专题04 有理数的11种运算技巧（压轴题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题04 有理数的11种运算技巧 目录 1 类型一、凑整法 1 类型二、拆项法 5 类型三、裂项相消法 9 类型四、倒序相加法 18 类型五、错位相减法 22 类型六、换元法 28 类型七、倒数法 31 类型八、分组求和法 34 类型九、相互转化法 36 类型十、利用分配律进行简算 36 类型十一、利用图形进行简算 51 60 类型一、凑整法 “凑整法”是一种常见的运算技巧，通过乘以或除以一个较小的正整数，利用乘法结合律，将其凑成整十、整百、整千……的数，从而把复杂的计算题变得简单. 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先把减法转化为加法，再利用加法的交换律和结合律计算． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减法中的简便运算． （1）按照有理数加减法中的简便运算计算即可． （2）先去括号，化简绝对值，然后按照有理数加减法中的简便运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键： （1）运用有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用加法运算律进行计算即可； （3）利用加法运算律进行计算即可； （4）原式选化简绝对值，再进行加减运算即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用减法法则变形，计算即可求出值． 【详解】解： ． 5．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．有理数的加减法和运算律的应用，注意简便运算． （1）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 类型二、拆项法 先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起利用交换律，结合律得出答案。 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 7．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算 上述这种方法叫拆项法．请仿照上述方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． （1）根据题意给出的运算方法以及有理数的加减乘除运算法则即可求出答案； （2）根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 8．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）漯河某初中数学小组学完有理数加减后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小丽：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式， 我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小明：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ． 任务： (1)小明的解题过程中，A，B，C处依次代表的数据是______、______、______； (2)按小明的方法计算． 【答案】(1)0，， (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，理解题中拆项法是解答的关键． （1）根据所给求解过程，利用有理数的加减混合运算求解即可； （2）仿照题中拆项法求解过程求解即可． 【详解】（1）解：原式 ， 故A，B，C处依次代表的数据是0，，． （2）解： ． 9．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 【答案】（1）①；②加法交换律、加法结合律；（2）①17，；；②1 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）①先把原式变形为，再计算求解即可；②观察解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①把带分数拆解成整数加分数的形式即可；②先把原式的带分数拆解成整数加分数的形式，再把整数和分数分别合在一起计算求解即可． 【详解】解：（1）① ． ； ②由解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①； 故答案为：17，；； ②原式 ． 类型三、裂项相消法 1） 2） 3）其它变形样式， 10．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）（1）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． （2）．阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法； 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的加减计算： （1）仿照题意得到规律（n为自然数），据此规律把所求式子裂项求解即可； （2）仿照题意先把带分数化为整数加真分数的形式，再把整数和整数进行加法计算，分数和分式进行加法计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ……， 以此类推可知，（n为自然数）， ∴ ； （2） ． 11．（21-22七年级上·广西南宁·阶段练习）请你观察： ，；；… ； ；… 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： （1）______； （2）______． （3）计算：的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据题目中的等式，通过裂项求和法可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的式子，通过裂项求和法可以求得所求式子的值； （3）根据题目中式子的特点，通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 12．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 【答案】(1)120 (2) (3) 【分析】本题主要考查了十字相乘法、因式分解解一元二次方程、裂项法、阶乘的运用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据阶乘定义直接求解即可； （2）根据题干材料仿照即可得解； （3）根据（2）思路写出过程求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：120； （2）解： ； （3）解： ． 13．（24-25七年级上·山东济南·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 【答案】（1），11； （2）； （3）； （4）永远不可能倒完，见解析 【分析】本题考查了数字类问题的探索，理解题意掌握对分数的处理方法是解题的关键． （1）观察式子左右两边的数字，即可求解； （2）观察式子左右两边的数字，即可求解； （3）根据（1）中的规律， 依次化简每个式子，然后求解即可． （4根据题意第次后剩余的水量为，根据（1）化简式子即可求解； 【详解】（1）第6等式：； 故答案为：，11； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律： ． （3）原式= = ． （4） ．永远不可能倒完． 14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 15．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减． 例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：_________． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中裂项方法是解答的关键． （1）根据题中例子可写出相应的等式； （2）①根据式子特点，采用裂项的方法进行计算即可； ②将原式变形，然后采用裂项方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，猜想， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 类型四、倒序相加法 16．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）问题情境： 求几个连续整数的和，例如：求的和，我们可以采用如下办法： 设．① 把上式等号右边倒序排列，得．② ①与②等号两边分别相加，得． 所以．这种求和的方法叫做倒序求和法． (1)独立思考： 请你用倒序求和法计算； (2)实践探究： 计算； (3)问题拓展： 某校为庆祝2024年元旦，丰富学生课余生活，举行篮球比赛．若七年级共有20个班，每两个班级只进行一场比赛，则共举办多少场篮球比赛？ (4)问题解决： 若某校共有x个班级，每两个班级只进行一场篮球比赛，则共需要举办_____场篮球比赛．（用含x的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)共举办场篮球比赛 (4)或 【分析】本题考查了数字规律问题，根据题干提供的数字规律和方法，类比拓展到实际问题即可求解，抓住问题的本质是解题的关键． （1）运用倒序求和法计算即可； （2）找到数据中的规律，再用倒序求和法计算即可； （3）根据题意可从第一个班级开始，如果要每两个班级只进行一场比赛，第一个班级则需要与剩下的个班级比赛，依此类推，比赛的总次数为，运用倒序求和法计算即可； （4）根据题意直接列出代数式即可． 【详解】（1）解：设①， 把上式倒序排列得②， ①式与②式两边分别相加得：， ∴； （2）解： ， 设①， 把上式倒序排列得②， ①式与②式两边分别相加得：， ∴； （3）解：由题意得： （场）， ∴共举办场篮球比赛； （4）解：由题意得： 或， ∴共需要举办或场篮球比赛． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② 得． 所以，， 所以 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． (3)计算： 【答案】(1)500500 (2)15000 (3)2500 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法及乘法运算是解题的关键；因此（1）（2）（3）可根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以； （2）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以； （3）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以． 类型五、错位相减法 19．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”，这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【等比数列】 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，．．．，．．．． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，．．．为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列3，9，27，．．．的公比q为___，第5项是___． 【公式推导】 如果一个数列，，，．．．，．．．，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： ，，，．．．，． 所以， ， ，．．． （2）由此，请你填空完成等比数列的通项（即第n项）公式___． 【拓广探究】 等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， 得， ∴． 【解决问题】（3）求的值； （4）直接写出的值． 【答案】（1）3，；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，数的规律探究．理解题意并正确的运算是解题的关键． （1）由题意知，，第5项是，计算求解即可； （2）由题意知，，然后作答即可； （3）令，则，，计算求解即可； （4）令，则，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，第5项是， 故答案为：3，； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：令，则， ∴， 解得，， ∴． （4）解：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 20．（2025·海南三亚·二模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为_____，第5项是_____． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到： 所以 （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：_____． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， ②－①得， ． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3，243；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）设根据例题的方法求得，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：等比数列的公比为3，第5项是； 故答案为：3，243； （2）根据题意得：等比数列的通项公式：； 故答案为： （3）设①， 则②， 得， ． ∴． 21．（24-25七年级上·全国·假期作业）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3；243；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：3，243； （2），，， ， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ． 22．（22-23六年级上·山东烟台·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， 得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以，再错位相减求解； （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）解：设， 则， 得：， 所以； 即； （3）设， 则3S=3+32+33+34+35+…+32023②， 得：， 所以， 即． 【点睛】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． 类型六、换元法 解题方法：将相同的几个式子用一个字母代替，然后进行计算，最后再把字母换成数字，一般情况下，字母在计算过程中会消掉. 23．（23-24七年级上·全国·课后作业）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： ① ②． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了有理数的乘法，整式的加减运算，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键． ①根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值； ②根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值． 【详解】解：①设为，为， 原式； ②设为，为， 原式． 24．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）【阅读理解】 在学习第3章《代数式》过程中，我们曾把中的“”看成一个字母，把“”看成另一个字母，将这个代数式简化为，在数学中，我们把这种方法称为整体代换法，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题. 