专题七 倍数问题-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（冀教版）

玉玺不缘归日角,锦帆应是到天涯。———[唐]李商隐《隋宫》 采蜜角 35 专题七 倍数问题 倍数问题分为两种类型:“和倍”问题和“差倍”问题。“和倍(差倍)”问题的特点是利用大、 小两个数的和(差)与它们的倍数关系,求大、小两个数各是多少。解决“和倍(差倍)”问题的关 键是确定1倍量,然后寻找数量的和(差)与对应的倍数关系,从而求出1倍量。 类型一 画线段图解决“和倍”问题 例1 亮亮和萌萌共有零花钱84.4元,亮亮的 零花钱是萌萌的3倍,两人的零花钱各有多 少元? 点拨:根据题意,可画出如下线段图。 由图可知,把萌萌的零花钱看作1倍量,那么 亮亮的零花钱就是3倍量,两人的总零花钱数 就是(1+3)倍量􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。把84.4元平均分成4份, 1份􀪍􀪍 是萌萌 􀪍􀪍 的零花钱,3份􀪍􀪍 就是亮亮 􀪍􀪍 的零花钱。 解答: 画线段图法在解决“和倍”问题中的应用 解决“和倍”问题时,可以先根据题意用较短 线段表示1倍量,再画出较长线段表示几倍量。 通过线段图确定两个量的和及对应两个量的倍数 和,由此先求出1倍量,再求出几倍量,基本关系 是和÷(倍数+1)=1倍量。 类型二 用对应法解决“差倍”问题 例2 某建材市场有两个仓库,第一个仓库中的 水泥比第二个仓库中的黄沙多36.8吨,第一 个仓库中的水泥比第二个仓库中的黄沙的 3倍还多6.8吨。第一个仓库中的水泥和第 二个仓库中的黄沙各有多少吨? 点拨:根据“第一个仓库中的水泥比第二个仓库 中的黄沙的3倍还多6.8吨”可知,两个数量 之间不是整数倍 􀪍􀪍􀪍 ,需要将数量差 􀪍􀪍􀪍 转化成与3倍 对应的数量。如果将第一个仓库中的水泥去 掉6.8吨,那么第一个仓库中水泥的吨数正好 是第二个仓库中黄沙吨数的3倍􀪍􀪍 。再根据“数 量差÷倍数差=1倍量”,求出第二个仓库中􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 黄沙的吨数 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,最后求出第一个仓库中水泥的 吨数。 解答: 对应法在解决“差倍”问题中的应用 解决“差倍”问题时,要先求出与两个数的差 对应的倍数差。当题中出现三个数量时,一般要 把题中的有关数量转化为与标准量之间的倍数关 系,然后根据“数量差÷倍数差=1倍量”,进而求 出1倍量。基本关系是差÷(倍数-1)=1倍量。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆36 1. 被除数与除数的和是44.8,商是7,没有余数,被除数和除数各是多少? 2. 甲、乙两人3分钟共行了0.72千米,已知甲的速度是乙的3倍,甲比乙每分钟多行多少千米? 3. 一块长方形黑板的周长是9.6米,长是宽的2倍,这块长方形黑板的长和宽各是多少米? 4. 一个桶里装有水,连桶重5.6千克,把水加到原来的4倍(未溢出),此时连桶重11千克。原来 桶里有多少千克水? 5. 甲、乙两人去书店买书,甲带的钱是乙的3倍,甲用去240元,乙用去60元后,两人剩下的钱一 样多。甲原有多少钱? 数学(冀教版)五年级 82 7. 420× 11+20÷ 1 1+25-420=100 (克) 解析:由题意可知,原来盐的质量占盐水的 1 1+20 ,现 在盐的质量占盐水的 1 1+25 ,在盐水兑淡的过程中,盐 的质量不变。先根据原来盐水重420克,求出盐的质 量,再求出现在盐水的质量,最后用现在盐水的质量 减去原来盐水的质量就是需加的水的质量。 8. 1- 11+2- 2 2+7= 4 9 24÷ 4 9=54 (个) 解析:由“第1只猴子摘的个数是其余两只猴子摘的 总个数的1 2 ”可知,第1只猴子摘的个数占3只猴子 摘的总个数的 1 1+2 ;同理可知,第2只猴子摘的个数 占3只猴子摘的总个数的 22+7 。由此,可得第3只猴 子摘的个数占3只猴子摘的总个数的几分之几,再根 据对应关系进行解答即可。 专题六 稍复杂的分数混合运算实际问题(2) [例题导引] 例1 解答:120÷ 1+14 -1-38 =192(箱) 192× 1+14 =240(箱) 例2 解答:600×25÷ 3 4=320 (千克) [提优训练] 一、 1. (1) 杨树的棵数 (2) 1-27 (3) 1+58 2. 36 28 3. 360 4. 150 二、 1. 36×23× 5 8=15 (人) 2. 240÷37+240=800 (只) 三、 1. 840×56÷ 5 4=560 (本) 2. 360÷34÷ 4 9=1080 (个) 3. 