， 则，解得， , 当且仅当为直线与线段的交点时取得最小值. 这时由，得，符合题意. 故选：D. 7．已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分和两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得的取值范围. 【详解】显然四边形为等腰梯形， 因为，根据等腰梯形的对称性可知：当或时不符合题意，所以， 当时，设直线与y轴的交点， 根据等腰梯形的对称性可得符合题意； 当时，设直线与梯形上、下底分别交于M、N， 因为三角形与三角形全等， 所以直线将四边形分割为面积相等的两部分；    当时，设直线与轴交于点，与梯形两腰交于， 直线将四边形分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于， 可知：直线， 联立，解得，即， 同理可得：， 由题意可得：， 整理得，且，解得；    综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用等腰梯形的对称性，并分类讨论和数形结合处理问题. 8．在正方体中，，为棱的中点，一束光线从点射出，经侧面反射，反射光线又经侧面反射后经过点，则这束光线在正方体内的总长度为 ． 【答案】 【分析】易得光线从点射出通过两次反射到达点，则其路径在平面内，设光线在平面和平面内的反射点分别是，在矩形中，过点作于点，利用相似比及勾股定理求出即可. 【详解】                 如图1，光线从点射出，经侧面反射，反射光线又经侧面反射后经过点， 则其路径必在平面内，设光线在平面和平面内的反射点分别是，如图所示. 在矩形中，，过点作于点， 由反射的性质，可得，且， 易得，则得，因，则， 故，， 于是， 所以该光线经过的路径长为： 故答案为： 【点睛】关键点点睛：明确入射光线和反射光线是共面的，都在平面内，是解决本题的关键. 9．已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 因为，，所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 10．有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？    【答案】, 【分析】由已知及直线的斜截式方程求、坐标，再由三角形面积公式写出△的面积S，并指出k的取值范围 由面积S的解析式构造函数，并研究函数的单调性，进而求S的最值． 【详解】依题意，直线MN过点且斜率存在，则MN的方程为， ，， 直线OA的方程为，直线AB的方程为， 由知：且，可得或， 由知：且，可得， ，故，， ， ∴，且. 设，， 当时，， ∵， ，，，则，即， 在是增函数， 当时，，即时，． 【点睛】关键点点睛：应用直线的斜截式方程及三角形面积公式写出面积S及k的范围，利用函数的单调性求S的最值. 11．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若，，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”，“新椭圆”上任意一点设为. (1)已知，，求的值； (2)分别求，的取值范围； (3)若，，求“新椭圆”围成的面积. 【答案】(1) (2)的取值范围为；的取值范围为 (3)6 【分析】（1）根据定义直接运算求解即可； （2）设“新椭圆”上任意一点为，可得，分类讨论去绝对值，作出图象，即可得，的范围； （3）根据（2）中图象，代入，即可得面积. 【详解】（1）因为，，所以. （2）设“新椭圆”上任意一点为， 根据“新椭圆”的定义，可得，即， 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得；当时，可得； 作出“新椭圆”的图象，如图所示， 结合图象可知：的取值范围为；的取值范围为. （3）设“新椭圆”的图象，围成的六边形为， 若，，由（2）可知：， 所以“新椭圆”围成的面积为. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”,明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论 ； （2）重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况. 12．已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)求的面积关于直线的斜率的函数关系式； (3)当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 【答案】(1)， (2) (3)当时，取最大值为 【分析】（1）由直线与线段有公共点，可得的取值范围，联立直线可得交点坐标； （2）根据点到直线的距离及两点间距离可得三角形面积； （3）设，结合基本不等式可得最值. 【详解】（1）如图所示， 设直线， 又直线与线段，均相交， 则， 直线方程为， 直线方程为， 联立，解得，即， 联立，解得，即； （2）又，又，则， 点到直线，即点到直线的距离， 所以的面积， （3）由（2）得， 设，即， 则， 又，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 即当时，取最大值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线的交点和距离问题7种题型归类 目录 类型一、三线能否围成三角形 类型二、两点间距离公式求最值 类型三、求关于直线对称的点 类型四、直线关于直线对称 类型五、直线关于点对称的直线 类型六、将军饮马问题 类型七、距离新定义 压轴专练 类型一、三线能否围成三角形 直线；；； 若①或②或③或相交于同一点，则三线不能构成三角形 例1．已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 变式1-1．设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 变式1-2．（多选）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．4 变式1-3．（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 类型二、两点间距离公式求最值 平面上任意两点，间的距离公式为 例2、求的值域. 变式2-1．已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 变式2-2．著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 变式2-3．（23-24高二下·全国·阶段练习）函数的取值范围是 ． 类型三、求关于直线对称的点 点关于直线对称问题步骤： 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：：中； ② 整理得： 例3．在中，，，，D是边上的点，关于直线的对称点分别为，则面积的最大值为 . 变式3-1．（23-24高二上·河北保定·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过的重心G，则AP= ．直线PQ的斜率为 变式3-2．已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 变式3-3．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 类型四、直线关于直线对称 直线关于直线对称问题 1直线：：（）和：：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，，两点求出直线 2直线：：（）和：：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 例4．直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式4-2已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 变式4-3．已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点关于直线的对称点的坐标为；条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 类型五、直线关于点对称的直线 直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 例5．不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 变式5-3．已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 类型六、将军饮马问题 例6．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 变式6-1．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式6-2．（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 变式6-3．已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 类型七、距离新定义 例7．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为 ，的最小值为 . 变式7-1．出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 变式7-2．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．若点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．（多选）在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（    ） A． B．到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C． D． 压轴专练 1．已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 5．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题： ①已知点，直线，则； ②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（    ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 6．已知向量满足，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ． 8．在正方体中，，为棱的中点，一束光线从点射出，经侧面反射，反射光线又经侧面反射后经过点，则这束光线在正方体内的总长度为 ． 9．已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为 . 10有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？    11．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若，，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”，“新椭圆”上任意一点设为. (1)已知，，求的值； (2)分别求，的取值范围； (3)若，，求“新椭圆”围成的面积. 12．已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)求的面积关于直线的斜率的函数关系式； (3)当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$