【灵活运用】应用整体代换法解答下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)计算： 【答案】(1)4 (2)2 (3)2022 【分析】（1）令，将原式化简，由计算出a的值，再求代数式的值即可； （2）令，将原式化简，由计算出b的值，再求代数式的值即可； （3）根据阅读材料进行整体代换，再根据数字的变化规律进行计算． 【详解】（1）解：令， 则， 由得， 因此，原式； （2）解：令， 则 ， 由得， 因此，原式； （3）解：把看成字母m，把看成字母n， 则原式 ． 【点睛】本题考查整式的加减，有理数的混合运算，解题的关键是读懂材料，熟练应用整体代换法． 25．（22-23七年级上·四川乐山·期中）阅读理解：计算时，若把与 分别看作一个整体，再利用乘法分配律进行计算，可以大大简化难度，过程如下： 解：令，， 则原式 (1)上述过程使用了什么数学方法？ ；体现了什么数学思想？ ；（填一个即可） (2)用上述方法计算： ① ② ③计算：. 【答案】(1)换元法；整体思想（转化思想） (2)①；②；③ 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）①仿照题意利用换元法进行求解即可；②仿照题意利用换元法进行求解即可；③分子上把当成一个整体，利用乘法分配律的逆运算合并，分母把当成一个整体，利用乘法分配律的逆运算合并，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，上述过程使用了换元法，提现了整体思想； 故答案为：换元法，整体思想（转化思想）； （2）解：①设， ∴原式 ； ②设， ∴原式 ； ③原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法分配律，正确理解题意利用整体思想求解是解题的关键 类型七、倒数法 解题方法：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值. 26．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下题解答过程： 计算： 解：， ． 根据阅读材料，完成下面的问题： (1)若，，则，的关系为__________（选填字母）； A．绝对值相等    B．互为倒数    C．互为相反数 (2)计算：． 【答案】(1)B (2) 【分析】本题主要考查了倒数的定义，有理数四则混合计算，有理数乘法分配律等等： （1）根据题意可得，再由乘积为1的两个数互为倒数可得答案； （2）仿照题意计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，的关系为互为倒数， 故选：B； （2）解： ， ． 27．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 方法一：原式． 方法二：原式的倒数为：，故原式． 用适当的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，先求出原式的倒数，即可确定出原式的值．熟练掌握运算法则及运算律是解题的关键．也考查了倒数的意义． 【详解】解：∵ ， ∴． 28．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 【答案】一；（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算的有关知识，含乘方的有理数混合运算，有理数的乘除运算： 没有除法分配律，故解法一错误； （1）先计算乘方和括号里面的内容，再将除法化成乘法进行计算即可； （2）先计算括号里的内容，再将除法化成乘法进行计算即可． 【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误， 故答案为：一； （1）原式 ； （2）原式 ． 类型八、分组求和法 解题方法：找出规律，将数字重新组合，使每一组的和相等，从而简化题目. 29．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）计算： ． 【答案】1012 【分析】本题考查了有理数加减的简便运算，利用结合律进行简便运算是解题的关键．利用有理数加减的结合律将前面2022个数字两两组合，计算得到，最后加上2023即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：1012． 30．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算 . 【答案】1 【分析】此题主要考查了加法中的巧算问题，注意加法结合律的应用，根据加法结合律，通过观察题目可以发现，1后面每相邻的四项的和为0，从而可以解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：1． 31．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据题意，第一个和第二个结合，第三个和第四个结合，依此类推，得到，，由此即可求解． 【详解】解： ， ， 故答案为： ． 32．（24-25七年级上·四川眉山·期中）计算：①的值是 ；② ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． ①把相邻两个数相加，然后发现规律即可解答； ②运用有理数乘法的运算律进行简便运算即可． 【详解】解：① ． ②． 故答案为：； 33．（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先利用加法的结合律得，共个数，所以分成了组，每组得和为，即可得到答案．解题的关键是根据有理数的加法法则进行有理数的加减运算并利用加法的结合律简化计算． 【详解】解： ， ∴． 故答案为：． 类型九、相互转化法 解题方法：根据算式特点,将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。 34．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算； （1）先把减法化为加法，再计算即可； （2）先把除法化为乘法，再计算即可； （3）把分母相同的两数先加，再进一步的计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 35．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题，能简算的要简算．           【答案】4000；54；4；10；378；12.5 【分析】本题考查了有理数乘法的混合运算，运用运算律进行简算是解题的关键． （1）根据乘法结合律进行简算即可； （2）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （3）先算，根据乘法分配律进行简算，再根据加法结合律进行简算； （4）先交换“”和“”的位置，再根据减法的性质进行简算； （5）先算括号里面的减法，再算除法，最后算乘法； （6）根据逆用乘法分配律进行简算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 36．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算． (1)； (2)； (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)333330 (3)2006 (4)4 (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解一元一次方程，熟练掌握解方程的一般步骤，有理数混合运算法则，是解题的关键． （1）小括号里面的运用乘法分配律，再算中括号里面的，最后算括号外面的除法即可； （2）把99999拆成，88888拆成，77777拆成，66666拆成，然后运用乘法分配律进行计算即可； （3）把原式化为，然后化为，再进行计算即可； （4）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘除法，最后算中括号里面的减法，最后算括号外面的除法即可； （5）运用乘法分配律化为，然后根据等式的性质，在方程两边同时减去4，再在方程两边同时除以5即可； （6）根据等式的性质，在方程两边同时乘6，再在方程两边同时加12，再在方程两边同时减去x，最后在方程两边同时除以5即可． 