专题01 三角形的边和角的八类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题01 三角形的边和角的八类综合题型 典例详解 类型一、构成三角形三边的条件 类型二、三角形三边关系的应用 类型三、根据三角形高、角平分线求角度问题 类型四、利用三角形的高计算面积 类型五、利用三角形的中线求边长 类型六、利用三角形的中线求面积 类型七、三角形折叠场景计算角度问题 类型八、三角形外角相关角度计算问题 压轴训练 类型一、构成三角形三边的条件 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 用符号表示：设三角形三边为a、b、c（假设a ≥ b ≥ c），则：b + c > a（两边之和大于第三边，由于a是最长边，只需满足这一条件即可保证另外两组 “两边之和大于第三边”，即a + b > c、a + c > b一定成立）； a - b < c（两边之差小于第三边，同样因a最长，a - c < b、b - c < a也一定成立）。 例1．下列所给线段，能够构成三角形的是(   ) A． B． C． D． 变式1-1．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1-3．如图，的三边长均为整数，且周长为，是边上的中线，的周长比的周长大2，则长的可能值有（    ）个． A． B． C． D． 变式1-4．如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（    ）    A．14 B．15 C．16 D．28 变式1-5．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 类型二、三角形三边关系的应用 三角形三边关系的应用主要是以下几点： 1. 判断三条线段能否构成三角形 •步骤： ① 排序：将三条线段长度按从小到大排序，设为a≤ b≤ c； ② 验证核心不等式：仅需判断a + b > c是否成立。若成立，则能构成三角形；否则不能。 2. 已知两边长，求第三边的取值范围 •步骤： ① 设已知两边为a、b（a \leq b），第三边为c； ② 列不等式：根据 “两边之差 < 第三边 < 两边之和”，得b - a < c < a + b； ③ 结合题目附加条件（如 “第三边为整数”“偶数” 等），进一步缩小范围。 3. 等腰三角形中边长的确定（分类讨论） •步骤： ① 明确 “腰” 和 “底边” 的不确定性，分两种情况讨论： ◦情况 1：已知边为腰长，则底边长 = 周长 - 2× 腰长； ◦情况 2：已知边为底边长，则腰长 =（周长 - 底边长）÷ 2； ② 对每种情况，用三边关系验证：确保 “两腰之和> 底边” 且 “腰长 > 0”“底边长 > 0”； ③ 排除无效情况（不满足三边关系的解），保留合理结果。 4. 与绝对值、代数式化简结合 •步骤： ① 分析代数式中含有的三边关系表达式（如a + b - c、a - b - c等）； ② 用三边关系判断表达式的正负： ◦若a + b - c > 0（因两边之和大于第三边），则|a + b - c| = a + b - c； ◦若a - b - c = a - (b + c) < 0（因两边之和大于第三边），则|a - b - c| = b + c - a； ③ 代入化简代数式。 5. 与周长、最值相关的问题 •步骤： ① 设第三边为c，根据已知两边a、b，确定c的范围：b - a < c < a + b； ② 周长L = a + b + c，结合c的范围，得周长的取值范围：(a + b) + (b - a) < L < (a + b) + (a + b)，即2b < L < 2(a + b)； ③ 若求 “周长最小值 / 最大值”，结合c的附加条件（如整数、偶数），在范围内取c的最小 / 最大值，代入计算。 例2．从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是 ． 变式2-1．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． ∵， 变式2-2．已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 变式2-3．已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 类型三、根据三角形高、角平分线求角度问题 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 例3．如图，已知中，，O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，…，平分，平分，…，以此类推，则 °， °． 变式3-1．如图，于点，于点，点在线段上，且．、分别平分和，则的度数是 ． 变式3-2．如图，在中，是高，是角平分线，且． (1)若，，求，的度数； (2)若，直接写出此时的度数． 变式3-3．如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请说明； (2)若，求的度数． 变式3-4．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 类型四、利用三角形的高计算面积 三角形高与面积的计算，主要是以下几种形式： 已知三角形的底和对应的高，计算三角形面积 已知三角形的面积和底，求对应的高 已知三角形的面积和高，求对应的底 例4．如图，的面积为，点分别位于上．且．若，则的面积是 ；的面积是 ． 变式4-1．如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 变式4-2．如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 变式4-3．如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，． (1)设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 类型五、利用三角形的中线求边长 例5．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 变式5-1．如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 变式5-2．如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 变式5-3．