专题九 用消去法解题-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（冀教版）

莫道秋江离别难,舟船明日是长安。———[唐]王昌龄《重别李评事》 采蜜角 39 专题九 用消去法解题 一些实际问题中给出了两个或两个以上未知量之间的关系,要求出这些未知量,解决时可 以把题目中的条件按对应关系一一排列,分析对应未知量的变化情况。解决这类问题的关键 是用“加(减)法”消去一些未知量,使数量关系较复杂的题目变得比较简单。 类型一 “减法消去法”的实际应用 例1 学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯, 共用去145.5元;第二次又买了同样的3个水 瓶和16个茶杯,共用去127.5元。水瓶和茶 杯的单价各是多少元? 点拨:根据题意,可以列出两个等量关系式: 3个 水 瓶 的 价 钱 +20 个 茶 杯 的 价 钱 = 145.5元,3个水瓶的价钱+16个茶杯的价 钱=127.5元,经过对比可以发现,两次购买 的水瓶个数相同 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,茶杯的个数不同 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,茶杯相差 􀪍􀪍 (20-16)个􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,总价钱相差(145.5-127.5)元􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 , 说明这20-16=4(个)茶杯的价钱就是 145.5-127.5=18(元),据此可以得出茶杯的 单价,用145.5元减去20个茶杯的价钱,再除 以水瓶的数量,就可以得出水瓶的单价。 解答: “减法消去法”的应用 用“减法消去法”解题时,要先根据题意列出 等量关系式,通过观察对比,将等号左右两边同时 相减,消去一个未知量,从而先求出另一个未知 量,再通过数量关系求出消去的那个未知量。 类型二 “加法消去法”的实际应用 例2 买18张桌子和6把椅子共要1560元, 10张桌子的价钱比6把椅子的价钱多680元。 每张桌子多少元? 每把椅子多少元? 点拨:根据题意,可以列出两个等量关系式: 18张 桌 子 的 价 钱 +6 把 椅 子 的 价 钱 = 1560元,10张桌子的价钱-6把椅子的价 钱=680元,经过对比可以发现,只要把两个 关系式合并起来(即相加),就能消去一个未知 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 量 􀪍 ,得到18+10=28(张)桌子的价钱是􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 1560+680=2240(元)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,据此可以得出桌子的 单价;用10张桌子的价钱减去680元,再除以 椅子的数量,就可以得出椅子的单价。 解答: “加法消去法”的应用 用“加法消去法”解题时,要先根据题意列出 等量关系式,设法使其中一个未知量的数量相同, 将等号左右两边同时相加,消去一个未知量,从而 先求出另一个未知量,再通过数量关系求出消去 的那个未知量。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆40 一、 认真填空。 1. 陈阿姨买6米白布,8米花布,共用去58元;王阿姨买同样的6米白布,5米花布,共用去 43元;李阿姨准备买同样的5米白布,4米花布,需要( )元。 2. 1袋黄豆和1袋绿豆共重50千克,同样的1袋黄豆和7袋绿豆共重206千克,一袋黄豆重 ( )千克,一袋绿豆重( )千克。 二、 解决问题。 1. 食堂第一次购进6袋大米和4袋面粉,一共重400千克;第二次又购进9袋大米和4袋面粉, 一共重550千克。大米和面粉每袋各重多少千克? 2. 买3千克茶叶和5千克糖,一共用去420元,2千克茶叶的价钱比5千克糖的价钱多130元。 茶叶和糖每千克各多少元? 3. 小华第一次买3个篮球和5个足球共用去480元,第二次买同样的6个篮球和3个足球共用 去519元。篮球和足球的单价各是多少元? 4. 5包科普书和7包故事书共有620本,同样的6包科普书和3包故事书共有420本。每包科 普书比每包故事书少多少本? 数学(冀教版)五年级 83 2. 0.72÷3=0.24(千米) 乙每分钟行:0.24÷(1+ 3)=0.06(千米) 甲每分钟行:0.06×3=0.18(千 米) 甲比乙每分钟多行:0.18-0.06=0.12(千米) 3. 9.6÷2=4.8(米) 宽:4.8÷(1+2)=1.6(米) 长:1.6×2=3.2(米) 4. (11-5.6)÷(4-1)=1.8(千克) 解析:由题意可 知,两次连桶重的质量差对应的倍数差是4-1,再根 据“差÷倍数差=1倍量”即可求出原来桶里水的 质量。 5. (240-60)÷(3-1)=90(元) 90×3=270(元) 解析:由“甲用去240元,乙用去60元后,两人剩下的 钱一样多”可知,原来甲比乙多(240-60)元;再根据 甲的钱数是乙的3倍及“差÷(倍数-1)=1倍量”,可 以求出乙原有的钱数,再用乙原有的钱数乘3即可求 出甲原有的钱数。 专题八 盈亏问题 [例题导引] 例1 解答:(28+5×7)÷(5-4)=63(人) 63×4+28=280(个) 例2 解答: 16÷(6-4)=8(个) 8×6=48(本) [提优训练] 一、 1. 24 68 2. 