精品解析：广东省深圳市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试卷

广东省深圳市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试卷 2025.7 本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线和圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 相交且过圆心 2. 已知等差数列公差为2，和等比数列，则数列的前4项和为（ ） A. 16 B. 120 C. 168 D. 192 3. 设曲线在处的切线与垂直，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知变量x和y统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（ ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A. 0.2 B. C. 0.4 D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A 5 B. -5 C. 15 D. -15 6. 小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（ ） ， A. 步行 B. 骑自行车 C. 乘坐公汽 D. 自己开车 7. 某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有极大值 C. 可以是负数 D. 一定是正数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 则下列说法正确的是（ ） A. 用0，1，2，3，4可组成没有重复数字的3位偶数有30个. B. 若二项展开式，则 C. 样本相关系数为正数，越接近于1，则成对样本数据正相关且线性相关程度越强 D. 用残差来比较两个模型的拟合效果时，残差和越小，模型的拟合效果越好 10. 设，已知随机变量分布列如下表，则下列结论正确的是（ ） 0 1 2 P A. B. 的值最大 C. 随着p的增大而增大 D. 当时， 11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数在处有极大值，则的单增区间为____________. 13. 将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则__________. 参考公式：. 14. 在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位，移动4次，则蚂蚁移动到圆内部的概率为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆的离心率面积的最大值为. （1）求椭圆的方程. （2）已知A，B为该椭圆的上顶点和下顶点，，在直线上是否存在一点，使直线BM和直线AN的交点在该椭圆上，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 16. 为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 平均每天户外体育锻炼的时间（分钟） 总人数 10 18 22 25 20 5 规定：将平均每天户外体育锻炼时间在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”． （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？ 户外体育锻炼不达标 户外体育缎练达标 合计 男 女 10 55 合计 （2）从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （3）将上述调查所得到频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率. 参考公式：，其中． 参考数据：（独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 18. 已知函数 （1）令对恒成立，求的最大值. （2）若有两个零点，求的范围，并证明： 19. 通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到的点数，则.记数列的前项和为，记除以4的余数为 （1）若，求和 （2）甲乙丙丁四人玩游戏：在一局中，由第五个人（裁判）投一个骰子2次，若为0则甲在本局胜出，若为1则乙在本局胜出，若为2则丙在本局胜出，若为3则丁在本局胜出，比赛开始前，4名选手自由两两组合，组成A小队，B小队，组队后进行比赛.比赛采用5局3胜制，每局比赛中只要小队内有成员胜出即该小队在此局中获胜，请问：甲和哪位选手组成A小队，使A小队在比赛中有最大概率获胜，并说明原因. （3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省深圳市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试卷 2025.7 本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线和圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 相交且过圆心 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解. 【详解】圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 2. 已知等差数列公差为2，和等比数列，则数列的前4项和为（ ） A. 16 B. 120 C. 168 D. 192 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量运算得，利用等比数列的基本量运算得，最后利用等比数列的求和公式求解即可. 【详解】因为等差数列公差为2，和等比数列， 所以， 设等比数列的公比为q，则， 解得，所以数列的前4项和为. 故选：B 3. 设曲线在处的切线与垂直，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对曲线进行求导，将代入导函数中求出切线斜率，在根据切线与已知直线垂直的关系列出方程求解即可. 【详解】因为，所以， 所以曲线在处的切线斜率为：， 由直线的斜率为：， 又因为曲线在处的切线与垂直， 所以， 所以， 故选：C. 4. 已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（ ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A. 0.2 B. C. 0.4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得样本中心点的坐标，即可得到，得到线性回归方程，然后求得时的预测值，再由残差定义即可求解. 