如图，在中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，的面积为24． (1)求的长． (2)若，求与的周长差． 类型六、利用三角形的中线求面积 利用三角形中线计算面积，主要是以下的思路： 明确中线的分割作用 首先识别图形中的中线：若线段是三角形一边的中点与对角顶点的连线，则该线段为中线，且它将原三角形分成两个等底同高的小三角形（底相等，高相同），因此这两个小三角形面积相等，且各为原三角形面积的一半。 分步推导多层分割的面积关系 若存在多条中线（或中线被进一步分割），需逐层分析面积比例： 先看第一条中线分割后的面积（如分成 2 等份）； 再看第二条中线对已分割部分的再次分割（如将其中一份再分成 2 等份，即原面积的 1/4）； 最终通过叠加或比例相乘，得到目标区域与原三角形的面积关系。 逆向计算：由部分面积求整体面积 若已知某小三角形的面积（由中线分割形成），可根据 “分割比例” 反推原三角形面积： 若小三角形面积是原三角形的 1/2，则原面积 = 小面积 × 2； 若小三角形面积是原三角形的 1/4，则原面积 = 小面积 × 4，以此类推。 例6．如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（    ） A．3 B．2 C． D．4 变式6-1．如图，三边的中线、、的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是 ． 变式6-2．如图是一块三角形纸板，点、、分别是线段、、的中点若阴影部分的面积为3，则的面积为 ． 变式6-3．如图，的面积为1，第一次操作：分别延长至点，使 ，顺次连接，得到；第二次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到……按此规律，第次操作后，得到，若要使的面积超过2025，则至少需要操作 次． 变式6-4．如图，在中 ，是的中线，E 是上的一点，连接交于点F，若，记的面积为，四边形的面积为，则 的值为 ． 类型七、三角形折叠场景计算角度问题 折叠的核心性质（解题基础） 对应角相等：折叠后，重叠的两个角大小相等（如折叠∠A 到∠A'，则∠A=∠A'）。 对应边相等：折叠后，重叠的两条边长度相等（如折叠边 AB 到 AB'，则 AB=AB'）。 折痕的对称性：折痕是对应点连线的垂直平分线（如点 A 与折叠后落点 A' 的连线 AA' 被折痕垂直平分）。 例7．如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 变式7-1．如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 变式7-2．如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 变式7-3．如图，在中，点D、点E分别是边、上的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 °． 变式7-4．把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 变式7-5．如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 类型八、三角形外角相关角度计算问题 外角角度相关解题步骤（通用思路） 识别外角与内角的关系： 明确哪个角是外角（外角是三角形一边延长线与另一边组成的角，与相邻内角互补，即和为 180°），找到它不相邻的两个内角。 利用性质建立等式： 根据 “外角 = 不相邻两内角之和”，或 “外角与相邻内角互补”，将已知角度与未知角度关联。 结合其他条件推导： 若涉及角平分线（分角为相等两部分）、平行线（同位角 / 内错角相等）、等腰三角形（底角相等）等，需综合这些性质进一步列等式。 计算未知角度： 通过解方程或逐步推导，求出目标角度。 例8．如图，已知，E是直线上方一点，G为直线下方一点，F为直线上一点，，，，则和的数量关系为 ． 变式8-1．如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则 ． 变式8-2．如图所示，中，，分别是的平分线，则的度数为 ． 变式8-3．综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 1．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知，点C，D在直线上，且，平分，，垂足为H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 4．如图，在中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为 ． 5．如图，三角形的面积为1，D，E为的三等分点，F，G为的三等分点，那么四边形的面积是 ． 6．如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 7．【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 8．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线为的“美丽线”． （1）如图2，在中，，，请利用直尺和量角器在图2中画出的“美丽线”（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）； （2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系．下面是对这个问题的部分探究过程： 设为的“美丽线”，点D在边上，则与中各有两个相等的内角． 【探究1】 如图3，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以在中，．由此可以得到与的关系为________，其中的取值范围为________． 【探究2】 借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系． 9．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”． 解决问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图③，平分，平分，若，则______． 10．已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 11．