专题06 数列（辽宁专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题06 数列 题型概览 题型01等差数列 题型02等比数列 ( 题型0 1 ) 等差数列 1．（2025·辽宁·二模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知等式变形得出，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式. 【详解】因为，，可得出，，， 以此类推可知，对任意的，， 且， 所以，或（舍）， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 故，故. 故选：C. 2．（2025·辽宁锦州·二模）（多选）已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若为等差数列，则数列也是等差数列 B．若，则数列为等比数列 C．若，则时取到最小值 D．若为等比数列，且，则 【答案】AC 【分析】利用等差数列前项和公式推导的表达式，即可判断；根据等比数列的定义即可判断；通过等差数列前项和的二次函数的形式即可判断；根据等比数列前项和的形式与已知条件给出的形式，即可解得. 【详解】因为为等差数列，所以前项和， 所以， 所以， 所以数列是等差数列，故正确； 因为，若，则所有项都为， 所以数列不是等比数列，故错误； 因为，所以， 所以为等差数列，首项为，公差为， 所以，此二次函数开口向上，对称轴为， 因为，所以当时，取到最小值，故正确； 因为为等比数列，且，故公比不为1， 所以， 所以，所以，故错误. 故选：. 3．（2025·辽宁沈阳·二模）已知公差不为0的等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，由题意得，从而可求出，进而可求出. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，所以， 化简整理得，解得（舍去），或， 所以． 故答案为：． 4．（2025·辽宁·二模）已知数列的前项和满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） ， 当时，； 当时，， 且满足上式，所以. （2） ， ， 数列的前项和为. ( 题型0 2 ) 等比数列 1．（2025·辽宁沈阳·二模）（多选）已知数列满足，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，则是等差数列 B．若，，则是等差数列 C．若，，则是等比数列 D．若，，则是等比数列 【答案】BCD 【分析】根据题意给出的条件进行化简，并结合等差数列、等比数列知识进行逐项求解判断. 【详解】对于A，当时，若，则 所以数列不是等差数列，故A错误； 对于B，当时，， 因为，所以，即， 因为， 所以数列是等差数列，故B正确； 对于C，当时，有， 因为，所以，即 所以是等比数列，故C正确； 对于D，当时，有， 因为，所以，即， 因为， 所以是等比数列，故D正确； 故选：BCD． 2．（2025·辽宁·二模）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，对于数列，若，下列说法不正确的是（   ） A．存在的等比数列，使得为等比数列 B．，均存在等差数列，使得为等差数列 C．，均不存在等比数列，使得为等差数列 D．若存在等差数列，使得为等比数列，且，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】A、B先假设给定描述正确，利用等差、等比数列的性质得到无解、等差数列的公差判断；C根据等差、等比数列的性质有，再应用导数研究方程是否有解判断；D令，可得，讨论研究与的大小关系判断. 【详解】A：若的等比数列，使， 由且，若，则，若，则， 则①， 不妨令，，则， 故，且，仅当时等号成立， 若，方程①中左式恒大于右式，同理，即，结论相同，错； B：若存在等差数列，使得为等差数列，则且， 所以，则， 设等差数列的公差为，则，即， 显然不满足，错； C：若存在等比数列且公比为，使得为等差数列，则， 不妨设，，只需，只需， 则，令，则， 令，则，且， 则在上单调递增，又，故都有， 令，则， 即在上单调递增， 令，且， 则，故在上单调递减，则， 所以无解，对； D：若存在等差数列，使得为等比数列， 令，则， 所以，而， 所以，即， 当时，， 当时，， 当时，， 故的最小值不为，错. 故选：ABD 3．（2025·辽宁鞍山·二模）设为公比为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则 . 【答案】 【分析】根据等差中项的性质及等比数列的通项公式计算即可求解. 【详解】由，，成等差数列，可得：. 又因为为公比为等比数列的前项和， 所以，且， 即，解得：. 故答案为：. 4．（2025·辽宁·二模）记为正项数列的前项和，，为等比数列，则 . 【答案】3 【分析】根据题意整理可得，可知等比数列的公比为2，即可得，代入运算即可. 【详解】因为，则，可得， 可知等比数列的公比为2， 则，即， 所以. 故答案为：3. 5．（2025·辽宁·二模）设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则 .（用含n和x的式子表达） 【答案】 【分析】由排列组合数的性质可得，进而有，再根据二项式定理求得，且，讨论、并结合二项式展开式的应用求. 【详解】由题设，可得，故，则， 由的展开式通项为，， 所以其第二项为，故，且， 当时，，则， 即，故， 所以； 当时，，则 ， 所以. 故答案为： 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数列 题型概览 题型01等差数列 题型02等比数列 ( 题型0 1 ) 等差数列 1．（2025·辽宁·二模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁锦州·二模）（多选）已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若为等差数列，则数列也是等差数列 B．若，则数列为等比数列 C．若，则时取到最小值 D．若为等比数列，且，则 3．（2025·辽宁沈阳·二模）已知公差不为0的等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则 ． 4．（2025·辽宁·二模）已知数列的前项和满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. ( 题型0 2 ) 等比数列 1．（2025·辽宁沈阳·二模）（多选）已知数列满足，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，则是等差数列 B．若，，则是等差数列 C．若，，则是等比数列 D．若，，则是等比数列 2．（2025·辽宁·二模）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，对于数列，若，下列说法不正确的是（   ） A．存在的等比数列，使得为等比数列 B．，均存在等差数列，使得为等差数列 C．，均不存在等比数列，使得为等差数列 D．若存在等差数列，使得为等比数列，且，则的最小值为 3．（2025·辽宁鞍山·二模）设为公比为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则 . 4．（2025·辽宁·二模）记为正项数列的前项和，，为等比数列，则 . 5．（2025·辽宁·二模）设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则 .（用含n和x的式子表达） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$