6. 21.3实际问题与一元二次方程-【一飞冲天·同步训练】2024-2025学年九年级数学上册（人教版）

一冲天 参考答案 参考答案 21.3实际问题与一元二次方程 13.解：能，理由如下： 第1课时传播问题与数字问题 设参赛人数是x人 1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.B 每局比赛的总得分为2分， 8.x(x-1)=552 则(r。1D×2=240, 2 9.解：设这个数是x, 解得x1=16,x2=一15（舍去）. 由题意得：x2-36=x+6, 所有参赛选手的得分总和能为240分，参赛人数 解得x1=7,x2=一6， 是16人. 14.解：(1)设每轮传播中平均一台电脑传播x台电脑中 .这个数为7或-6. 了病毒， 10,解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最 依题意，得：1十x十x(x十1)=25， 小数的差为16，设最小数为x,则最大数为x+16, 整理，得：x2+2x一24=0， 根据题意得：x(x+16)=192, 解得x1=4,x1=一6（舍去）. 解得x=8,x=一24（含去）， .每轮传播中平均一台电脑传播4台电脑中了 故最小的三个数为8,9,10， 病毒 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为15， (2)25+25×4=125(台). 16,17, ,∴，经过三轮传播后共有125台电脑中了病毒. 15.解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x,则十位数 第3行三个数比上一行三个数分别大7，即为22,23， 字为x一3. 24, 依题意，得10(x一3)十x=x2, ,.这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23 解得x1=5,x=6. +24=144. 当x=5时，周瑜的年龄25岁，25<30，非而立之年， 11.解：设每行的座位数为x,根据题意可得： 不合题意，舍去： x(x+16)=1161, 当x=6时，周瑜年龄为36岁，符合题意. 则x2+16x-1161=0 .周瑜去世时的年龄为36岁 (.x-27)(x+43)=0, 第2课时变化率问题与销售问题 解得无1=27，x=一43（舍去）， 1,A2.B3.A4.C5.B .每行的座位数为27. 6.D第三季度的产值比第一季度的产值增长了(1十 12.解：设原两位数的个位数字为x,则十位数字为9一x x%)X(1十x%)-1=(2+x%)x%. 由题意得： 7.C [10.x+(9-x)][10(9-x)+x]=1458, 8.(40-x)(20+2.x)=1200 整理，得(x-8)(x一1)=0， 9.500(1-x)(1-2x)=240 解得x=8或x=1, 10.20设每次倒出的液体为xL, 答：原来的两位数是81或18. 一冲天 参考答聚 参考答案 由题意可列：40-x-40上·x=10, 依题意得：180x+60(x-15)-8880≥2220， 40 解得x≥50. 解得x=60(舍)，x1=20, ∴.牦牛肉每斤至少卖50元： .每次倒出的液体为20L (2)由(1)知牦牛肉每斤至少卖50元，黄牛肉每斤卖 11.10146.41 35元. 12.解：(1)设平均每年下调的百分率为x, 根据题意得：6500(1-x)2=5265, 依题意得：501-a%)×180×(1-号a%)=5×(35 解得无1=0.1=10%，x=1.9(舍去)， -3)×60X1-9%0+350, 则平均每年下调的百分率为10%， (2)如果下调的百分率相同，2023年的房价为5265 解得a=10. ×(1-10%)=4738.5(元/米) ∴a的值为10. 则100平方米的住房总房款为 第3课时几何图形问题 100×4738.5=473850(元)=47.385（万元）， 1.C2B3.B4.D5.C6B7.D8号 20+30>47.385, 9.解：设AD=r米，则AB=10,米， 张强的愿望可以实现 2 13.解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 依题意得：x.10,-1=50. 2 x,根据题意，得10(1十x)2=12.1, 整理得：x2-100x十900=0， 解得x1=0.1=10%,=一2.1（舍去） 解得x1=10,x=90, .该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%： :a=20,且x≤a, (2)今年6月份的快递投递任务是 =90舍去. 12.1×(1+10%)=13.31(万件). ∴利用旧墙AD的长为10米， :平均每人每月最多可投递0.6万件， 10.解：(1)设P,Q两点从出发经过x秒 .21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是 时四边形PBCQ的面积为33cm', 0.6×21=12.6<13.31, .该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今 0r<9 年6月份的快递投递任务。 则PB=(16-3.x)cm, ÷需要增加业务员(13.31-126)÷0.6=1”≈2（人. QC=2r cm, 60 .至少需婴增加2名业务员。 根据梯形的面积公式得号(16-3x十2x)×6=3. 14,解：(1)设牦牛肉每斤卖x元，则每斤黄牛肉为(x一 解得x=5, 15)元. ∴，P,Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的 :购进牦牛肉和黄牛肉240斤，其中牦牛肉和黄牛 面积为33cm: 肉的质量之比为3：1， (2)设P,Q两点从出发经过1秒时，点P,Q间的距 .购进牦牛肉180斤购进黄牛肉60斤， 离是10cm,0<13· 16 一冲天 参考答案 参考答案 作QE⊥AB,垂足为点E, 则QE=AD=6,PQ=10. ,PA=31,CQ=BE=21, .PE=AB-AP-BE=116-5t, 要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或 由勾股定理，得(16-5)°+6=102， ∠PBQ=90°， 解得41=4.8,4=1.6. ①若∠PQB=90°，则有PQ+BQ=PB, 从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离 即：22+[(6-2t)2+2]=(6-)2+(2-1), 是10cm. 整理得：41一81=0， 11.