专题07 平面解析几何（辽宁专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题07 平面解析几何 题型概览 题型01直线与圆 题型02椭圆 题型03双曲线 题型04抛物线 题型05圆锥曲线中的最值问题 题型06圆锥曲线中的定点、定值问题 题型07圆锥曲线中的三角形、四边形面积问题 ( 题型01 )直线与圆 1．（2025·辽宁·二模）已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·二模）我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁锦州·二模）设直线与x轴交于点A，圆，过l上一点P作圆O的两条切线，，C，D为切点，中点为M，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁沈阳·二模）（多选）在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（    ） A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆 B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线 C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆 D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线 ( 题型0 2 ) 椭圆 1．（2025·辽宁锦州·二模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，过其底面圆周上一点A作平面，若截圆锥得到的截面曲线为椭圆，则该椭圆长轴长的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·辽宁·二模）已知椭圆，直线与C交于M，N两点，与两坐标轴分别交于点A，B，且M，N是线段的三等分点，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·二模）（多选）如图，曲线是一条双纽线，曲线上的点满足：到点与的距离之积为，已知点是双纽线上一点，则下列结论正确的是（   ）. A．点在曲线上 B．双纽线的方程为 C． D．点在椭圆上，若，则 4．（2025·辽宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)若经过点且倾斜角为）的直线与椭圆交于M，N两点（其中点在轴上方）如图①.将平面xOy沿轴折叠，使点折至的位置，且轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图②.    （i）当直线的倾斜角为时，求折叠后图②中的长度； （ii）是否存在直线，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比是3:4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． ( 题型0 3 ) 双曲线 1．（2025·辽宁·二模）已知双曲线C的离心率为，、为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则（   ） A． B． C．2 D． 2．（2025·辽宁锦州·二模）（多选）某数学研究小组发现，函数的图象是双曲线，设其焦点为M，N，点P为其图象上任意一点，则（   ） A．直线是它的一条渐近线 B．它的离心率为 C．点是它的一个顶点 D． 3．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 5．（2025·辽宁辽阳·二模）已知双曲线（，）的两条渐近线为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点……；依此类推得到点列，，求数列的通项公式； 6．（2025·辽宁鞍山·二模）已知双曲线（，）的两条渐近线为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点……；依此类推得到点列，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）、分别在双曲线的左支和右支上，且直线经过点，当，时满足：①直线的倾斜角总是；②点和关于轴对称.设点的坐标为，数列的前项和为.证明：. ( 题型0 4 ) 抛物线 1．（2025·辽宁鞍山·二模）（多选）曲线与直线交于不同的两点、（），、分别为曲线在点、处的切线，、分别为直线、与直线的交点，为直线与的交点，则（   ） A． B． C． D．点在直线上 ( 题型0 5 )圆锥曲线中的最值问题 1．（2025·辽宁·二模）（多选）已知焦点为的抛物线与圆交于两点，且，点在抛物线上，且过两点分别作抛物线的切线交于点，则下列结论正确的有（   ） A．拋物线C的方程为： B．若三点共线，则点横坐标为 C．若三点共线，且倾斜角为，则的面积是 D．若点，且三点共线，则的最小值是9 2．（2025·辽宁·二模）一般地，若两个椭圆焦点都在x轴或y轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点G、B，直线与交于点C、D. (1)求该椭圆的相关椭圆方程及抛物线的方程 (2)四边形GCBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. (3)过椭圆左顶点A且斜率为的直线与椭圆交于点M，与轴交于点，设点为MA的中点.若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），若，求的值. ( 题型0 6 )圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（2025·辽宁·二模）已知抛物线，焦点为．