【详解】（1）解： = = = = =； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． （5）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （6）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 37．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则进行计算，即可作答． （2）先运算乘方，再运算乘除，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减法、乘法、除法和乘方运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则，运算顺序及相应的运算律． （1）先按减法法则把式子写成省略括号的和的形式，再进行运算即可； （2）按乘法分配律去掉括号，再进行加减运算； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ， ； （3） ． 39．（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ ④ 【答案】①；②；③；④6 【分析】本题考查有理数混合运算的运算法则、分数与百分数的互化、简便运算技巧（乘法分配律、加法结合律），熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． ①先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的除法，最后计算括号外的除法； ②先将和化成统一小数形式，都可以化成，再根据乘法分配律，将式子化为进行计算； ③将化成分数，计算小括号里面的减法，分数进行通分，再计算小括号外面的除法，最后计算加法； ④通过分组凑整法，简化计算即可． 【详解】解：① ② ③ ④ ． 类型十、利用分配律进行简算 40．（24-25七年级上·湖南永州·开学考试）能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将式子整理为，再利用有理数的乘法运算律计算即可得解； （2）根据有理数的乘法法则计算即可得解； （3）根据有理数的加减运算法则计算即可得解； （4）根据有理数的加减运算法则计算即可得解； （5）根据有理数的混合运算法则计算即可得解； （6）根据有理数的加减运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 41．（22-23七年级上·四川成都·期末）脱式计算，能简算的要简算 (1) (2) 【答案】(1)1.5 (2)314 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的逆用， 对于（1），先计算括号内的，再计算有理数的除法，然后计算有理数的乘法即可； 对于（2），逆用乘法分配律提出3.14，再计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 42．（24-25六年级上·上海·期末）脱式计算（能简算的要简算）． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了分数的混合运算，运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律是解题的关键． （1）根据减法的性质进行计算； （2）根据乘法分配律进行计算； （3）根据乘法分配律进行计算； （4）先算除法，再算加法； （5）根据乘法分配律和加法结合律进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 43．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题，能简算的要简算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分配律简便运算即可； （2）先计算括号和绝对值，再按先乘方，再乘除，后加减的运算顺序计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 44．（2025七年级下·四川成都·专题练习）计算下列各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)16 (2) (3)12 (4)2 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律，解题的关键是掌握运算中常用的简算方法，尤其注意运算律的应用． （1）利用乘法分配律及加法交换律计算即可； （2）将带分数拆分，继而计算即可； （3）先变形，再利用乘法分配律合并计算； （4）利用乘方分配律把提出2，继而计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型十一、利用图形进行简算 45．（2025·安徽合肥·一模）【问题呈现】我们知道，，那么如何求的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）______． （2）______． 【拓展应用】 （3）求的值． 【答案】（1）225；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及规律型：图形的变化类，得出规律并运用规律解决实际问题是解本题的关键． （1）根据前四个图直接推出结论，即可； （2）由（1）发现规律可得，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， ； 故答案为： 225 （2）解：由（1）发现： ； （2）解： ． 46．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，再把其中一个面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形分成两个面积为的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：    (1)计算；； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （2）由（1）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查规律性的计算；根据数形结合的方法得到每个分数可以分成的哪2个分数之差是解决本题的关键． 47．（22-23七年级上·重庆黔江·期末）（1）为了计算的值，我们构造图形（图），共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图2，添出图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得． 用此方法，可求得 （直接写结果）． （2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：① ； ② ． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． 【答案】（1）；（2）①，②；（3），图和过程见解析 【分析】（1）根据给定的计算方法，进行计算即可； （2）①根据已有点阵图，得到第个点阵图中点的个数为，再进行计算即可；②根据规律进行计算即可； （3）将一个面积为1的正方形分割为和两部分，再将正方形的分割为和两部分，，依次进行分割，再进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）由点阵图可知：个数时和为， 个数时和为， 个数时和为， ， 个数时和为． ∵中有个数， ∴． ∵中有个数， ∴． 故答案为：；； （3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为， 第次将正方形分割为和两部分， 第次将正方形的分割为和两部分， •••，以此类推， 第次分割后，剩余的面积为， 那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：， ∴． 【点睛】本题考查图形的规律探究，有理数的混合运算，数形结合思想．解题的关键是将代数问题转化为几何图形，利用数形结合的思想，进行简便运算． 48．（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 (1)根据图形填写上表； (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积的一半即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由图1可知，部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 部分④的面积为， 部分⑤的面积为， 部分⑥的面积为， 则阴影部分的面积为． 