专题十一 推理问题-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（冀教版）

数学是一门演绎的学问,从一组公设,经过逻辑的推理,获得结论。 采蜜角 43 专题十一 推理问题 解决数学题时,在由已知条件得出未知结论的过程中,除了计算外,更重要的一个方面是 推理。我们把主要依靠推理来解决的数学题称为推理问题。推理问题中的条件繁杂交错,解 题时必须根据事情的逻辑关系进行推理,仔细分析,寻找突破口,还可以借助于图表,步步深 入,使问题得以较快地解决。 类型一 用推理法解决正方体相对面上的 数字问题 例1 一个正方体的六个面上分别写着1、2、3、 4、5、6,根据下面的摆放情况,你能判断出相对 的两个面上分别是哪两个数字吗? 点拨:正方体相对的两个面上的数字不能同时 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 看到 􀪍􀪍 。每种摆放方式只能看到三个面上的数 字。第①种摆放方式,看到的数字是3、4、5; 第②种摆放方式,看到的数字是1、2、3。显 然,能同时看到的数字不是相对的两个面上的 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 数字 􀪍􀪍 ,当出现数字3时,看到的数字有1、2、4、 5,唯独看不到数字6,说明数字3和数字6是 相对的两个面上的数字,以此类推。 解答: 用推理法解决正方体相对面上的数字问题 解决这类问题时,可以通过对比推理得出,相 同数字重复出现了两次,一定会有一个数字始终 未出现,从而可以判定这两个数字是在相对面 上的。 类型二 用推理法解决表面积变化问题 例2 一个长方体的高减少6厘米,就变成了一 个正方体(如下图),正方体的表面积比原来长 方体的表面积减少了168平方厘米。原来长 方体的体积是多少立方厘米? 点拨:由原来长方体的高减少6厘米,就变成 一个正方体可知,原来长方体的上 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 、下面是正 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 方形 􀪍􀪍 ,即原来长方体的长和宽相等 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,前、后、左、 右4个面的面积相等,所以表面积减少的 168平方厘米相当于高是6厘米的长方体的􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 前 􀪍 、后 􀪍 、左 􀪍 、右4个相同面的面积之和􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。由此可 以求出原来长方体的长、宽、高,进而求出原来 长方体的体积。 解答: 用推理法解决表面积变化问题 解决这类问题时,可以借助图(表),观察减少 (增加)的面积是哪几个部分,从而推理出其特征, 并抓住特征,寻找突破口,使问题得以解决。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆44 1. 图图在一个小正方体的六个面上分别写上“数”“学”“真”“好”“玩”“啊”六个字,将这个小正方 体扔出三次,每次能看到的这个小正方体的三个面的情况分别如下图所示。请你分别写出哪 两个字是分别相对的。 2. 如图,将一个长方体平均截成3段,表面积增加了20平方米。原来长方体的体积是多少立 方米? 3. 如图,将四个小长方体拼成一个大长方体,表面积减少了96平方米。拼成的这个大长方体的 体积是多少立方米? 4. 一个长方体长40厘米,其横截面是正方形,如果将它的长增加5厘米,那么它的表面积就增加 80平方厘米。原来这个长方体的表面积是多少平方厘米? 数学(冀教版)五年级 84 [提优训练] 一、 1. 35 解析:根据题意,要先求出白布和花布的 单价,花布的单价为(58-43)÷(8-5)=5(元),白布 的单价为(58-5×8)÷6=3(元),据此求出李阿姨买 5米白布和4米花布共需的费用。 2. 24 26 二、 1. 大米:(550-400)÷(9-6)=50(千克) 面粉:(400-50×6)÷4=25(千克) 解析:根据题意,可知6袋大米的质量+4袋面粉的质 量=400千克,9袋大米的质量+4袋面粉的质量= 550千克,运用减法消去4袋面粉的质量,可知两次购 进的大米相差9-6=3(袋),质量相差550-400= 150(千克),据此求出大米每袋重多少千克,再根据数量 关系,求出面粉每袋重多少千克。 2. 茶叶:(420+130)÷(3+2)=110(元) 糖:(110× 2-130)÷5=18(元) 解析:根据题意,可得出两个 等量关系式:3千克茶叶的价钱+5千克糖的价钱= 420元,2千 克茶叶的价钱-5千克糖的价钱= 130元,运用加法消去5千克糖的价钱,可得(3+2)千 克茶叶的价钱是(420+130)元,据此求出茶叶每千克 多少元,再根据数量关系,求出糖每千克多少元。 3. 足球:(480×2-519)÷(5×2-3)=63(元) 篮球:(480-63×5)÷3=55(元) 4. 故事书:(620×6-420×5)÷(7×6-3×5)= 60(本) 科普书:(620-60×7)÷5=40(本) 60- 40=20(本) 解析:根据题意,列出下面两个等量关 系式:5包科普书+7包故事书=620本①,6包科普 书+3包故事书=420本②,可以发现科普书的包数 不同,故事书的包数也不同。