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的边和角的八类综合题型 典例详解 类型一、构成三角形三边的条件 类型二、三角形三边关系的应用 类型三、根据三角形高、角平分线求角度问题 类型四、利用三角形的高计算面积 类型五、利用三角形的中线求边长 类型六、利用三角形的中线求面积 类型七、三角形折叠场景计算角度问题 类型八、三角形外角相关角度计算问题 压轴训练 类型一、构成三角形三边的条件 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 用符号表示：设三角形三边为a、b、c（假设a ≥ b ≥ c），则：b + c > a（两边之和大于第三边，由于a是最长边，只需满足这一条件即可保证另外两组 “两边之和大于第三边”，即a + b > c、a + c > b一定成立）； a - b < c（两边之差小于第三边，同样因a最长，a - c < b、b - c < a也一定成立）。 例1．下列所给线段，能够构成三角形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、，能够组成三角形； B、，不能够组成三角形； C、，不能组成三角形； D、，不能够组成三角形． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 变式1-1．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故选：C． 变式1-2．有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可． 【详解】解：若选取长度分别是4cm、5cm、8cm的小棒，，故能围成三角形； 若选取长度分别是4cm、5cm、9cm的小棒，，故不能围成三角形； 若选取长度分别是5cm、8cm、9cm的小棒，，故能围成三角形； 若选取长度分别是4cm、8cm、9cm的小棒，，故能围成三角形． 综上所述，可以围成3种不同形状的三角形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了构成三角形的条件，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键． 变式1-3．如图，的三边长均为整数，且周长为，是边上的中线，的周长比的周长大2，则长的可能值有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据的周长为22，的周长比的周长大2，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到，6，8，10． 【详解】解：的周长为22，的周长比的周长大2， ， 解得， 又的三边长均为整数，的周长比的周长大2， 为整数， 边长为偶数， ，6，8，10， 即的长可能值有4个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题的关键是掌握：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 变式1-4．如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（    ）    A．14 B．15 C．16 D．28 【答案】A 【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论. 【详解】解：如图所示，在△ABP中，AP+ BP> AB， 同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC， 以上三式左右两边分别相加得到: 2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC, 即PA+ PB+ PC>(AB+ BC+ AC)， ∴PA+ PB+ PC>×（12+10+6）=14， 即PA+ PB+ PC>14 故选A. 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论; 变式1-5．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解： 段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 类型二、三角形三边关系的应用 三角形三边关系的应用主要是以下几点： 1. 判断三条线段能否构成三角形 •步骤： ① 排序：将三条线段长度按从小到大排序，设为a≤ b≤ c； ② 验证核心不等式：仅需判断a + b > c是否成立。若成立，则能构成三角形；否则不能。 2. 已知两边长，求第三边的取值范围 •步骤： ① 设已知两边为a、b（a \leq b），第三边为c； ② 列不等式：根据 “两边之差 < 第三边 < 两边之和”，得b - a < c < a + b； ③ 结合题目附加条件（如 “第三边为整数”“偶数” 等），进一步缩小范围。 3. 等腰三角形中边长的确定（分类讨论） •步骤： ① 明确 “腰” 和 “底边” 的不确定性，分两种情况讨论： ◦情况 1：已知边为腰长，则底边长 = 周长 - 2× 腰长； ◦情况 2：已知边为底边长，则腰长 =（周长 - 底边长）÷ 2； ② 对每种情况，用三边关系验证：确保 “两腰之和> 底边” 且 “腰长 > 0”“底边长 > 0”； ③ 排除无效情况（不满足三边关系的解），保留合理结果。 4. 与绝对值、代数式化简结合 •步骤： ① 分析代数式中含有的三边关系表达式（如a + b - c、a - b - c等）； ② 用三边关系判断表达式的正负： ◦若a + b - c > 0（因两边之和大于第三边），则|a + b - c| = a + b - c； ◦若a - b - c = a - (b + c) < 0（因两边之和大于第三边），则|a - b - c| = b + c - a； ③ 代入化简代数式。 5. 与周长、最值相关的问题 •步骤： ① 设第三边为c，根据已知两边a、b，确定c的范围：b - a < c < a + b； ② 周长L = a + b + c，结合c的范围，得周长的取值范围：(a + b) + (b - a) < L < (a + b) + (a + b)，即2b < L < 2(a + b)； ③ 若求 “周长最小值 / 最大值”，结合c的附加条件（如整数、偶数），在范围内取c的最小 / 最大值，代入计算。 例2．从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2025个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是， 故答案为：17． 