解：(1)设经过x秒后，△PBQ面积为6cm, 解得1=0（舍去），4=2,1=2， 则AP=xcm,BQ=2xcm, ②若∠PBQ=90°，则有PB+QB=PQ, .BP=(5-x)cm, .[(6-1)2+(2-1)2]+[(6-21)2+22]=212, 号×6-0X2r=6. 整理得：t-101+20=0,解得1=5士5. ∴.当t=2或t=5+5或t=5-√5时，△PQB为直 整理得：x2-5x十6=0， 角三角形 解得x=2或x=3. .2秒或3秒后，△PBQ的面积等于6cm: (2)当PQ=5时，在R1△PBQ中， BP2+BQ=PQ. .(5-x)+(2x)2=5, 解得x1=0(含去)，x2=2, .2秒后，PQ的长度等于5cm (3)2×(5-x)X2x=8, 整理得：x2-5x+8=0, △=25一32=一7<0，此时方程无解， ∴.△PBQ的面积不能等于8cm. 12.6 13.2或5+√5或5-5 作PG⊥OC于点G,在R1△POG中， :∠POQ=45°，.∠OPG=45°， OP=21,∴.OG=PG=1,.点P(t,t), 又Q(2t,0),B(6,2), 根据勾股定理可得：PB=(6一)+(2一t)产， QB2=(6-2)2+22,PQ2=(21-t)2+2=2r2,同步训练九年级数学（全一册）》 一冲天 21.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 传播问题与数字问题 4.一个两位数等于它的十位数与个位数的和的 A 基础过关 平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5， 则这个两位数是 1.某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长 A.27 B.72 出同样数目的小分支，主千、枝干和小分支总 C.27或16 D.-27或-16 数是43.若设主干长出x个枝干，则可列方程 5.在一次数学兴趣小组活动中，每两名学生握手 为 A.(1+x)43 一次，但小明因中途有事离开，他记得有3人 没有和他握过手，经统计所有握手共42次.若 B.x(1十x)=43 C.x2+2x+1=43 设参加活动的学生为x名，据题意可列方程为 () D.x(x+1)+1=43 A.x(.x-1)3=42 2.某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每 1 一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知 B2(x+1)-3=42 共举行了28场比赛，若设参加比赛的球队数 为x,则可列方程为 2x(x-1)-3=42 A.x(x-1)=28 D.2x(x-1)+3=42 B.x(x+1)=28 6.一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且 C.2r(xD=28 这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍， D.2x(x+1)=28 这个两位数是 A.36 B.63 C.36或63 B D.-36或-63 随堂检测 7.有2人患了流感，经过两轮传染后共有98人 3.为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决 患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x 定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传 人，则x的值为 播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀 A.5 B.6 C.7 D.8 请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n8.2019~2020赛季中国男子篮球职业联赛 个互不相同的好友转发，依此类推.已知经过 (CBA),继续采用双循环制（每两队之间都进 两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动， 行两场比赛)，总比赛场数为552场.求有多少 则n的值为 支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列 A.9 B.10 C.11 D.12 方程为 一心冲天 第二十一章一元二次方程 9.已知一个数的平方与36的差等于这个数与611.某剧场共有1161个座位，已知每行的座位数 的和，求这个数 都相同，且每行的座位数比总行数少16，求每 行的座位数 飞冲天 10.如图所示的是某月的日历表，在此日历表上 12.关个两位数的两个数字之和为9，把这个两位 可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9 数的个位数字与十位数字互换得到一个新的 个数（如6,7,8,13,14,15,20,21,22）.若圈出 两位数，它与原两位数的积为1458，求原 的9个数，最大数与最小数的积为192，求这 两位数. 9个数的和。 川一二三四五六 123 4 567891011 12131415161718 19202122232425 2627282930 31 飞冲天 ※ 同步训练九年级数学（全一册）》 一冲天 13.某校举办中国象棋比赛，比赛形式为单循环 (即每两人之间只比赛一次)，每局比赛胜者 能力提升 得2分，负者得0分：如果下成平局，则各得1 15.读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世 分.试问：所有参赛选手的得分总和能否为 时的年龄) 240分？如果能，参赛人数有多少人？若不 大江东去浪淘尽，千古风流数人物： 能，说明理由 冲天 而立之年督东吴，早逝英年两位数： 十位恰小个位三，个位平方与寿符： 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 14.电脑病毒是可以传播的.调查发现有一台电 冲天 脑中了病毒，经过两轮传播后共有25台电脑 中了病毒. (1)试求每轮传播中平均一台电脑传播多少 台电脑中了病毒： (2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传播 后共有多少台电脑中了病毒 飞冲天 一冲天 一元二次方程 第2课时 变化率问题与销售问题 A.10% B.-10% 基础过关 C.9.5% D.-9.5% 1,某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的 4.