可设法将科普书的包数 转化成相同的,用①×6得出 30包科普书+42包故 事书=3720本,用②×5得出30包科普书+15包故 事书=2100本,这样就可以用减法消去法求出每包故 事书的本数,再求出每包科普书的本数,即可得到每 包科普书比每包故事书少的本数。 专题十 行程问题 [例题导引] 例1 解答:19.52×2÷(84.8-72.6)=3.2(时) (84.8+72.6)×3.2=503.68(千米) 例2 解答:160÷(80-60)=8(分) 能 [提优训练] 一、 1. 420 2. 2 二、 1. 3时30分-2时=1时30分 1时30分= 1.5时 4.5×(1.5+2.5)=18(千米) (50-18)÷ 2.5=12.8(千米) 2. 120÷(80-60)=6(时) 解析:此题为追及问题中 最基础的类型,利用“追及时间=路程差÷速度差”解 题。路程差为120千米,速度差能够计算出来,直接 利用公式求解即可。 3. 55×6=330(米) 330-40=290(米) 290÷(65-55)=29(分) 解析:由题意可知,第一次 相距40米发生在追上之前,先求出乙先走的路程,再 求出追及过程的路程差,最后求出追及时间。 4. 6+10=16(分) 16÷8=2 8+6=14(分) 14×2=28(分) 解析:甲、乙第一次相遇到第二次相 遇用了6+10=16(分),即两人16分钟共步行了一 圈。因为从出发到两人第一次相遇用了8分钟,所以 两人共步行了半圈,即从点A 到点B 是半圈,甲从点 A 到点B 用了8+6=14(分),所以甲步行一圈需要 14×2=28(分)。 专题十一 推理问题 [例题导引] 例1 解答:1和5 2和4 3和6 例2 解答:168÷4÷6=7(厘米) 7×7×(7+6)= 637(立方厘米) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)五年级 85 [提优训练] 1. “好”和“学” “数”和“真” “玩”和“啊” 解析:根据第一次和第二次扔出的情况,可以确定 “好”和“学”是相对的,再根据第一次和第三次扔出的 情况中“好”字的位置,可以确定“数”和“真”是相对 的,最后可以确定“玩”和“啊”是相对的。 2. 20÷4×(2×3)=30(立方米) 3. 96÷6×(6×4)=384(立方米) 4. 80÷4÷5=4(厘米) 4×4×2+40×4×4= 672(平方厘米) 解析:由长方体的横截面是正方形 可知,长方体的宽和高相等。长方体的长增加5厘 米,就相当于拼接上了一个和原来长方体等宽、等高 的小长方体。新长方体的表面积比原来的长方体增 加了小长方体上、下、前、后4个相同面的面积,由此 可先求出小长方体的宽和高,即原来长方体的宽和 高,进而求出原来这个长方体的表面积。 “整合提优”综合检测 一、 1. 140 100 2. 4.8 9.6 3. 36.9 4. 350 5. 16 解析:一共有(6+5+5)个面露在外面,用每个 面的面积乘露在外面的面的个数,即可求出这些硬纸 箱露在外面的面积。 6. 135 7. 350 8. 24.6 4.8 9. 135 10. 0.7 解析:根据题意,可知相遇后乙车再行驶 0.4小时的路程才回到公园路站,即相遇之前甲车行 驶的路程为48×0.4=19.2(千米),据此可求出相遇 时间是19.2÷64=0.3(时),所以乙车绕该条环形公 路行驶一圈需要0.3+0.4=0.7(时)。 11. 68 解析:根据题意,可知黑子的枚数没有变化, 把黑子的枚数看作单位“1”,将黑子的枚数占棋子总 数的6 17 转化成白子的枚数是黑子枚数的17-6 6 ,同样 地,将取走14枚白子后,黑子的枚数占棋子总数的 4 9 ,也转化成白子的枚数是黑子枚数的9-4 4 。据此可 求出黑子的枚数,进而求出这堆棋子原来的总枚数。 二、 1. D 2. A 3. C 4. D 5. A 解析:根据题意,画出如下线段图: 从线段图上可以看出,如果向甲桶中倒入8千克食用 油,那么两桶食用油的质量相等,说明乙桶食用油比 甲桶食用油多8千克;如果向乙桶中倒入12千克食 用油,那么乙桶食用油比甲桶食用油多12+8=20(千 克),与20千克相对应的倍数差是5-1=4,据此可以 求出甲桶原来有多少千克食用油。 6. A 三、 1. 0.7 15 16 1 4 2 3 5 4 9 2 2. 1 2 2021 2021 2022 6 12 12 13 8 9 3. 表面积:(30×20+20×15+30×15)×2+10×8× 2=2860(cm2) 体积:30×20×15-10×10×8= 8200(cm3) 四、 1. 15÷ 18+ 1 2 =24(米) 2. 第二个书架:48×2÷(5-1)=24(本) 第一个书架:24×5=120(本) 3. 乙仓库:250× 1+15 ÷ 1-14 =400(吨) 甲仓库:250-400×14=150 (吨) 4. 65×12÷(125-65)=13(分) 65×(12+13)= 1625(米) 5. [12-(5-4)×2]÷(6-5)=10(人) 6×10=60(块) 6. 80×(2+1)=240(千米) 80×1÷2=40(千米/ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析