【详解】因为，， 则样本中心点为，代入可得， 所以回归直线方程为， 当时，， 所以时的残差为. 故选：D 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 5 B. -5 C. 15 D. -15 【答案】D 【解析】 【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数． 【详解】， 故它的展开式中的系数为， 故选：D． 6. 小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（ ） ， A. 步行 B. 骑自行车 C. 乘坐公汽 D. 自己开车 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布中原则分别计算不同方式下不迟到的概率，即求计算不同方式下的大小，然后分析即可. 【详解】①当小张步行方式上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ②当小张骑自行车上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ③当小张乘坐公汽上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ④当小张自己开车上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， 由， 所以小张骑自行车上班时不迟到的概率最大， 故选：B. 7. 某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件，根据条件概率公式及全概率公式求解即可． 【详解】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件， 则，， 所以， ， . 故选：A． 8. 已知函数，当时，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有极大值 C. 可以是负数 D. 一定是正数 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，再利用导数确定的单调性，从而确定的零点存在，得出其为极小值点判断选项AB，由得，间的关系，代入变形，然后由基本不等式结合条件得判断CD． 【详解】的定义域为，， 设，则，故是增函数， 当时，，时，， 所以存在，使得，且时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以有一个极小值点，无极大值点即无极大值，所以选项AB错误， 从而当时，取得最小值， 结合，则 ， 当且仅当时取等号，此时， 故恒成立，故选项C错误，选项D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 则下列说法正确的是（ ） A. 用0，1，2，3，4可组成没有重复数字的3位偶数有30个. B. 若二项展开式，则 C. 样本相关系数为正数，越接近于1，则成对样本数据正相关且线性相关程度越强 D. 用残差来比较两个模型的拟合效果时，残差和越小，模型的拟合效果越好 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用分类加法原理与分步乘法原理，根据偶数的特性，可得其正误；对于B，对等式两边分别求导，利用赋值法，可得其正误；对于CD，根据相关系数以及残差的相关概念，可得其正误. 【详解】对于A，由三位偶数可知个位只能选， 当个位选时，没有重复数字的三位数有个， 当个位选或时，没有重复数字的三位数有个， 则共有个，故A正确； 对于B，对两边求导， 可得， 令，可得，故B正确； 对于C，根据相关系数的概念，易知C正确； 对于D，当残差平方和越小时，拟合程度越好，故D错误. 故选：ABC. 10. 设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（ ） 0 1 2 P A. B. 的值最大 C. 随着p的增大而增大 D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据的范围可判断选项A正确； 给取特殊值验证选项B错误； 求出，根据二次函数的单调性进行判断选项C； 根据方差公式求出，从而判断选项D. 【详解】，所以A正确； 令，则，，所以B错误； 由题意得， 因为，所以随着p的增大而减小，所以C错误； 当时，， ，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用数形结合方式来解决函数的综合问题，根据点的对称性得到坐标间的关系，通过构造函数运用函数的单调性来解决即可. 【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称， 将与联立，则， 由直线分别与函数和的图象交于点， 作出函数图象： 则的中点坐标为， 对于A，由，得，故A正确； 对于B，， 因为，即等号不成立，所以，故B错误； 对于C，由图可知，， 因为，所以， 令，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 所以，故，即，故C正确； 对于D，令，则，， 所以， 由对称可知，，所以， 令，求导得，当时，， 所以在上单调递增， 又，所以，即，故D正确.. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数在处有极大值，则的单增区间为____________. 【答案】和 【解析】 【分析】运用极值点处导数为0算出的值，结合导数为正，函数单增，导数为负，函数单减，判断此时是否是极大值点和计算单增区间即可. 【详解】， ， 由在处有极大值可知， 即，，解得或， 当时，，令，解得或，令，解得，因此在和上单调递增，在上单调递减， 此时是极大值点，符合题意，单增区间是和； 当时，， 令，解得或，令，解得， 因此在和上单调递增，在上单调递减， 此时是极小值点，不符合题意， 综上，，函数单调增区间是和. 故答案为：和. 13. 将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则__________. 参考公式：. 【答案】##1.875 【解析】 【分析】根据参考数据及公式先利用相关系数求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 由， 解得， 所以. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位，移动4次，则蚂蚁移动到圆内部的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】若蚂蚁移动到圆的内部，则移动4次后，蚂蚁可能的位置为原点，，，，，共5种情况.把向上、下、左、右四个方向的步数分别记为，，，，则.通过分析，，，的取值计算概率即可. 【详解】把向上、下、左、右四个方向的步数记分别为，，，，则. 若蚂蚁移动到圆的内部，则移动4次后，蚂蚁可能的位置为原点，，，，，共5种情况. 