专题二 求不规则物体的表面积或体积-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（冀教版）

城阙辅三秦,风烟望五津。———[唐]王勃《送杜少府之任蜀州》 采蜜角 23 专题二 求不规则物体的表面积或体积 我们有时会遇到这样的问题:(1) 从一个大长方体(大正方体)中挖去一个小长方体(小正 方体),求剩下部分的表面积;(2) 计算不规则物体的体积。解决这些问题的关键是要理解长 方体和正方体的特征,并正确运用表面积和体积的计算公式,联系生活实际正确解答。 类型一 求被挖洞后立体图形的表面积 例1 从一个棱长为6厘米的大正方体中挖去 一个棱长为2厘米的小正方体,剩下部分的表 面积是多少平方厘米? 点拨:有3种情况:(1) 如图①,从大正方体的 一个顶点处挖去一个小正方体,和原来相比, 表面积没有变化 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ;(2) 如图②,从大正方体的 一条棱上挖去一个小正方体,和原来相比,表 面积多了2个边长为2厘米的正方形的面积􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ; (3) 如图③,从大正方体的一个面上的中心位 置挖去一个小正方体,和原来相比,表面积多 􀪍 了4个边长为2厘米的正方形的面积􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 解答: 求被挖洞后立体图形的表面积的方法 从一个大立体图形中挖去一个小立体图形, 首先需考虑是怎样挖的,有几种情况,再确定剩下 部分的表面积的组成,可以借助图形进行观察和 比较。 类型二 求不规则立体图形的体积 例2 求下面立体图形的体积。 点拨:我们可以把这个不规则图形分割成一个 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 棱长是2厘米的小正方体和一个长是6厘米􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 、 宽和高均是2厘米的长方体􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,或者给这个不规 则图形补上一个长是4厘米􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 、宽和高均是2厘􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 米的小长方体 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,使其变成一个长是6厘米􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 、宽 􀪍 是2厘米􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 、高是4厘米的长方体􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 解答: 运用割补法求不规则立体图形的体积 通过分割法或者添补法,把不规则的立体图 形转化成规则的立体图形,再利用长方体或正方 体的体积公式,求出体积即可。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆24 一、 认真填空。 1. 在一个长、宽、高分别是8厘米、5厘米和4厘米的长方体的8个顶点处,分别挖去一个棱长为 1厘米的小正方体后,剩下部分的表面积是( )平方厘米。 2. 如右图,每个小正方体的棱长都是4厘米,从最上层任意拿走一个小正方 体,剩下部分的表面积最大是( )平方厘米。 二、 精挑细选。 1. 如图所示的两个立体图形都被切去了一个相同的小正方体,下面的说法中正确的是( )。 A. 它们的表面积、体积都相等 B. 它们的表面积、体积都不相等 C. 它们的表面积不相等,体积相等 D. 它们的表面积相等,体积不相等 2. 如图所示为一个零件,根据图中给出的数据,可知这个零件的体积是( )立方厘米。(单 位:厘米) A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 三、 求下面立体图形的体积和表面积。(单位:厘米) 四、 解决问题。 如图,在一个棱长为5分米的正方体上面正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞,接着在 小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。挖洞后的立体图形的表面积是多 少平方分米? 数学(冀教版)五年级 80 2 整合提优(五年级全学年) 专题一 立体图形的捆扎与包装问题 [例题导引] 例1 解答:50×2+30×2+10×4+12=212(厘米) 例2 解答:8×1=8(分米) 8×1×4+1×1×2= 34(平方分米) 4×1=4(分米) 2×1=2(分米) (4×2+4×1+1×2)×2=28(平方分米) 2×1= 2(分米) 2×2×6=24(平方分米) 24<28<34 表面积最小是24平方分米,最大是34平方分米 [提优训练] 一、 1. 54 38.5 2. 144 二、 1. 5×2+3×4+3×6+2=42(分米) 2. 4.5×3=13.5(厘米) (15×10.5+15×13.5+ 10.5×13.5)×2=1003.5(平方厘米) 3. 按如图所示的方式包装(单位:厘米),需要的包装 纸最少 5×2=10(厘米) 2×5=10(厘米) (9× 10+9×10+10×10)×2=560(平方厘米) 专题二 求不规则物体的表面积或体积 [例题导引] 例1 解答:有3种情况:① 6×6×6=216(平方厘 米) ② 6×6×6+2×2×2=224(平方厘米) ③ 6×6×6+2×2×4=232(平方厘米) 例2 解答:方法一:2×2×2+6×2×2=32(立方厘 米) 方法二:6×2×4-4×2×2=32(立方厘米) [提优训练] 一、 1. 184 2. 1120 二、 1. C 2. B 解析:可以用分割法。如图(单位:厘米),将这 个零件分割成三个小长方体。只要确定每个小长方 体的长、宽、高,就能求出每个小长方体的体积,进而 可知这个零件的体积。 三、 体积:3×3×3-1×1×3=24(立方厘米) 表面积:3×3×6-1×1×2+1×3×4=64(平方厘米) 四、 5×5×6+2×2×4+1×1×4=170(平方分米) 解析:将挖洞后棱长为1分米的正方体小洞的底面与 棱长为2分米的正方体小洞的底面都向上平移至棱 长为5分米的正方体的上面,这样挖洞后的立体图形 的表面积=棱长为5分米的正方体的表面积+棱长 为2分米的正方体的4个侧面积之和+棱长为1分米 的正方体的4个侧面积之和。 专题三 用小正方体搭立体图形的问题 [例题导引] 例1 解答:1×1=1(平方厘米) (3×1+2×1+ 2×1)×2=14(平方厘米) 例2 解答:1×1×1×4=4(立方厘米) [提优训练] 一、 1. ② ③ 2. 42 14 3. 90 解析:由题图可知,每个立体图形从上、下、左、 右、前、后六个方向看到的小正方形的个数都是一样 的。搭到第5层时,从每个方向看到的小正方形的个 数都是1+2+3+4+5=15,即每个面的面积都是 1×1×15=15(平方厘米),则表面积是15×6=90(平 方厘米)。 二、 1. 1×5=5(立方厘米) 2. 表面积:2×2=4(平方厘米) (1+3+5)×4= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)五年级