为执行“均衡教育”政策，某区2021年投入教 关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元：若每 育经费7000万元，预计2023年投入2.317亿 盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使 元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率 每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？ 为x,则下列方程正确的是 () 设每盆多植x株，则可以列出的方程是( A.7000(1+x2)=23170 A.(3+x)(40.5.x)-15 B.7000+7000(1+x)+7000(1+x)2=23170 B.(.x+3(4+0.5x)=15 C.7000(1+x)2=23170 C.(.x+4)(3-0.5.x)=15 D.7000(12.x)=23170 D.(x+1)(4-0.5x)=15 5.某商品进货价为每件50元，售价每件90元时 2.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨 平均每天可售出20件，经调查发现，如果每件 了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌 降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若 了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停.已知 每天想盈利1000元，设每件降价x元，可列出 一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原 的方程为 价，若这两天此股票股价的平均增长率为x, A.(40-x)(20+x)=1000 则x满足的方程是 B.(40-x)(20+2.x)=1000 A1+)-8 C.(40-x)(20-x)=1000 D.(40-x)(20+4x)=1000 B.(1+x)2=10 6.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增 长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产 c1+2x-8 值增长了x%,则第三季度的产值比第一季度 D,1+2.x=10 的产值增长了 A.2x% B.1十2x% 随堂检测 C.(1十x%)x% 3.某商品原售价是100元，经过连续两次降价后 D.(2+x%)x% 售价为81元，如果每次降价的百分率均相同， 7.为迎接“双十一”促销活动，某服装店从10月 则每次降价的百分率是 份开始对秋装进行“折上折”（两次打折数相 同步训练九年级数学（全一册）》 一冲天 同)优惠活动，已知一件原价500元的秋装，优12.2020年，某市某楼盘以每平方米6500元的均 惠后实际仅需320元.设该店秋装原本打x 价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为 折，则有 了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连 A.500(1-2x)=320 续两年下调后，2022年的均价为每平方米 B.500(1-x)2=320 5265元. (1)求平均每年下调的百分率： C.50(02=320 (2)假设2023年的均价仍然下调相同的百分 D.500(1- )=320 率，张强准备购买一套100平方米的住 房，他持有现金20万元，可以在银行贷款 8.新世纪百货大楼某品牌童装平均每天可售出 30万元，张强的愿望能否实现？（房价每 20件，每件盈利0元.为了迎接“六一”儿童 平方米按照均价计算) 节，商场决定采取适当的降价措施.经调查，如 果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售 出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200 元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应 降价x元，可列方程为 9.一批上衣，每件原价500元，第一次降价后，销 售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价 后的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结 果这批上衣以每件240元的价格迅速出售，设 第一次降价的百分率为x,则可列方程 为 10.一个容器盛满纯药液40L,第一次倒出若干 冲天 升后，用水加满：第二次又倒出同样体积的溶 液，这时容器里只剩下纯药液10L,则每次倒 出的液体为 L 11.已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产 品从现在的年产量100万台提高到121万 台，那么每年平均增长的百分数是 %. 按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年 产量应为 万台 一冲天 第二十一章一元二次方程 13.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行 业的高度发展，据凋查，长沙市某家小型“大 能力提升 学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五 14.藏族小伙小游在九寨沟开店做牛肉生意，根 月份完成投递的快递总件数分别为10万件 据协议，每天他会用8880元购进牦牛肉和黄 和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递 牛肉240斤，其中牦牛肉和黄牛肉的质量之 总件数的增长率相同。 比为3：1，已知每斤牦牛肉的售价比每斤黄 (1)求该快递公司投递总件数的月平均增 牛肉的售价多15元，预计当天可全部售完. 长率； (1)若小游预计每天盈利不低于2220元，则 (2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件， 牦牛肉每斤至少卖多少元？ 那么该公司现有的21名快递投递业务员 (2)若牦牛肉和黄牛肉均在(1)的条件下以最 能否完成令年6月份的快递投递任务？ 低价格销售，但8月份因为九寨沟地震， 如果不能，请问至少需要增加几名业 游客大量减少，导致牛肉滞销，小游决定 务员？ 降价销售每天进购的牛肉，已知牦牛肉的 单价下降a%(其中a>0),但销量还是比 进购量下降了号a%,黄牛肉每斤下降了3 元，销量比进购量下降了。