抛物线上有一点，直线与抛物线的另一个交点为．按照如下方式依次构造点，过作x轴的垂线，垂足为，垂线与抛物线C的另一个交点为．作直线，与抛物线C的另一个交点为，直线与x轴的交点为．记．    (1)若，求； (2)求证：数列是等比数列，并用m表示数列的通项公式； (3)对任意的正整数与的面积之比是否为定值？若是，请用m表示这个定值；若不是，请说明理由． 2．（2025·辽宁·二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆半长轴长与半短轴长的平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作椭圆的两条切线，两切线斜率之积为，求的轨迹方程； (3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的正整数解.例如：求二元二次方程的正整数解，通过，先找到该方程的初始正整数解，记此解对应的点为，进一步可得点.设由“循环构造法”得到方程的正整数解对应的点列为：，其中，，记，试判断，是否为定值?若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. ( 题型0 7 )圆锥曲线中的三角形、四边形面积问题 1．（2025·辽宁锦州·二模）已知椭圆，中心在原点，且与抛物线有相同的焦点，且椭圆上的点到点距离的最小值为1． (1)求圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，为垂足，连接与y轴交于点，求面积的最大值． 2．（2025·辽宁·二模）已知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，当直线l经过点F且时，． (1)求C的方程； (2)设O为坐标原点，点A在第一象限，点B在第四象限，且，求面积的最小值． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平面解析几何 题型概览 题型01直线与圆 题型02椭圆 题型03双曲线 题型04抛物线 题型05圆锥曲线中的最值问题 题型06圆锥曲线中的定点、定值问题 题型07圆锥曲线中的三角形、四边形面积问题 ( 题型01 )直线与圆 1．（2025·辽宁·二模）已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出正实数的值. 【详解】因为，则圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆相切， 所以，. 故选：A. 2．（2025·辽宁·二模）我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍，即，利用两点间的距离公式，可求出，即判断点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部，令，即，令直线的方程为，利用点到直线距离公式可求出点到直线的距离，对直线与圆相交或相切进行分类讨论，可求出的取值范围，即可求出的最大值，即可得解. 【详解】    已知， 因为动点符合， 所以动点到定点的距离不大于定点到定点的距离的倍， 即动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍， 所以， 所以1， 即， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部， 令，即， 令直线的方程为， 要求的最大值，即为求当直线与圆相交或相切时的最大值， 又点到直线的距离为， 平移直线与圆相切时，点到直线的距离等于圆的半径， 即，即，解得或， 当直线与圆相交时，点到直线的距离大于等于0小于1， 即 ，即，即，解得， 综上所述，可得，即， 所以，即， 故选：A. 3．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出切线的方程，然后分别令求出两点坐标，利用点斜式求出直线和直线的方程，联立解出点坐标即可求出点的轨迹方程，要注意挖掉两个不能取到的点. 【详解】设点，当圆心与切点所成直线的斜率不存在时，即当点时， 易知以，所以此时点为矩形的对角线的交点，即； 当圆心与切点所成直线的斜率存在时，则，因为， 所以切线的斜率为，又切线过点， 所以切线的方程为，整理得， 又点在圆上，所以，故切线的方程为. 易知，在切线的方程中，令，则， 令，则，所以， 所以直线的斜率，直线的方程为， 直线的斜率，直线的方程为， 联立直线和直线的方程，解得， 所以点，又，所以点所满足的方程为， 因为切线分别交、于点、两点，所以切线不能为，即， 且前述直线的斜率不存在时即也满足上述方程， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 4．（2025·辽宁锦州·二模）设直线与x轴交于点A，圆，过l上一点P作圆O的两条切线，，C，D为切点，中点为M，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求出方程，根据，求出的运动轨迹为为圆心，为半径的圆，进而得到圆外点到圆上点距离的最大值，最小值得到答案. 【详解】    因为直线与x轴交于点A，所以， 因为为上一点，所以， 设，， 则，得直线的方程为，故 同理得的方程为，， 故直线的方程为， 因为为中点，所以， 所以方程为，即， 联立， 消得， 所以为为圆心，为半径的圆， 其中点到圆心的距离为， 所以，， 所以的取值范围是， 故选：A. 5．