精品解析：广西崇左市大新县民族高级中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题

崇左市大新县民族高中2024年春季学期期末试题 高二数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果，那么复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接计算得到答案. 【详解】，故. 故选：A. 2. 若集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 3. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式以及作差法即可求解. 详解】由题意，则，即，由基本不等式得， 又，即， 所以. 故选：D. 4. 若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线（ ） A. 只有一条 B. 无数条 C. 是平面内的所有直线 D. 不存在 【答案】B 【解析】 分析】 直线与平面不垂直，可以和平面内一条直线垂直，即可得答案. 【详解】直线与平面不垂直,一定存在，使得成立， 因此在平面内，与平行的所有直线都与直线垂直，因此有无数条直线在平面内与直线垂直. 故选：B 5. 已知，，且∥，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件分别求出、的坐标，利用空间向量共线的充要条件，即可求出结果． 【详解】因为，，所以，， 因为∥，所以，解得. 故选：B． 6. 某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式即得. 【详解】依题意可得，从今年起到第五年这个厂的总产值为； . 故选：D 7. 已知，则（ ） A. 28 B. 30 C. 56 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】由组合数性质求出，再用排列数公式求值. 【详解】因为， 所以由组合数性质得，， 所以. 故选：C. 8. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.5 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可. 【详解】因为随机变量， 所以， 所以， 解得， 故． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列图象中，表示函数关系的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数概念逐一判断即可. 【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意x，都有唯一确定的y和它对应， 由图象可看出，表示函数关系的有AD． BC项的对应关系中，均出现了一个x对应两个y值的情况，不符合函数的定义，不是函数． 故选：AD. 10. 如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（ ） A. 直线与直线相交； B. 直线与直线平行； C. 直线BM与直线是异面直线； D. 直线与直线成角. 【答案】CD 【解析】 【分析】将正方体的平面展开图，复原为正方体，根据异面直线的定义，可判定A、B不正确；C正确；再结合异面直线所成的角的定义与求解，可判定D正确. 【详解】如图所示，将正方体的平面展开图，复原为正方体， 对于A中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾）， 所以直线与为异面直线，所以A不正确； 对于B中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾）， 所以直线与为异面直线，所以B不正确； 对于C中，平面平面，平面，平面， 所以直线与不相交，连接，则，而与相交， 所以与不平行，否则，不合题意， 所以直线与是异面直线，所以C正确； 对于D中，连接，则为正三角形，可得， 又由，则为直线与直线所成的角， 即直线与直线所成的角为，所以D正确. 故选：CD. 11. 已知曲线表示椭圆，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在轴上，则 C. 若，则该椭圆的焦距为 D. 若椭圆的离心率为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由方程表示椭圆可得判断A，再根据其它各项描述及椭圆的性质判断正误即可. 【详解】由题意，A错； 椭圆的焦点在y轴上，则，B对； 若，则，故，该椭圆的焦距为，C对； 若椭圆的离心率为，则或，可得或，D错. 故选:BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线＝与＝的距离是________. 【答案】 【解析】 【分析】 将直线＝化为，再根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】可将直线＝化为， 所以两条平行直线间距离为. 故答案为：. 点睛】本题考查平行线间距离公式，属于基础题. 13. 不等式的解集为，则不等式的解集是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得，且为方程的两根，利用根与系数的关系可得，代入中化简可求得其解集. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且为方程的两根， 所以，得， 所以可化为， 因为，所以， 所以，解得，或， 故的解集是或． 故答案为：或． 14. 已知随机变量的分布列为，那么实数_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据概率之和为1，即可求出结果. 【详解】因为随机变量的分布列为， 所以， 因此. 故答案为3 【点睛】本题主要考查概率的性质，熟记概率性质即可，属于基础题型. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在△中，已知，，，求边c和． 【答案】，. 【解析】 【分析】由正弦定理求边c，再应用三角形面积公式求即可. 【详解】由题设，，由正弦定理知：，故， ∴，又， ∴. 16. 如图，棱锥的底面是一个矩形，与交于，是棱锥的高，若，，，求棱锥的体积． 【答案】． 【解析】 【分析】依题意可得，利用勾股定理求出，即可求出，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】依题意平面，平面，所以， 又，，，所以， 所以，则， 棱锥的底面面积为， 所以棱锥的体积． 17. 一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m. （1）试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； （2）为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 【答案】（1）抛物线的标准方程为，焦点的坐标为； （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可； （2）利用待定系数法、代入法进行求解即可. 【小问1详解】 建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为：，把代入方程中，得 ， 所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为； 【小问2详解】 设抛物线的方程为， 把代入方程中，得， 所以焦点的坐标为：. 18. 某校为了解学生对食堂满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按，，，，，，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数； （2）若从打分区间在的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间的概率. 【答案】（1），中位数为；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，由求得a，然后利用中位数公式求解. （2）先分别得到打分区间在和打分区间在的同学的人数，然后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）因为频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1， 所以， 解得， 所以中位数为； （2）打分区间在的同学共有人，分别记为， 打分区间在的同学共有人，分别记为， 从这6人中随机抽出两位同学，共有以下15种情况： ，，，，；，，，；，，；，； 其中，至少有一位同学来自打分区间共有14种情况： ，，，；，，，；，，；，； 所以至少有一位同学来自打分区间的概率为. 【点睛】方法点睛：利用频率分布直方图： 求概率根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1求解； 求中位数根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和的对应点求解； 求平均数根据频率分布直方图中各矩形横坐标中点与其概率之积的和求解； 19. 已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足． （1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由． （2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式． 【答案】（1）数列是等差数列，证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义即可证得结论； （2）由等差数列的通项公式运算即可得解. 【详解】（1）数列是等差数列， 证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以， 又因为， 故， 而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列， 而，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 崇左市大新县民族高中2024年春季学期期末试题 高二数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果，那么复数为（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C D. 4. 若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线（ ） A 只有一条 B. 无数条 C. 是平面内的所有直线 D. 不存在 5. 已知，，且∥，则（ ） A B. C. D. 6. 某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为 A B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. 28 B. 30 C. 56 D. 72 8. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.5 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列图象中，表示函数关系的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（ ） A. 直线与直线相交； B. 直线与直线平行； C. 直线BM与直线是异面直线； D 直线与直线成角. 11. 已知曲线表示椭圆，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在轴上，则 C. 若，则该椭圆的焦距为 D. 若椭圆的离心率为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线＝与＝的距离是________. 13. 不等式的解集为，则不等式的解集是_________． 14. 已知随机变量的分布列为，那么实数_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在△中，已知，，，求边c和． 16. 如图，棱锥的底面是一个矩形，与交于，是棱锥的高，若，，，求棱锥的体积． 17. 一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m. （1）试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； （2）为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 18. 某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按，，，，，，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数； （2）若从打分区间在的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间的概率. 19. 已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足． （1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由． （2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$