140×47÷ 2 5=200 (千米) 解析:由“当轿车行驶 完全程时,货车刚好行驶了全程的4 7 ”可知,货车的速 度是轿车的4 7 ,则当轿车行驶了140千米时,货车行 驶了 140×47 千米,且货车行驶的这段路程正好占 全程的2 5 ,据此解答即可。 4. 1-13= 2 3 900-450=450 (克) 450÷34÷ 2 3= 900(克) 5. 24+6×2=36(千克) 1-58= 3 8 36÷ 3 8= 96(千克) 乙桶油:96-6=90(千克) 甲桶油:90- 24=66(千克) 解析:根据题意,可以画出如下线 段图。 从图中可以看出,现在甲桶油的质量比乙桶油少24+6× 2=36(千克),少的36千克占现在乙桶油的 1-58 , 由此可先求出乙桶油现在的质量,再减去6千克,求 出乙桶油原来的质量,最后求出甲桶油原来的质量。 专题七 倍数问题 [例题导引] 例1 解答:萌萌:84.4÷(1+3)=21.1(元) 亮亮:21.1×3=63.3(元) 例2 解答:黄沙:(36.8-6.8)÷(3-1)=15(吨) 水泥:15+36.8=51.8(吨) [提优训练] 1. 除数:44.8÷(1+7)=5.6 被除数:5.6×7=39.2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)五年级 83 2. 0.72÷3=0.24(千米) 乙每分钟行:0.24÷(1+ 3)=0.06(千米) 甲每分钟行:0.06×3=0.18(千 米) 甲比乙每分钟多行:0.18-0.06=0.12(千米) 3. 9.6÷2=4.8(米) 宽:4.8÷(1+2)=1.6(米) 长:1.6×2=3.2(米) 4. (11-5.6)÷(4-1)=1.8(千克) 解析:由题意可 知,两次连桶重的质量差对应的倍数差是4-1,再根 据“差÷倍数差=1倍量”即可求出原来桶里水的 质量。 5. (240-60)÷(3-1)=90(元) 90×3=270(元) 解析:由“甲用去240元,乙用去60元后,两人剩下的 钱一样多”可知,原来甲比乙多(240-60)元;再根据 甲的钱数是乙的3倍及“差÷(倍数-1)=1倍量”,可 以求出乙原有的钱数,再用乙原有的钱数乘3即可求 出甲原有的钱数。 专题八 盈亏问题 [例题导引] 例1 解答:(28+5×7)÷(5-4)=63(人) 63×4+28=280(个) 例2 解答: 16÷(6-4)=8(个) 8×6=48(本) [提优训练] 一、 1. 24 68 2. 48 二、 1. A 解析:由“如果每条船坐5人,那么可以少 租2条船”可知,每条船坐5人,那么还可以坐(5× 2)人,两次相差的人数是1+5×2,两次分配的差是(5- 4)人,由此可求得租了(1+5×2)÷(5-4)=11(条) 船,则一共有4×11+1=45(名)同学去划船。 2. B 解析:用一个“ ”表示1间宿舍,根据题意可画 出如下示意图。 第一种: ×4 ×4 … ×4 多26人 第二种: ×6 ×6 … ×6 正好安排完 对比以上两种分法,可以得知每间宿舍多住(6- 4)人,正好安排完,即将第一种分法多出的26人给每 间宿舍分(6-4)人,正好安排完。由此,可求出一共 有多少间女生宿舍。 三、 1. [2×(10-5)+6]÷(6-5)=16(天) (16-2)×5+10×2=90(道) 2. (200×5-750)÷(5+20)=10(个) 解析:1个没有损坏的玻璃花瓶运到目的地可得运费 5元,损坏1个玻璃花瓶,不仅得不到5元的运费,还 需赔20元,所以损坏1个玻璃花瓶,实际损失5+ 20=25(元)。如果200个玻璃花瓶都没有损坏,那么 可得运费200×5=1000(元),实际上只得了750元, 少了1000-750=250(元)。根据损坏1个花瓶损失 25元,可以求出损坏了多少个花瓶。 3. (1+1+1+1)×2-1=7(名) 7-(1+1)+7= 12(名) 解析:根据“如果减少1名女生,增加1名男 生,那么男生人数占总人数的一半”可知,原来女生比 男生多1+1=2(名),因此减少1名男生,增加1名女 生后,女生比男生多2+1+1=4(名),且男生人数为女 生人数的一半,即现在有女生4×2=8(名),所以原来 有8-1=7(名)女生,有7-2=5(名)男生。用原来的 男生人数加上原来的女生人数即可求出该校乒乓球队 共有的队员人数。 专题九 用消去法解题 [例题导引] 例1 解答:茶杯:(145.5-127.5)÷(20-16)= 4.5(元) 水瓶:(145.5-20×4.5)÷3=18.5(元) 例2 解答:桌子:(1560+680)÷(18+10)=80(元) 椅子:(10×80-680)÷6=20(元) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析