（2025·辽宁沈阳·二模）（多选）在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（    ） A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆 B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线 C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆 D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线 【答案】ACD 【分析】由点是线段的中垂线与直线的交点，可得.对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆的性质及圆锥曲线的定义逐项判断即可. 【详解】设圆的半径. 当点与圆的圆心重合时，线段的中垂线与直线的交点即为的中点， 此时，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故选项A正确； 当点在圆上时，如图所示，根据圆的性质可知线段的中垂线与直线的交点即为圆心，轨迹为一个点，故选项B错误；    当点在圆内且非圆心时，如图所示. ∵点是线段的中垂线与直线的交点，，， （其中为圆的半径），∴点的轨迹为椭圆，故选项C正确；    当点在圆外时，如图所示. ∵点是线段的中垂线与直线的交点， ，，或， ∴或（其中为圆的半径），即， ∴点的轨迹为双曲线，故选项D正确.    故选：ACD. ( 题型0 2 ) 椭圆 1．（2025·辽宁锦州·二模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，过其底面圆周上一点A作平面，若截圆锥得到的截面曲线为椭圆，则该椭圆长轴长的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意，可得圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，根据该椭圆的长轴垂直于母线时，此时椭圆的长轴长取得最小值，即可求解. 【详解】    因为圆锥的底面半径为1，侧面积为，所以圆锥的母线为， 所以圆锥的轴截面是边长为的等边三角形， 如图所示，当该椭圆的长轴垂直于母线时，此时椭圆的长轴长取得最小值，且最小值为边长为2的正三角形的高， 因为，所以椭圆的长轴长的最小值为. 故选：. 2．（2025·辽宁·二模）已知椭圆，直线与C交于M，N两点，与两坐标轴分别交于点A，B，且M，N是线段的三等分点，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示结合题意先求出，再代入椭圆方程求解即可. 【详解】由直线，不妨设，设， 则， 如图，因为M，N是线段的三等分点， 则，， 则，解得，，，， 则，又M，N两点在椭圆上， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 3．（2025·辽宁·二模）（多选）如图，曲线是一条双纽线，曲线上的点满足：到点与的距离之积为，已知点是双纽线上一点，则下列结论正确的是（   ）. A．点在曲线上 B．双纽线的方程为 C． D．点在椭圆上，若，则 【答案】AD 【分析】利用曲线的定义可判断A选项；在双纽线上任取一点，由结合两点间的距离公式可化简得出双纽线的方程，可判断B选项；将曲线的方程化为，令可知关于的方程有解，结合可判断C选项；利用椭圆的定义、双纽线的定义以及勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，记点，则，， 所以， 所以点在曲线上，A对； 对于B选项，在双纽线上任取一点，由题意可得， 即，即， 即，即， 整理可得，B错； 对于C选项，由可得， 令，则， 所以关于在上有解， 设该方程在上的两根分别为、， 所以，解得，故， 当时，可得，即，解得， 即点在双纽线上，故的取值范围不是，C错； 对于D选项，椭圆的标准方程为， 所以，，则，所以椭圆的两个焦点恰好为、， 由椭圆的定义可得， 由可得， 因为， 解得，因此，，D对. 故选：AD. 4．（2025·辽宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)若经过点且倾斜角为）的直线与椭圆交于M，N两点（其中点在轴上方）如图①.将平面xOy沿轴折叠，使点折至的位置，且轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图②.    （i）当直线的倾斜角为时，求折叠后图②中的长度； （ii）是否存在直线，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比是3:4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，直线的方程为： 【分析】（1）由离心率为得，则，将点代入，计算解得，即可得解； （2）（i）求出直线方程为：，再联立椭圆方程，解出两点坐标，根据两点距离公式即可求解；（ii）由三角形周长求得，设直线的方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，求得，建空间直角坐标系后，可得，求得，即可求得的值，求得直线的方程. 【详解】（1）因为，所以，所以， 椭圆方程为： 又因为点在椭圆上，带入得： 所以， 椭圆方程为：. （2）（i）折叠前可知，所以直线方程为： 因为直线与椭圆交于M，N两点，所以， 解得或， 又因为点在轴上方，所以 折叠后，建立空间直角坐标系：以为轴，以轴的负半轴反方向为y轴， 以折后轴的正半轴为轴，可得： 所以 （ii）折叠前的周长为， 折叠后的周长为， 在图①中，设，直线的方程为， 联立，得， ， ， 建空间直角坐标系后，可得， 又因为， 所以 整理得： 所以，因此，又倾斜角为锐角， 所以存在直线，直线方程为： ( 题型0 3 ) 双曲线 1．