变式2-1．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 变式2-2．已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为1，4，a． 所以． 解得． ∴，，， ∴ ． 变式2-3．已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解： 的三边长是，， ，， ， 的周长是小于的偶数， ，即， ； （2）解：的三边三边长是a，b，c， ， 原式 ． 类型三、根据三角形高、角平分线求角度问题 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 例3．如图，已知中，，O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，…，平分，平分，…，以此类推，则 °， °． 【答案】 110 【分析】先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，， ， ， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， 则， 故答案为：110，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 变式3-1．如图，于点，于点，点在线段上，且．、分别平分和，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用及角平分线的定义，熟知相关知识点，正确添加辅助线是正确解答此题的关键． 过点作，根据平行公理的推论证明，根据平行线的性质证明，，根据于点，于点，点在线段上，推出，即可求解． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、分别平分和， ，， ， ， ，， ． 变式3-2．如图，在中，是高，是角平分线，且． (1)若，，求，的度数； (2)若，直接写出此时的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形高线、角平分线的定义． （1）先根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，再根据三角形外角的性质求出，然后可得的度数； （2）先根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，再表示出，然后可得的度数． 【详解】（1）解：， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ． 变式3-3．如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线和高线的定义，三角形的内角和定理； （1）根据角平分线得到，根据高线得到，然后等量代换解题即可； （2）先得到，然后根据，求出的度数，利用三角形的外角解答即可． 【详解】（1）证明：∵是角平分线， ∴， 又∵是的高线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 变式3-4．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 类型四、利用三角形的高计算面积 三角形高与面积的计算，主要是以下几种形式： 已知三角形的底和对应的高，计算三角形面积 已知三角形的面积和底，求对应的高 已知三角形的面积和高，求对应的底 例4．如图，的面积为，点分别位于上．且．若，则的面积是 ；的面积是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查同高三角形，平行线间的距离，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，，再根据平行等积转化，得到，，进行求解即可． 【详解】解：连接， 则：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理：； 故答案为：8，． 变式4-1．如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形面积的计算，垂线段最短，理解题意，得出当时，取得最小值即是解题关键． 过点A作，过点D作，根据题意得出，确定，得出，确定当时，取得最小值即，结合图形求解面积的最小值即可． 【详解】解：过点A作，过点D作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴当取得最小时，面积最小， ∵D为顶点，E为动点， 当时，取得最小值即， ∴， ∴， ∴， ∴面积最小为， 故答案为：． 变式4-2．如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式4-3．如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，． (1)设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． （1）根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可； （2）连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积表示出来，列关于、的等式，从而求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ． （2）如图，连接． 设，则， 点是的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 类型五、利用三角形的中线求边长 例5．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 变式5-1．如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的周长，根据中线的定义可得，再根据三角形的周长即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长 的周长， 故答案为：． 变式5-2．如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 【答案】(1)， (2) (3)的周长为30 【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义求出的长度即可； （2）根据题意得出，确定， （3）利用三角形的周长公式计算周长即可． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长2， ∴， 由（1）得， ∴， （3）解： 由（1）（2）得，，， ∴的周长为：． 变式5-3．如图，在中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，的面积为24． (1)求的长． (2)若，求与的周长差． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形的高和中线等知识． （1）根据三角形的面积求出，根据三角形中线即可求出的长； （2）根据三角形中线得到，的周长，的周长，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，的面积为24．交于点， ∴， 解得， ∵是边上的中线， ∴ （2）∵为的中点， ∴ ∵的周长，的周长， ∴与的周长差． 类型六、利用三角形的中线求面积 利用三角形中线计算面积，主要是以下的思路： 明确中线的分割作用 首先识别图形中的中线：若线段是三角形一边的中点与对角顶点的连线，则该线段为中线，且它将原三角形分成两个等底同高的小三角形（底相等，高相同），因此这两个小三角形面积相等，且各为原三角形面积的一半。 分步推导多层分割的面积关系 若存在多条中线（或中线被进一步分割），需逐层分析面积比例： 先看第一条中线分割后的面积（如分成 2 等份）； 再看第二条中线对已分割部分的再次分割（如将其中一份再分成 2 等份，即原面积的 1/4）； 最终通过叠加或比例相乘，得到目标区域与原三角形的面积关系。 逆向计算：由部分面积求整体面积 若已知某小三角形的面积（由中线分割形成），可根据 “分割比例” 反推原三角形面积： 若小三角形面积是原三角形的 1/2，则原面积 = 小面积 × 2； 若小三角形面积是原三角形的 1/4，则原面积 = 小面积 × 4，以此类推。 例6．如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形的中线等知识点，能灵活运用三角形的中线以及等分线求面积成为解题的关键． 由、、可以求出的面积和的面积，再结合图形可得即可解答． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ∵， ∴，， ， ． 故选：D． 变式6-1．如图，三边的中线、、的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题考查三角形中线的性质，重心的性质．要求图中阴影部分的面积，可以先求出两部分阴影的面积，即和的面积，再求和； 由题意可知点G是的重心，由三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得； 利用三角形重心的性质可得、，代入已知条件即可求出和的面积． 【详解】解： 是的中线， ， 三边的中线、、的公共点为， 点G是的重心， ，， 图中阴影部分的面积， 故答案为：9． 变式6-2．如图是一块三角形纸板，点、、分别是线段、、的中点若阴影部分的面积为3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，连接，由三角形中线平分三角形面积得到，，进而得到，再求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的中点， ∴，， ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 变式6-3．如图，的面积为1，第一次操作：分别延长至点，使 ，顺次连接，得到；第二次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到……按此规律，第次操作后，得到，若要使的面积超过2025，则至少需要操作 次． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中线的性质，找到规律是解题的关键． 连接，根据三角形中线的性质得出与的面积相等，根据，得出的面积等于的面积的2倍，等于2，同理可得的面积为2， 的面积为2，得出第一次操作后的的面积为，根据规律得出第四次操作后的面积为，结合题意即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，面积为1， 与的面积相等，等于1， ， 的面积等于的面积的2倍，等于2， 同理可得， 的面积为2， 的面积为2， 的面积等于； 同理可证，第二次操作后的面积为的面积的7倍，等于； 第三次操作后的面积为的面积的7倍，等于； 第四次操作后的面积为的面积的7倍，等于； 故按此规律，要使三角形的面积超过2025，至少操作4次． 故答案为：4 变式6-4．如图，在中 ，是的中线，E 是上的一点，连接交于点F，若，记的面积为，四边形的面积为，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中线与三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据是的中线，得，，，再结合，得，设，，，即，运用面积的关系得，则 ，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的中线， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 则设， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， ∵ ∴ ∴四边形的面积为 ∵记的面积为，四边形的面积为， 即 ， ∴， 故答案为：． 类型七、三角形折叠场景计算角度问题 折叠的核心性质（解题基础） 对应角相等：折叠后，重叠的两个角大小相等（如折叠∠A 到∠A'，则∠A=∠A'）。 对应边相等：折叠后，重叠的两条边长度相等（如折叠边 AB 到 AB'，则 AB=AB'）。 折痕的对称性：折痕是对应点连线的垂直平分线（如点 A 与折叠后落点 A' 的连线 AA' 被折痕垂直平分）。 例7．如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 【答案】/74度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出的度数，由折叠性质得出，，再根据平行线性质得到，然后通过平角定义可得，最后由平行线的性质得出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式7-1．