专题七 三角形三边关系的应用-【通成学典】2025年四年级数学暑期升级训练（冀教版）

数学是各式各样的证明技巧。 采蜜角 33 专题七 三角形三边关系的应用 在三角形中,三角形的任意两边的长度之和大于第三条边的长度。根据三角 形的三边关系,我们可以通过已知的两条边的长度判断出第三条边的长度范围; 也可以在已知三角形周长的前提下,摆出多种不同的三角形。 类型一 根据三角形两边的长度之和 或差判断第三条边的长度范围 例1 一个三角形的两条边的长度分别 是7厘米和10厘米,则它的第三条边的 长度可能是多少厘米? (三条边的长度 都是整厘米数) 点拨:根据三角形的任意两边之和大于 第三条边,若第三条边是最长边,则它 的长度要小于其余两边之和 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,即小于 7+10=17(厘米);若第三条边是最短 边,则它与其余两边中较短边的长度之 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 和 􀪍 要大于最长边的长度,即它的长度要 大于 􀪍􀪍􀪍 10-7=3(厘米)。 解答: 三角形中,已知两条边的长度判断 第三条边长度的方法 已知三角形两条边的长度,求第三条边 长度范围的方法:先求出已知的两条边长度 的和,再求出它们的差,已知的两边之差< 第三条边长度<已知的两边之和。 类型二 用列举法摆三角形 例2 将16厘米长的吸管剪成三段(每 段都是整厘米数),摆成三角形,请问有 几种剪法? 点拨:根据三角形的任意两边之和大于 第三条边,可知最长 􀪍􀪍􀪍 的一条边一定小于 􀪍􀪍􀪍 16÷2=8(厘米) 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,即它最长是7厘米。 根据三角形的周长是16厘米,从7厘米 开始列举最长的边,找出所有的剪法。 解答: 用列举法解决摆三角形的问题 已知三角形的周长和三条边长度的数 值都是整数,要摆出所有三角形的方法为先 用三角形的周长除以2找出最长的边,再根 据三角形的任意两边之和大于第三条边,有 序列举出三角形所有可能的三条边的长度, 最后列出不同的摆法。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆34 1. 如果一个三角形的两条边的长度分别是5厘米和8厘米,那么它的第三条边最 长应小于多少厘米? 最短应大于多少厘米? 2. 有一块等腰三角形的土地,周长是180米,若其中一条边的长是50米,则另外两 条边的长分别是多少米? 3. 有两根小棒,长度分别为5厘米和3厘米,如果再添一根小棒(长度为整厘米数) 可以搭成一个三角形,那么这个三角形的周长最长是多少厘米? 最短是多少 厘米? 4. 用20厘米长的铁丝围成一个三角形(每条边的长度都是整厘米数),能围成几种 不同的三角形(铁丝没有剩余)? 若围成的是一个等腰三角形,则它的底边是多 少厘米? 数学(冀教版)四年级 83 3. 65×8=520(米) 520÷(195-65)=4(分) 65×(8+4)=780(米) 解析:由题意,可知从 爷爷出发到爷爷追上欢欢的这段时间内,爷爷 一共比欢欢多行了65×8=520(米)。爷爷每 分钟比欢欢多行(195-65)米,根据“路程差÷ 速度差=追及时间”,求出爷爷追上欢欢所用 的时间。爷爷追上欢欢时,欢欢已经走了(8+ 4)分钟,根据“速度×时间=路程”,求出欢欢 已经走的路程。 专题五 数 图 形 [例题导引] 例1 解答:6+5+4+3+2+1=21(个) 例2 解答:3×6=18(个) [提优训练] 1. 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55(个) 2. (5+4+3+2+1)×(2+1)=45(个) 3. (1) 4+4=8(个) (2) 5+4+3+2+1=15(个) 解析:先分别数 出单个的三角形的个数、由2个单个的三角形 组成的三角形的个数、由3个单个的三角形组 成的三角形的个数、由4个单个的三角形组成 的三角形的个数、由5个单个的三角形组成的 三角形的个数,再求和即可。 4. 16+7+3+1=27(个) 解析:题图是由若 干个形状、大小相同的小三角形构成的。