（2025·辽宁·二模）已知双曲线C的离心率为，、为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意，，，利用余弦定理可得，从而得解. 【详解】根据题意，，则，， 可知渐近线方程为，即，且， 则，，， 可得， 在中，由余弦定理可得， ， 即，所以． 故选：D. 2．（2025·辽宁锦州·二模）（多选）某数学研究小组发现，函数的图象是双曲线，设其焦点为M，N，点P为其图象上任意一点，则（   ） A．直线是它的一条渐近线 B．它的离心率为 C．点是它的一个顶点 D． 【答案】ABD 【分析】由已知根据解析式先得到双曲线的渐近线，即可判断；进而求出焦点所在的直线方程，联立得到顶点坐标，即可判断；根据双曲线的定义，即可判断；结合两渐近线夹角，将双曲线绕其中心适当旋转，从而求出离心率，即可判断. 【详解】因为函数中，当时，， 所以函数在第一象限的图象夹在直线和轴之间且无限接近于两直线， 因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 所以直线和轴是双曲线的渐近线，所以正确； 因为两渐近线的夹角为，所以双曲线的焦点所在的直线是两渐近线的角平分线所在直线，即， 由，可得或， 所以顶点坐标为，，所以错误； 两顶点之间的距离为， 因为焦点为M，N，点P为其图象上任意一点， 根据双曲线的定义可得，所以正确； 若将双曲线绕其对称中心中心（原点）顺时针旋转可使直线变为轴，其渐近线变为直线， 则双曲线的离心率，所以正确. 故选：. 3．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】结合双曲线的光学性质可知，为双曲线的左焦点，进而结合正弦定理可设，，，，再根据双曲线的定义可得，进而得到，再结合勾股定理可得，进而求解即可. 【详解】由双曲线的光学性质可知，直线，的交点为双曲线的左焦点， 在中，由正弦定理得， 则，设，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式作商得， 设，， 由双曲线的定义可知，， ， 解得，则，，，， 所以，则，即， 在中，， 则，则，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 4．（2025·辽宁沈阳·二模）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)（ⅰ）；（ⅱ）， 【分析】（1）由化为，根据曲线为双曲线可得答案； （2）方法一：（ⅰ）由题意得，，设点，由求出点坐标，求出直线BE的斜率可得直线BG的方程与双曲线方程联立， 由韦达定求出、，且可得答案；（ⅱ）由（ⅰ）得、，结合的范围可得求出的范围可得答案；方法二：（ⅰ）由题意得，，设点，由．求出点坐标，求出直线BE的斜率可得直线BG的方程， 将两式作差，将直线BG方程代入并化简得可得答案；（ⅱ） 由（ⅰ）得的范围，可得答案． 【详解】（1）由，得， 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 则，则， 所以当，且时，曲线为双曲线； （2）方法一：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，，设点，由， 即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为，即， 联立，得， 由直线BG与双曲线有2个交点，则， 又因为满足， 由韦达定得，解得， 因为，且， 得，所以， 又因为，可得， 所以， 因为，所以， 所以，可得，即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 所以， 因为，则，则， ； 方法二：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，， 设点，由．即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为， 设点（，），因为， 所以，所以，， 同理，由， 两式作差得， 将直线BG方程代入并化简得（*） 所以，所以， 可得，即的取值范围为； （ⅱ）由（*）式可得， 所以， 由（ⅰ）得， 所以． 5．（2025·辽宁辽阳·二模）已知双曲线（，）的两条渐近线为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点……；依此类推得到点列，，求数列的通项公式； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据渐近线得出的关系，再将点坐标代入，列出方程组，即得双曲线方程． （2）设出过点的两条直线方程，与双曲线方程联立求得弦中点坐标，再求出直线的方程，建立的关系即可求得通项公式； 【详解】（1）由双曲线的两条渐近线为，得，即， 又双曲线经过点，得，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）令，设两条直线的方程分别为和， 设，由得， 由，得， 则， 则点，同理得点， 于是直线的斜率， 直线的方程为：， 令，得，因此， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故数列的通项公式为 6．（2025·辽宁鞍山·二模）已知双曲线（，）的两条渐近线为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点……；依此类推得到点列，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）、分别在双曲线的左支和右支上，且直线经过点，当，时满足：①直线的倾斜角总是；②点和关于轴对称.设点的坐标为，数列的前项和为.证明：. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即得双曲线方程. （2）（ⅰ）设出过点的两条直线方程，与双曲线方程联立求得弦中点坐标，再求出直线的方程，建立的关系即可求得通项公式；（ⅱ）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出，再利用分组求和及等比数列前项和公式计算推理得证. 【详解】（1）由双曲线的两条渐近线为，得，即， 又双曲线经过点，得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）令，设两条直线的方程分别为和， 设，，由得， 由，得，， 则，， 点，同理得点， 于是直线的斜率， 直线的方程为：， 令，得，因此， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以.    （ⅱ）设直线的方程为，由点的坐标为，得的坐标为， 由消去得，因此，， 则， 所以. ( 题型0 4 ) 抛物线 1．（2025·辽宁鞍山·二模）（多选）曲线与直线交于不同的两点、（），、分别为曲线在点、处的切线，、分别为直线、与直线的交点，为直线与的交点，则（   ） A． B． C． D．点在直线上 【答案】ABC 【分析】曲线与直线交于不同的两点，联立，可得范围； 由零点存在定理，可确定； 求导确定直线斜率写出直线方程，求出时、坐标由可得； 为直线与的交点，联立求出即可. 【详解】曲线与直线交于不同的两点、， ，整理得 解得或， 且，，故A正确； 令，且对称轴，， ,， ，故B正确； ，则，：，即. 令，得，即，同理可得, . ，， ， 关于轴对称，，故C正确； 为直线与的交点，联立， 整理得代入得： ， 即点在直线上，故D不正确. 故选：ABC ( 题型0 5 )圆锥曲线中的最值问题 1．（2025·辽宁·二模）（多选）已知焦点为的抛物线与圆交于两点，且，点在抛物线上，且过两点分别作抛物线的切线交于点，则下列结论正确的有（   ） A．拋物线C的方程为： B．若三点共线，则点横坐标为 C．若三点共线，且倾斜角为，则的面积是 D．若点，且三点共线，则的最小值是9 【答案】AD 【分析】A先求出点坐标，再将其代入抛物线方程中；B先设直线得出韦达定理，再利用点坐标设切线方程并与抛物线方程联立，利用求出切线方程，即可求出点的坐标；C利用弦长公式求出，再计算点到直线的距离即可求；D设直线方程，再利用弦长公式求出的长度，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】对于A，因为，且在圆上，所以由对称性不妨设， 又因为点在抛物线上，所以， 因此抛物线方程，故A正确； 对于B，设，且过的直线方程 联立，得，则， 设在点处的切线方程为， 与联立得，， 因，则， 则在点处的切线方程为， 同理在点处的切线方程， 所以联立，并结合， 解得，所以点， 所以点的横坐标为，即，故B错误； 对于C，因为过的直线方程的倾斜角，所以， 联立，得，则， 所以， 又由B 选项可知，，所以点到直线的距离是， 所以，故C错误；    对于D，设过的直线方程 联立，得，则， 又因为，同理，， 且， 所以 ， 等号成立的条件为，即，即，故D正确.    故选：AD. 2．（2025·辽宁·二模）一般地，若两个椭圆焦点都在x轴或y轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点G、B，直线与交于点C、D. (1)求该椭圆的相关椭圆方程及抛物线的方程 (2)四边形GCBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. (3)过椭圆左顶点A且斜率为的直线与椭圆交于点M，与轴交于点，设点为MA的中点.若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），若，求的值. 【答案】(1)椭圆方程为，抛物线的方程为 (2)四边形GCBD的面积存在最小值，最小值为8； (3) 【分析】（1）设椭圆方程为，，分两种情况，得到椭圆方程为，并根据焦点坐标得到，求出； （2）先得到直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为，求出四边形GCBD的面积为8，再求出当直线的斜率存在，设直线的方程为， 分别与和联立得到两根之和，两根之积，求出弦长，表达出四边形面积，换元得到，结合函数单调性得到，从而求出最小值； （3）联立直线和得到点M的坐标，并得到点坐标，由得到，并变形得到，结合，得到方程，求出答案. 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，， 设椭圆方程为，， 若椭圆的短半轴长与的焦距长相等， 即，此时不合要求， 若椭圆的短半轴长与椭圆的焦距长相等， 即，解得，满足要求， 故椭圆方程为； 椭圆的焦点为，故，解得， 故； （2）显然当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 故直线的斜率不为0，当直线的斜率不存在时， 直线的方程为，此时直线为， 中，令得，故， 此时，， 设四边形GCBD的面积为，， 当直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立得， 设，则， 故， 故， 直线，与椭圆联立得， 恒成立， 设，则， 由弦长公式得 ， 设四边形GCBD的面积为， ， 令，则， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 故， 故四边形GCBD的面积存在最小值，最小值为8. （3）由题意得，故直线，联立得 ，设，则， 故，， 故，， 中，令得，故， ， 又，设，故，解得， 所以， 由得， 即，， 即， 其中，， 故，解得， 故的值为 ( 题型0 6 )圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（2025·辽宁·二模）已知抛物线，焦点为．抛物线上有一点，直线与抛物线的另一个交点为．