48 二、 1. A 解析:由“如果每条船坐5人,那么可以少 租2条船”可知,每条船坐5人,那么还可以坐(5× 2)人,两次相差的人数是1+5×2,两次分配的差是(5- 4)人,由此可求得租了(1+5×2)÷(5-4)=11(条) 船,则一共有4×11+1=45(名)同学去划船。 2. B 解析:用一个“ ”表示1间宿舍,根据题意可画 出如下示意图。 第一种: ×4 ×4 … ×4 多26人 第二种: ×6 ×6 … ×6 正好安排完 对比以上两种分法,可以得知每间宿舍多住(6- 4)人,正好安排完,即将第一种分法多出的26人给每 间宿舍分(6-4)人,正好安排完。由此,可求出一共 有多少间女生宿舍。 三、 1. [2×(10-5)+6]÷(6-5)=16(天) (16-2)×5+10×2=90(道) 2. (200×5-750)÷(5+20)=10(个) 解析:1个没有损坏的玻璃花瓶运到目的地可得运费 5元,损坏1个玻璃花瓶,不仅得不到5元的运费,还 需赔20元,所以损坏1个玻璃花瓶,实际损失5+ 20=25(元)。如果200个玻璃花瓶都没有损坏,那么 可得运费200×5=1000(元),实际上只得了750元, 少了1000-750=250(元)。根据损坏1个花瓶损失 25元,可以求出损坏了多少个花瓶。 3. (1+1+1+1)×2-1=7(名) 7-(1+1)+7= 12(名) 解析:根据“如果减少1名女生,增加1名男 生,那么男生人数占总人数的一半”可知,原来女生比 男生多1+1=2(名),因此减少1名男生,增加1名女 生后,女生比男生多2+1+1=4(名),且男生人数为女 生人数的一半,即现在有女生4×2=8(名),所以原来 有8-1=7(名)女生,有7-2=5(名)男生。用原来的 男生人数加上原来的女生人数即可求出该校乒乓球队 共有的队员人数。 专题九 用消去法解题 [例题导引] 例1 解答:茶杯:(145.5-127.5)÷(20-16)= 4.5(元) 水瓶:(145.5-20×4.5)÷3=18.5(元) 例2 解答:桌子:(1560+680)÷(18+10)=80(元) 椅子:(10×80-680)÷6=20(元) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 84 [提优训练] 一、 1. 35 解析:根据题意,要先求出白布和花布的 单价,花布的单价为(58-43)÷(8-5)=5(元),白布 的单价为(58-5×8)÷6=3(元),据此求出李阿姨买 5米白布和4米花布共需的费用。 2. 24 26 二、 1. 大米:(550-400)÷(9-6)=50(千克) 面粉:(400-50×6)÷4=25(千克) 解析:根据题意,可知6袋大米的质量+4袋面粉的质 量=400千克,9袋大米的质量+4袋面粉的质量= 550千克,运用减法消去4袋面粉的质量,可知两次购 进的大米相差9-6=3(袋),质量相差550-400= 150(千克),据此求出大米每袋重多少千克,再根据数量 关系,求出面粉每袋重多少千克。 2. 茶叶:(420+130)÷(3+2)=110(元) 糖:(110× 2-130)÷5=18(元) 解析:根据题意,可得出两个 等量关系式:3千克茶叶的价钱+5千克糖的价钱= 420元,2千 克茶叶的价钱-5千克糖的价钱= 130元,运用加法消去5千克糖的价钱,可得(3+2)千 克茶叶的价钱是(420+130)元,据此求出茶叶每千克 多少元,再根据数量关系,求出糖每千克多少元。 3. 足球:(480×2-519)÷(5×2-3)=63(元) 篮球:(480-63×5)÷3=55(元) 4. 故事书:(620×6-420×5)÷(7×6-3×5)= 60(本) 科普书:(620-60×7)÷5=40(本) 60- 40=20(本) 解析:根据题意,列出下面两个等量关 系式:5包科普书+7包故事书=620本①,6包科普 书+3包故事书=420本②,可以发现科普书的包数 不同,故事书的包数也不同。可设法将科普书的包数 转化成相同的,用①×6得出 30包科普书+42包故 事书=3720本,用②×5得出30包科普书+15包故 事书=2100本,这样就可以用减法消去法求出每包故 事书的本数,再求出每包科普书的本数,即可得到每 包科普书比每包故事书少的本数。 专题十 行程问题 [例题导引] 例1 解答:19.52×2÷(84.8-72.6)=3.2(时) (84.8+72.6)×3.2=503.68(千米) 例2 解答:160÷(80-60)=8(分) 能 [提优训练] 一、 1. 420 2. 2 二、 1. 3时30分-2时=1时30分 1时30分= 1.5时 4.5×(1.5+2.5)=18(千米) (50-18)÷ 2.5=12.8(千米) 2. 120÷(80-60)=6(时) 解析:此题为追及问题中 最基础的类型,利用“追及时间=路程差÷速度差”解 题。路程差为120千米,速度差能够计算出来,直接 利用公式求解即可。 3. 55×6=330(米) 330-40=290(米) 290÷(65-55)=29(分) 解析:由题意可知,第一次 相距40米发生在追上之前,先求出乙先走的路程,再 求出追及过程的路程差,最后求出追及时间。 4. 6+10=16(分) 16÷8=2 8+6=14(分) 14×2=28(分) 解析:甲、乙第一次相遇到第二次相 遇用了6+10=16(分),即两人16分钟共步行了一 圈。因为从出发到两人第一次相遇用了8分钟,所以 两人共步行了半圈,即从点A 到点B 是半圈,甲从点 A 到点B 用了8+6=14(分),所以甲步行一圈需要 14×2=28(分)。 专题十一 推理问题 [例题导引] 例1 解答:1和5 2和4 3和6 例2 解答:168÷4÷6=7(厘米) 7×7×(7+6)= 637(立方厘米) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)五年级