单个 的三角形有16个,由4个单个的三角形组成的 三角形有7个,由9个单个的三角形组成的三 角形有3个,由16个单个的三角形组成的三角 形有1个,将每次数的结果相加,即可求出题 图中一共有多少个三角形。 专题六 三角形内角和的应用 [例题导引] 例1 解答:∠6=180°-32°-45°=103° ∠4=180°-103°=77° ∠5=180°-77°- 72°=31° 例2 解答:(8-2)×180°=1080° [提优训练] 1. ∠3+∠4=180°-90°=90° ∠1+∠2= (4-2)×180°-(∠3+∠4)=360°-90°=270° 2. ∠1+∠2+∠3+∠4=180°-80°=100° ∠2+∠4=∠1+∠3=100°÷2=50° ∠5=180°-50°=130° 3. ∠1+∠2+∠3=180° ∠2+15°+∠2+ ∠2+30°=180° ∠2=(180°-15°-30°)÷ 3=45° ∠1=45°+15°=60° ∠3=45°+ 30°=75° 这是一个锐角三角形 4. (12-2)×180°÷12=150° 专题七 三角形三边关系的应用 [例题导引] 例1 解答:10+7=17(厘米) 10-7=3(厘 米) 第三条边的长度可能是4厘米、5厘米、 6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘 米、12厘米、13厘米、14厘米、15厘米、16厘米 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 84 例2 解答:16÷2=8(厘米) 第一条边(厘米) 7 7 7 6 6 第二条边(厘米) 7 6 5 6 5 第三条边(厘米) 2 3 4 4 5 有5种剪法 [提优训练] 1. 第三条边最长应小于8+5=13(厘米), 最短应大于8-5=3(厘米) 2. 当50米为腰长时,180-50-50=80(米), 所以另外两条边的长分别是50米、80米 当50米为底边长时,(180-50)÷2=65(米), 所以另外两条边的长分别是65米、65米 3. 最长:5+3-1=7(厘米) 5+3+7= 15(厘米) 最短:5-3+1=3(厘米) 5+3+ 3=11(厘米) 解析:要求三角形的周长,就要 先求出第三条边的长度。当第三条边最长时, 第三条边的长比其余两条边的长度之和少 1厘米;当第三条边最短时,第三条边比其余两 条边的长度之差多1厘米。 4. 能围成8种不同的三角形,如下表: 第一条边(厘米) 9 9 9 9 第二条边(厘米) 9 8 7 6 第三条边(厘米) 2 3 4 5 第一条边(厘米) 8 8 8 7 第二条边(厘米) 8 7 6 7 第三条边(厘米) 4 5 6 6 其中等腰三角形有4种:9厘米、9厘米、2厘 米,底边是2厘米;8厘米、8厘米、4厘米,底边 是4厘米;8厘米、6厘米、6厘米,底边是8厘 米;7厘米、7厘米、6厘米,底边是6厘米 专题八 分数基本性质的应用 [例题导引] 例1 解答:5×[(12+36)÷12]-5=15 例2 解答:(13-3)÷(3-1)=5 5-3=2 [提优训练] 1. 18÷(18-12)=3 15-15÷3=10 2. (7+7)÷7=2 18×2-18=18 3. (25-13)÷(4-1)=4 13-4=9 解析:分子与分母同时减去一个数,说明分子 与分母的差不变,还是25-13=12。根据约分 后是1 4 ,可知此时分母是分子的4倍,利用差倍 关系求出现在的分子是12÷(4-1)=4,那么 同时减去的数是13-4=9。 4. (27-3)÷(1+2)=8 8×2=16 8+3= 11 原来的分数是1116 5. 12+1+3=16 16÷(5-3)=8 原来的分 数的分子是8×3+1=25 原来的分数的分母 是8×5-3=37 原来的分数是2537 专题九 找 规 律 [例题导引] 例1 解答:将上面一行的第一个数用a表示, 则圈出的6个数的和是a+a+1+a+2+a+ 6+a+7+a+8=6a+24 当圈出的数的和是 432时,a=(432-24)÷6=68 圈出的最大的 数是68+8=76 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)四年级