%，最终每天 牦牛肉的销售额比黄牛肉销售额的5倍 还多350元，求a的值， ※ 同步训练九年级数学（全一册） 一冲天 第3课时 几何图形问题 面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？（备 基础过关 注：1丈=10尺)设芦苇长x尺，则可列方程为 1.在一幅长60dm,宽40dm的庆祝中华人民共和 国成立70周年宣传海报四周镶上相同宽度的 A.x2+102=(.x+1) 金色纸片制成一幅矩形挂图.要使整个挂图的 B.(x-1)2+52=x2 面积为2800dm2,设金色纸片的宽为xdm,则 C.x+52=(x-1)9 可列出的方程为 D.x2+1=(x-1)2 A.x2+100x400=0 4.如图，把长40cm,宽30cm的长方形纸板剪掉 B.x2-100x-400=0 2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即为 C.x2+50.x-100=0 剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长 D.x2-50.x-100=0 方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm(纸 2.如图，靠墙建一个面积为 板的厚度忽略不计)，若折成长方体盒子的表 100平方米的仓库，并在与 面积是950cm2,则x的值是 墙平行的一边开一道宽1米 的门，现有长28米的木板，设仓库宽为 根据题意，下面所列方程正确的是 40 cm A.x(28-2x)=100 A.3 B.4 C.4.8 B.x(28-2x+1)=100 5.如图，某小区在一块长为16m, C.x(28-x)=100 宽为9m的矩形空地上新修 D.x(28-x+1)=100 三条宽度相同的小路，其中 B 随堂检测 一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另 一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花 3.《九章算术》勾股章有一“引葭 草区域占地面积为120m.设小路的宽度为 赴岸”问题：“今有池方一丈，葭 xm,则下列方程： 生其中央，出水一尺，引葭赴 ①(16-2.x)(9-x)=120 岸，适与岸齐.问：水深，葭长各 ②16×9-9×2.x-(16-2x).x=120 几何？”意思是：有一个水池，水 面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央 ③16×9-9×2.x-16.x+x2=120 有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦 其中正确的是 苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水 A.① B.② C.①② D.①②③ 一冲天 第二十一章 一元二次方程 6.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对10.如图，A、B、C、D为矩形的四 角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平 个顶点，AB=16cm,AD= 移，得到△A'B'C',若两个三角形重叠部分的面 6cm,动点P、Q分别从点A、 积为1cm,则它移动的距离AA'等于( C同时出发，点P以3cm/s 的速度向点B移动，一直到 达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向点D移动 (1)P,Q两点从出发开始到几秒时，四边形 A.0.5 cm PBCQ的面积为33cm: B.1 cm C.1.5 em D.2 cm (2)P,Q两点从出发开始到几秒时，点P和 7.若一个直角三角形的两条直角边长之和为14， 点Q的距离是10cm. 面积为24，则其斜边的长是 A.27B.42 C.8 D.10 8.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图 所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A =30°，∠B=90°，BC=6米.当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE 米时，有 DC=AE+BC. 9.如图，空地上有一段长为a米的旧墙MN,某 人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD. 已知a=20,矩形菜园的一边靠墙，另三边一 共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为 飞冲天 450平方米.求所利用旧墙AD的长 ※ 同步训练九年级数学（全一册） 一冲天 11.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC =7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以 能力提升 1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC 12.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC= 边向点C以2cm/s的速度移动. 16cm,AD为BC边上的高，动点P从点A出 (1)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几 秒后，△PBQ的面积等于6cm? 发，沿A→D方向以2cm/s的速度向点D运 (2)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几 动.设△ABP的面积为S,矩形PDFE的面 积为S,运动时间为t秒，则t= 秒后，PQ的长度等于5cm? (3)在(1)中，△PBQ的面积能否等于8cm? 时，S,=2S 说明理由. Q 13.在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A (0,2)、C(6,0)作矩形OABC,∠AOC的平分 线交AB于点D,点P从点O出发，以每秒 ●2个单位长度的速度沿射线OD方向移动： 同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度 的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为 t秒，当t为 秒时，△PQB为直角三 角形.