若蚂蚁移动到原点，则，，故，或，或，有种走法； 若蚂蚁移动到点（1，1），则，，故，，，或，，，，有种走法. 由对称可知，蚂蚁移动到圆内部的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆的离心率面积的最大值为. （1）求椭圆的方程. （2）已知A，B为该椭圆的上顶点和下顶点，，在直线上是否存在一点，使直线BM和直线AN的交点在该椭圆上，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及焦点三角形的相关计算，建立方程，可得答案； （2）由已知点求得直线方程，联立椭圆方程求得交点，根据题意求得直线方程，可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可作图如下： 由（1）可得，，则由得直线的方程为， 联立，化简可得，解得，， 将代入，可得，由题意可得在直线上， 直线的斜率，则直线的方程为， 将代入，可得，则. 16. 为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 平均每天户外体育锻炼的时间（分钟） 总人数 10 18 22 25 20 5 规定：将平均每天户外体育锻炼时间在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”． （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？ 户外体育锻炼不达标 户外体育缎练达标 合计 男 女 10 55 合计 （2）从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率. 参考公式：，其中． 参考数据：（独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联； （2）分布列见解析，; （3）. 【解析】 【分析】（1）根据所给的数据列出列联表，即可得出结果； （2）由题意，可知可取0,1,2,3，求出分布列，再求数学期望即可； （3）设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为，可知,即可得解. 【小问1详解】 户外体育锻炼不达标 户外体育锻炼达标 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 零假设为:性别与户外体育锻炼是否达标无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到, 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立, 因此可以认为成立，即认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联. 【小问2详解】 易知，所抽取的5名居民中男性为名，女性为名. 的所有可能取值为0,1,2, ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 【小问3详解】 设所抽取的3名居民中 “户外体育锻炼达标”的人数为， 列联表中居民“户外体育锻炼达标”的频率为， 将频率视为概率则， 所以， 所以从该市所有居民中随机抽取3人,其中恰有2人“户外体育锻炼达标”的概率为. 17. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）退位作差得到公比，令求得，进而得到数列的通项公式； （2）反证法，假设存在，由等差中项性质得到，等比中项性质得到，联立解得，与题设矛盾，假设不成立，则不存在. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， ，时，，两式相减得， 即，所以， 令得，即，解得， 所以 【小问2详解】 不存在，理由如下： 由（1）得，， 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则， 即，则， 假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，，即， 因为成等差数列，所以，所以， 即，即， 联立解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 18. 已知函数 （1）令对恒成立，求的最大值. （2）若有两个零点，求的范围，并证明： 【答案】（1）1 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，因式分解，即可分离参数，构造函数，，由导数求解函数的最值即可得解， （2）对讨论，结合函数的单调性可得的范围，构造函数，有导数求解函数的单调性，即可求证. 小问1详解】 由可得， 故由可得对恒成立， 故对恒成立， 由于得，故对恒成立， 进一步可得对恒成立， 记，，则， 当在单调递增，当在单调递减， 故， ，故， 因此，即，故的最大值为1， 【小问2详解】 由于， 由于， 当时，则，此时，在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点， 当时，令，则此时在单调递减，，则此时在单调递增， 且当， 要使有两个零点，则，则 记，由于均为内的单调递增函数，因此函数在单调递增，由于， 因此时，， 故， 记函数，则 ， 由于，，所以， 因此函数在单调递增， 故， 进而可得，即可 由于，则， 由于，所以，又，在单调递减， 故， 即 19. 通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到的点数，则.记数列的前项和为，记除以4的余数为 （1）若，求和 （2）甲乙丙丁四人玩游戏：在一局中，由第五个人（裁判）投一个骰子2次，若为0则甲在本局胜出，若为1则乙在本局胜出，若为2则丙在本局胜出，若为3则丁在本局胜出，比赛开始前，4名选手自由两两组合，组成A小队，B小队，组队后进行比赛.比赛采用5局3胜制，每局比赛中只要小队内有成员胜出即该小队在此局中获胜，请问：甲和哪位选手组成A小队，使A小队在比赛中有最大概率获胜，并说明原因. （3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率. 【答案】（1），； （2）甲和丁组成小队，理由见解析； （3）联系见解析，. 【解析】 【分析】（1）因为，则可得到的概率，再分析的情形即可得到； （2）分析，的情形，再写出的表达式，利用导数得到其单调性即可； （3）分别赋值和即可得到其概率. 【小问1详解】 因为， 所以， 的情形有：，， ，合计9种， 因此. 【小问2详解】 由（1）可知：， 的情形有：， ，合计8种， 因此，， 的情形有：，， ，合计9种； 因此，， 的情形有：，，，合计10种； 因此，， 设A小队每局获胜概率为，比赛获胜概率为， 所以， 故越大越大，所以甲和丁组成A队在每局比赛中获胜概率为在比赛中获胜概率最大. 【小问3详解】 ， 事件件表示20个式子相乘后得到的组合方式的数量， 其，其中， 令，得到， 令，得到， 因此， 令，得到， 又因为， 所以， 因此，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$