则填表如下： ① ② ③ 阴影面积 面积 （2）解： ． （3）解：由图2可知，第1次分割后，空白部分的面积为， 第2次分割后，空白部分的面积为， 第3次分割后，空白部分的面积为， 归纳类推得：第次分割后，空白部分的面积是， 故答案为：． ②由上可知，第100次分割后，空白部分的面积是， ∴， ∴ ． 49．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）阅读下列材料，解决相应问题． “有形数”如图1，四个图形中点的个数可以类比正方形的面积公式计算，即，其中是正方形边上的点的个数，称为正方形数．   图2是边上有5个点的三角形，如图3，创新小组在图2的基础上增加一个相同的三角形，连接相应线段形成一个平行四边形．将求三角形数转化为求平行四边形数．计算过程如下：已知两个三角形组合成的平行四边形的底为个点，高（行数）为5，所以该平行四边形数为底高，则该三角形数．   总结：边上有5个点的三角形数． (1)参照材料中“总结”的格式，计算边上有100个点的三角形数：____________． (2)边上有个点的三角形数______． (3)仿照上述的“计算过程”求图4中三角形的点的个数．    【答案】(1)，5050 (2) (3)25个 【分析】本题考查图形类规律探究： （1）直接根据题干信息进行总结计算即可； （2）根据题干信息总结即可； （3）类比题干方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：，5050； （2）； （3）已知两个三角形组合成的平行四边形的底为，高（行数）为5， 所以该平行四边形数为底高． 则所求三角形的点的个数为． 52．（23-24七年级上·重庆·期中）计算． (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先除法转换为乘法，利用乘法分配律简算即可； （2）先把小数化分数，然后按照有理数混合运算法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 = = =； （2）解：原式 = = =． 1．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)19 (6)73 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，再算括号里的，最后计算乘法即可； （2）先将小数化为分数，再计算乘法即可； （3）先将除法化为乘法，再根据乘法计算，最后计算减法即可； （4）先将小数化为分数，再将除法化为乘法，根据乘法结合律计算即可； （5）先计算括号里的，再计算除法即可； （6）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）阅读材料：如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（）． (1)观察一个等比数列1，，，，…，它的公比q=______；若（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，则=_______； (2)欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边都乘2，得②， 由，得， ，即的值为． 请根据以上解答过程，计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，探索与表达规律，主要考查学生的理解能力和阅读能力． （1）通过观察可知后一个数除以前一个数等于，根据已知数的特点求出即可； （2）令，则，两式相减即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵，，，，， ， （2）解：令，则， 两式相减，得， ，即． 3．（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题z主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可； （2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答；②运用①中的结论进行解答即可； （3）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解：①∵原等边三角形的边长为1， ∴操作1次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作2次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作3次所得的小等边三角形的边长为：； …， ∴第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． 故答案为：． （3）解： 4．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ① ② ③ ④ …… (1)请根据你发现的规律填空：________=________； (2)用含的等式表示上面的规律：_________； (3)用你发现的规律解决下列问题： 计算． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）解：∵①， ②， ③， ④， …… ∴， 故答案为：． （3）解：原式， 故答案为：． 5．（2025·安徽宣城·一模）观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出第个等式：____________________；并求出的值． 【答案】(1) (2)；2025 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，难度适中，注意找等式的规律时，要注意观察等式的左边和右边的规律，还要注意观察等式的左右两边之间的关系． （1）根据题意材料即可得出第5个等式即可； （2）根据题意材料即可得出第n个等式即可；根据得出的一般等式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； …… ∴第5个等式为： ； （2）解：∵； ； ； ； …… ∴第n个等式为： ； 当时， ． 6．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． (1)请写出第5个等式：________________________； (2)写出第n个等式：________________________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律总结归纳即可求解； （3）先将乘法化为加法，再结合分配律进行简便运算即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：归纳可得：第n个等式：， 故答案为：； （3）解： ． ； 7．（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算；把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解：原式 ． 8．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）阅读材料：求的值． 解：设①，将等式①的两边同乘以2， 得②， 用得，， 即， 即． 请仿照此法计算： (1)请直接填写的值为______； (2)求值； (3)请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化类—规律型，有理数数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化规律，求出所求式子的值． （1）根据有理数的乘方和有理数的加法即可解答本题； （2）根据题目中的例子，设，即可得到的值，再作差，整理，即可得到答案； （3）根据题目中的例子，设，然后即可得到的值整理，再带入所求式子，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：设， 则， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的11种运算技巧 目录 1 类型一、凑整法 1 类型二、拆项法 2 类型三、裂项相消法 4 类型四、倒序相加法 7 类型五、错位相减法 8 类型六、换元法 11 类型七、倒数法 13 类型八、分组求和法 14 类型九、相互转化法 14 类型十、利用分配律进行简算 14 类型十一、利用图形进行简算 17 20 类型一、凑整法 “凑整法”是一种常见的运算技巧，通过乘以或除以一个较小的正整数，利用乘法结合律，将其凑成整十、整百、整千……的数，从而把复杂的计算题变得简单. 