如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 分类讨论，当时和当时，分别利用翻折的性质即可求解． 【详解】解：当时，则， 根据翻折的性质得，； 当时，， ， 根据翻折的性质得，； 故答案为：或． 变式7-2．如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式7-3．如图，在中，点D、点E分别是边、上的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 °． 【答案】51 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 又∵在中，②， 由得， 在中，， ． 故答案为：51． 变式7-4．把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； （2）解：，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 变式7-5．如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义：本题解题的关键在于理解和掌握折叠的性质以及能够熟练运用三角形的内角和定理； （1）由折叠的定义得到，，，再由平角的定义求出，的度数，即可根据三角形内角和定理求出的度数； （2）先由折叠的性质得到，，，再由平角的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则，进而得到，即． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， ，， ， 同理，， ， （2）解：由折叠的性质得，，， ， ， ， ， ， ， ，即． 类型八、三角形外角相关角度计算问题 外角角度相关解题步骤（通用思路） 识别外角与内角的关系： 明确哪个角是外角（外角是三角形一边延长线与另一边组成的角，与相邻内角互补，即和为 180°），找到它不相邻的两个内角。 利用性质建立等式： 根据 “外角 = 不相邻两内角之和”，或 “外角与相邻内角互补”，将已知角度与未知角度关联。 结合其他条件推导： 若涉及角平分线（分角为相等两部分）、平行线（同位角 / 内错角相等）、等腰三角形（底角相等）等，需综合这些性质进一步列等式。 计算未知角度： 通过解方程或逐步推导，求出目标角度。 例8．如图，已知，E是直线上方一点，G为直线下方一点，F为直线上一点，，，，则和的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的拐点问题，涉及到了三角形外角的性质，解题关键是牢记平行线的性质，本题通过构造同位角和内错角进行角的转化即可求解． 【详解】解：延长和分别交和于点H，点K， 因为， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为： ． 变式8-1．如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和外角角平分线的相关知识，涉及到三角形外角等于与其不相邻的两内角和的知识，掌握以上知识是解题的关键．根据，分别为的内、外角平分线分别设，，再根据，分别为的内，外角平分线，得到和 ，最后根据 和 求出 即可． 【详解】解： ，分别为的内、外角平分线， ，， 设，， ，， 又 ，分别为的内，外角平分线， ，， ，， 又， ， 又， ， ， 故答案为：． 变式8-2．如图所示，中，，分别是的平分线，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】先根据外角的性质求出，再利用三角形内角和定理求出，进一步求出后，即可求解． 【详解】解：∵分别是的平分线， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质和角平分线定义，解题关键是正确进行角的和差转化． 变式8-3．综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）①30，45；②，见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）①根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可解答；②由①即可解答； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若，则； 若，则； 故答案为：，； ②由①得； 故答案为：； （2）的平分线及一个外角的平分线相交于点， ，． ， ． ， ． ， ． ． ； （3），理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 1．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角， ∴． 故选:D． 2．如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， 故选：A ． 3．如图，已知，点C，D在直线上，且，平分，，垂足为H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由垂直的定义以及平行线的性质可判定①；根据平行线的性质以及邻补角的性质可判定②；由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再利用等量代换即可得到，即可判定③；根据三角形外角的性质可得即可判定④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即，则①正确； ∵，， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即③正确； ∵是的外角， ∴，即④错误． 综上，正确的有①②③． 故选C． 4．如图，在中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数． 【详解】解：∵，平分， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，三角形的面积为1，D，E为的三等分点，F，G为的三等分点，那么四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形中线，代数式，二元一次方程组；连接，设，，根据题意得到关于的二元一次方程组，求出的值，再根据计算即可． 【详解】解：如图，连接， 设，， 因为F是的三等分点， 所以． 