按照如下方式依次构造点，过作x轴的垂线，垂足为，垂线与抛物线C的另一个交点为．作直线，与抛物线C的另一个交点为，直线与x轴的交点为．记．    (1)若，求； (2)求证：数列是等比数列，并用m表示数列的通项公式； (3)对任意的正整数与的面积之比是否为定值？若是，请用m表示这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)为定值 【分析】（1）由两点求得直线方程，联立抛物线方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立抛物线，写出韦达定理，结合等比数列的定义，可得答案； （3）根据三角形面积公式，整理化简，可得答案. 【详解】（1）   ， 直线，联立可得， 直线，联立可得，则， 由，可得， 综上可得：； （2）一方面，对任意的自然数k，都有直线过点， 设直线的方程为：， ，， 则， 因为，，故①， 另一方面，对任意的自然数k，都有直线过点 设直线的方程为：， ，， 则， 因为，，故②， 由①得：， 两式相乘得：③， 把②带入③，得：， 即：， 综上可得：递推知数列是等比数列，且公比为． 又，故． （3）对任意的自然数， ，    另解： ， ， 因此，，所以面积之比为定值． 2．（2025·辽宁·二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆半长轴长与半短轴长的平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作椭圆的两条切线，两切线斜率之积为，求的轨迹方程； (3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的正整数解.例如：求二元二次方程的正整数解，通过，先找到该方程的初始正整数解，记此解对应的点为，进一步可得点.设由“循环构造法”得到方程的正整数解对应的点列为：，其中，，记，试判断，是否为定值?若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)（且）. (3)是，且为定值 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）分析可知，切线斜率存在且不为零，设过点的切线方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，由可得出关于的一元二次方程，设两切线的斜率分别为、，可知、为关于的一元二次方程的两根，结合韦达定理化简可得出点的轨迹方程； （3）计算得出，分析可得，求出的方程，即为点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出，结合平面向量数量积的定义化简可得出的值. 【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为. （2）（i）当切线斜率不存在或为零时，不满足题意； （ii）当切线斜率存在且不为零时，设点， 设过点的切线方程为，即， 联立得， 由，得， 可得出关于的二次方程①， 方程①有两个不等根，则，且，可得， 设过点的两条切线的斜率分别为、，可得，整理可得， 又因为且，以及，可得且， 即且， 所以，点的轨迹方程为（且）. （3）因为，所以， ， 因为二项式与的展开式中不含的项相等，含的项互为相反数， 所以， 则， 所以， 直线的方程为，则即为点到直线的距离， 所以， ， 故为定值. ( 题型0 7 )圆锥曲线中的三角形、四边形面积问题 1．（2025·辽宁锦州·二模）已知椭圆，中心在原点，且与抛物线有相同的焦点，且椭圆上的点到点距离的最小值为1． (1)求圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，为垂足，连接与y轴交于点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意可得椭圆的一个焦点为，从而设椭圆，根据，，求解即可； （2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，写出直线方程可得，求出到直线的距离及弦的长度，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）解：抛物线的焦点为， 所以椭圆的一个焦点为， 设椭圆， 则， 又因为椭圆上的点到点距离的最小值为1， 即， 所以，， 所以椭圆； （2）解：由题意知直线的斜率存在， 设直线的方程为，，， 则， 由，得，， 所以，， 令，得． 因为， 代入上式得， 所以， 设到直线的距离为d，则， ， 所以， 因为，所以， 当且仅当时等号成立 所以， 即面积的最大值为． 2．（2025·辽宁·二模）已知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，当直线l经过点F且时，． (1)求C的方程； (2)设O为坐标原点，点A在第一象限，点B在第四象限，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线焦点弦的性质列式求得，得解； （2）设直线与抛物线方程联立得根与系数关系，由，结合，可得，求得，得恒过定点，由代入运算得解. 【详解】（1）由题，易知直线的斜率存在，设，，， 联立，消去整理得，， 则， 由抛物线定义得，， ，又， ，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设直线，，，， 由，又， ，解得， 联立，整理得， 则，，所以，即，且， 故直线恒过定点， 又，所以， ，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为. 24 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$