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）计算：． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)； 4．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 5．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 类型二、拆项法 先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起利用交换律，结合律得出答案。 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 7．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算 上述这种方法叫拆项法．请仿照上述方法计算： (1)； (2)． 8．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）漯河某初中数学小组学完有理数加减后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小丽：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式， 我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小明：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ． 任务： (1)小明的解题过程中，A，B，C处依次代表的数据是______、______、______； (2)按小明的方法计算． 9．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 类型三、裂项相消法 1） 2） 3）其它变形样式， 10．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）（1）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． （2）．阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法； 仿照上面的方法，请你计算：． 11．（21-22七年级上·广西南宁·阶段练习）请你观察： ，；；… ； ；… 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： （1）______； （2）______． （3）计算：的值． 12．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 13．（24-25七年级上·山东济南·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 15．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减． 例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：_________． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 类型四、倒序相加法 16．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）问题情境： 求几个连续整数的和，例如：求的和，我们可以采用如下办法： 设．① 把上式等号右边倒序排列，得．② ①与②等号两边分别相加，得． 所以．这种求和的方法叫做倒序求和法． (1)独立思考： 请你用倒序求和法计算； (2)实践探究： 计算； (3)问题拓展： 某校为庆祝2024年元旦，丰富学生课余生活，举行篮球比赛．若七年级共有20个班，每两个班级只进行一场比赛，则共举办多少场篮球比赛？ (4)问题解决： 若某校共有x个班级，每两个班级只进行一场篮球比赛，则共需要举办_____场篮球比赛．（用含x的代数式表示） 17．（2024七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 18．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② 得． 所以，， 所以 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． (3)计算： 类型五、错位相减法 19．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”，这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【等比数列】 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，．．．，．．．． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，．．．为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列3，9，27，．．．的公比q为___，第5项是___． 【公式推导】 如果一个数列，，，．．．，．．．，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： ，，，．．．，． 所以， ， ，．．． （2）由此，请你填空完成等比数列的通项（即第n项）公式___． 【拓广探究】 等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， 得， ∴． 【解决问题】（3）求的值； （4）直接写出的值． 20．（2025·海南三亚·二模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为_____，第5项是_____． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到： 所以 （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：_____． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， ②－①得， ． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 21．（24-25七年级上·全国·假期作业）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 22．（22-23六年级上·山东烟台·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， 得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)； (3)求的值． 类型六、换元法 解题方法：将相同的几个式子用一个字母代替，然后进行计算，最后再把字母换成数字，一般情况下，字母在计算过程中会消掉. 23．（23-24七年级上·全国·课后作业）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： ① ②． 24．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）【阅读理解】 在学习第3章《代数式》过程中，我们曾把中的“”看成一个字母，把“”看成另一个字母，将这个代数式简化为，在数学中，我们把这种方法称为整体代换法，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题. 【灵活运用】应用整体代换法解答下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)计算： 25．（22-23七年级上·四川乐山·期中）阅读理解：计算时，若把与 分别看作一个整体，再利用乘法分配律进行计算，可以大大简化难度，过程如下： 解：令，， 则原式 (1)上述过程使用了什么数学方法？ ；体现了什么数学思想？ ；（填一个即可） (2)用上述方法计算： ① ② ③计算：. 类型七、倒数法 解题方法：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值. 26．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下题解答过程： 计算： 解：， ． 根据阅读材料，完成下面的问题： (1)若，，则，的关系为__________（选填字母）； A．绝对值相等    B．互为倒数    C．互为相反数 (2)计算：． 27．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 方法一：原式． 方法二：原式的倒数为：，故原式． 用适当的方法计算：． 28．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 类型八、分组求和法 解题方法：找出规律，将数字重新组合，使每一组的和相等，从而简化题目. 29．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）计算： ． 30．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算 . 31．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）计算： ． 32．（24-25七年级上·四川眉山·期中）计算：①的值是 ；② ． 33．（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）计算： ． 类型九、相互转化法 解题方法：根据算式特点,将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。 34．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 35．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题，能简算的要简算．           36．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算． (1)； (2)； (3) (4) (5) (6) 37．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）计算 (1) (2) 38．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 39．（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ ④ 类型十、利用分配律进行简算 40．（24-25七年级上·湖南永州·开学考试）能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 41．（22-23七年级上·四川成都·期末）脱式计算，能简算的要简算 (1) (2) 42．（24-25六年级上·上海·期末）脱式计算（能简算的要简算）． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 43．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题，能简算的要简算． (1)； (2)． 44．（2025七年级下·四川成都·专题练习）计算下列各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 类型十一、利用图形进行简算 45．（2025·安徽合肥·一模）【问题呈现】我们知道，，那么如何求的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）______． （2）______． 【拓展应用】 （3）求的值． 46．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，再把其中一个面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形分成两个面积为的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：    (1)计算；； (2)计算：． 47．（22-23七年级上·重庆黔江·期末）（1）为了计算的值，我们构造图形（图），共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图2，添出图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得． 用此方法，可求得 （直接写结果）． （2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：① ； ② ． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． 48．（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 (1)根据图形填写上表； (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． 49．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）阅读下列材料，解决相应问题． “有形数”如图1，四个图形中点的个数可以类比正方形的面积公式计算，即，其中是正方形边上的点的个数，称为正方形数．   图2是边上有5个点的三角形，如图3，创新小组在图2的基础上增加一个相同的三角形，连接相应线段形成一个平行四边形．将求三角形数转化为求平行四边形数．计算过程如下：已知两个三角形组合成的平行四边形的底为个点，高（行数）为5，所以该平行四边形数为底高，则该三角形数．   总结：边上有5个点的三角形数． (1)参照材料中“总结”的格式，计算边上有100个点的三角形数：____________． (2)边上有个点的三角形数______． (3)仿照上述的“计算过程”求图4中三角形的点的个数．    52．（23-24七年级上·重庆·期中）计算． (1) (2) 1．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）阅读材料：如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（）． (1)观察一个等比数列1，，，，…，它的公比q=______；若（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，则=_______； (2)欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边都乘2，得②， 由，得， ，即的值为． 请根据以上解答过程，计算：． 3．（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 4．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ① ② ③ ④…… (1)请根据你发现的规律填空：________=________； (2)用含的等式表示上面的规律：_________； (3)用你发现的规律解决下列问题： 计算． 5．（2025·安徽宣城·一模）观察下列等式： ； ； ； ；…… 根据上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出第个等式：____________________；并求出的值． 6．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． (1)请写出第5个等式：________________________； (2)写出第n个等式：________________________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 7．（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 8．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）阅读材料：求的值． 解：设①，将等式①的两边同乘以2， 得②， 用得，， 即， 即． 请仿照此法计算： (1)请直接填写的值为______； (2)求值； (3)请直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$