因为E是的三等分点，所以． 又因为，， 所以 解得，， ． 故答案为：． 6．如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【答案】/79度 【分析】本题考查三角形折叠问题，根据折叠前后对应角相等，可设，，再根据三角形内角和为180度列方程组，解方程组即可． 【详解】解：由折叠知，， 设，， 则， ，， ， 解得， 原三角形的的度数为． 故答案为：． 7．【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 【答案】（1）;（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长，交于点，同（2）可得，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （4）求解，，可得，由（1）得：． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； 故答案为：． （3）延长，交于点， ∵，， 同（2）可得， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （4）∵，结合折叠， ∴，， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 8．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线为的“美丽线”． （1）如图2，在中，，，请利用直尺和量角器在图2中画出的“美丽线”（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）； （2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系．下面是对这个问题的部分探究过程： 设为的“美丽线”，点D在边上，则与中各有两个相等的内角． 【探究1】 如图3，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以在中，．由此可以得到与的关系为________，其中的取值范围为________． 【探究2】 借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系． 【答案】（1）见详解 （2）【探究1】，，【探究2】或或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解新定义“美丽线”是解题的关键． （1）根据“美丽线”的定义结合三角形内角和定理，即可求解； （2）探究1：根据“美丽线”的定义，结合三角形内角和定理分别求出的度数，再根据平角的定义可得结论，再由，可得的取值范围； 探究2：根据“美丽线”的定义，图形结合（图示见详解），分类讨论，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：（1）如图，直线即为所求； （2）探究一：根据三角形的内角和定理可得， 利用三角形的外角定理可得，即， 整理得， ， ， 故答案为：，，； 探究二： ①如图所示，直线是的“美丽线”， ， ∵， ∴， 整理得； ②如图所示，直线是的“美丽线”， ， 是的外角， ； ③如图所示，直线是的“美丽线”， ， ； 综上，与的关系为或或． 9．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”． 解决问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图③，平分，平分，若，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①50；②85；③ 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用． （1）根据题意过点A，D作射线，利用三角形外角性质即可得出答案． （2）①由（1）得：，即可得出答案；②由（1）得： ，再结合角平分线的定义，可得，即可得出答案；③由（1）得： ，再结合角平分线的定义，可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点A，D作射线， 由三角形外角的性质得：， ∵， ∴； （2）解：①由（1）得：， ∵，， ∴； 故答案为：50 ②由（1）得：， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③由（1）得：， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 10．已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【答案】(1)、、、、 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系； （1）根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解； （2）将的值表示出来，分情况计算周长即可求解； 【详解】（1） 的三边长为，，， ，， ， 即，且，，均为整数， 故的取值范围为：、、、、； 故答案为：、、、、 （2）解：为偶数，， 故可取，； 当时，的周长为； 当时，的周长为 11．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)①或；②，，， 【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数． （2）①根据题意分成在内部时，在外部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解． ②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵，，三角板中含， ∴， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：①若在内部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ； 若在外部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ， 综上，或． ②当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； 当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$