专题三 积的变化规律-【通成学典】2025年四年级数学暑期升级训练（冀教版）

数学是打开科学大门的钥匙。 采蜜角 25 专题三 积的变化规律 在乘法运算中,我们发现积会因为两个因数的变化而发生变化,那么积和因 数之间的变化规律到底是怎样的呢? 我们可以根据因数和积的变化,用列举法得 到积的变化规律。根据积的变化规律,在已知因数的变化情况的前提下,可以很 快得出变化后的积。 类型一 积的变化规律 例1(1) 在乘法算式中,一个因数不变, 另一个因数乘2,积就( )。 (2) 在乘法算式中,一个因数不变,另一 个因数除以3,积就( )。 (3) 在乘法算式中,一个因数除以2,另 一个因数乘8,积就( )。 点拨:通过举例发现,一个因数不变,另 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 一个因数乘几,积就乘几 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ;一个因数不 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 变,另一个因数除以几(0除外),积就除 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 以几 􀪍􀪍􀪍 。可以运用上面的规律得出答案。 解答: 用列举法探究积的变化规律 探究积的变化规律时,可以通过举例验 证得出积的变化规律:一个因数不变,另一 个因数乘(或除以)几(0除外),积也乘(或 除以)几。可以用得出的规律直接解决实际 问题。 类型二 积不变的规律 例2在括号里或横线上填上合适的数。 (1) 18×35=6×( ) (2) 4×45=( )×20 (3) A×B=(A×5)×(B÷ ) 点拨:通过观察,可以发现: (1) 18到6,即因数18除以3 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,要使积不 变,另一个因数要乘3,即35×3=105。 (2) 4到20,即因数4乘5 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,要使积不变, 另一个因数要除以5,即45÷5=9。 (3) 一个因数乘5,要使积不变,另一个 因数要除以5。 解答: 用列举法探究积不变的规律 探究积的变化规律时,可以通过举例验 证得出积不变的规律:一个因数乘(或除以) 几(0除外),另一个因数除以(或乘)几,积 不变。可以用得出的规律直接解决实际 问题。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆26 1. 如果A×B=150,那么4A×B=( ),3A×2B=( ),A×(B÷3)= ( ),(A÷4)×(B×2)=( )。 2. 精挑细选。 (1) 两数相乘,积是400,如果两个因数同时乘2,那么积是( )。 A. 800 B. 1600 C. 400 (2) 两个因数的积是260,一个因数乘10,另一个因数除以100,则积是( )。 A. 26 B. 260 C. 2600 (3) 已知 × =78000,要使积不变,则下面正确的是( )。 A. 和 同时除以10 B. 乘10, 除以10 C. 和 同时乘10 3. 解决问题。 (1) 玲玲在做一道整数乘法算式题时,把一个因数末尾的一个0丢了,得到的积 是26。正确的积应是多少? (2) 两个数相乘,一个因数扩大到原来的3倍,要使积扩大到原来的6倍,则另一 个因数应该怎样变化? (3) 小李家2024年前3个月缴纳了500元的电费。照这样计算,小李家2024年 大约一共要缴纳多少元的电费? 数学(冀教版)四年级 82 =9999×(7777+2222) =9999×9999 =(10000-1)×9999 =99990000-9999 =99980001 (2) 2023×12341234-20232023×1234 =2023×1234×10001-2023×10001×1234 =0 (3) 198198198198÷18018018018 =(198×1001001001)÷(18×1001001001) =198÷18 =11 (4) 设93+94=a,93+34+65=b,则b-a= 5。 原式=(1+a)×b-(1+b)×a=b+ a×b-a-b×a=b-a=5 2. 999…99 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个9 ×999…99 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个9 +1999…99 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个9 =999…99 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个9 ×(1000…00 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个0 -1)+1999…99 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个9 =999…99 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个9 ×1000…00 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个0 -999…99 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个9 + 1000…00 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个0 +999…99 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个9 =(999…99 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个9 +1)×1000…00 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个0 =1000…00 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个0 ×1000…00 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 2023个0 =1000…00 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 4046个0 有4046个连续的0 专题三 积的变化规律 [例题导引] 例1 解答:(1) 乘2 (2) 除以3 (3) 乘4 例2 解答:(1) 105 (2) 9 (3) 5 [提优训练] 1. 600 900 50 75 2. (1) B (2) A (3) B 3. (1) 26×10=260 (2) 6÷3=2 另一个因 数应该扩大到原来的2倍 (3) 12÷3×500= 2000(元) 专题四 行程问题 [例题导引] 例1 解答:2×12=24(千米) 24÷(48- 42)=4(时) (42+48)×4=360(千米) 例2 解答:65×4÷(75-65)=26(分) [提优训练] 1. (1) 4.5+4.5=9(千米) 9÷3=3(时) 8时+3时=11时 上午11时相遇 (2) (60+60-3)×3=351(千米) 2. (60+30+60)×5÷3=250(千米) 解析:两车第一次相遇时行驶了1个全程;甲、 乙两车相遇后继续前行,到达对方出发地并返 回再次相遇,行驶了2个全程,即一共行驶了 1+2=3(个)全程。根据“总路程=速度和× 时间”求出总路程,再用总路程除以3即可。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)四年级