第03讲 实际问题与一元二次方程（知识清单+9大题型+好题必刷）- 【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第03讲 实际问题与一元二次方程（知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型七 行程问题(一元二次方程的应用) 题型八 其他问题(一元二次方程的应用) 题型九 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 知识清单 知识点1：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型方法 【题型一】传播问题(一元二次方程的应用) 【例1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为 ． 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【题型二】增长率问题(一元二次方程的应用) 【例2】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为，则列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期末）某污水净化站今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，则这两个月净化污水量每月的平均增长率为 ． 3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册． (1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率． (2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？ 【题型三】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例3】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，将矩形纸片按照如图所示的方式折叠，点A，点C恰好落在对角线上，得到菱形．若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为，则修建的路宽应为_____米． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地面积的，则此时通道的宽为 ． 3．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）现有可建造围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为． (1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，和的长分别为多少米？ (2)能否围成总面积为的仓库？说说你的理由． 【题型四】数字问题(一元二次方程的应用) 【例4】（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【题型五】营销问题(一元二次方程的应用) 【例5】（24-25九年级上·山东青岛·期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米，每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售．根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱．若要使顾客尽量得到实惠，且该店铺每天获得的利润为1050元，则每箱小米应降价（  ） A．5元 B．15元 C．20元 D．25元 2．（24-25九年级上·黑龙江鹤岗·期中）某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 3．（2024·广东梅州·三模）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 【题型六】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例6】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（    ） A． B． C． D．或 【举一反三】 1．（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【题型七】行程问题(一元二次方程的应用) 【例7】（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【题型八】其他问题(一元二次方程的应用) 【例8】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）月日，“竣越杯”湖南省青少年篮球超级联赛在长沙市六中开幕，本届赛事采取了主客场的赛制进行，即每两个队之间要进行两场比赛．最终，来自各地的多支本土校园篮球劲旅在为期一个月的时间内展开了场比赛．若设共有支本土校园篮球劲旅参加比赛，则满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）某篮球队为培养学生团结友爱的良好品质，组织一次握手游戏，每两个人握一次手，共握手36次，则篮球队有 人． 3．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）（1）某学校组织一次篮球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛一场，计划安排28场比赛，求共有几支球队参加比赛？ （2）如图，线段上共有7个点（包括端点），则图中共有________________条线段； （3）若一个边形共有20条对角线，则_______________． 【题型九】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例9】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ） A．7 B．10 C．12 D．20 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间都比赛一场，共需安排21场比赛．设七年级共有个班，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）在本届全市青少年校园足球比赛中，每两支足球队之间都要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有30场比赛，则参加本届足球比赛的足球队共有 支． 3 ．（24-25九年级上·广东江门·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 好题必刷 一、单选题 1．某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是（　　） A．x2+130x﹣1400=0 B．x2﹣130x﹣1400=0 C．x2+65x﹣250=0 D．x2﹣65x﹣250=0 3．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场(  ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4．我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用发微信的方式表示祝贺，班长说：每位同学都要发微信给其他同学，结果全班学生共发微信870条．问：该班共有多少个学生？如设该班共有x个学生，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．方程的整数解有（   ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 6．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．某镇2012年投入教育经费2000万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为x，预计到2014年共投入9500万元，则下列方程正确的是(　　) A．2000x2=9500 B．2000(1+x)2=9500 C．2000(1+x)=9500 D．2000+2000(1+x)+2000(1+x)2=9500 8．某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x，则可列方程为（  ）． A．95=15（1+x）2 B．15（1+x）3=95 C．15（1+x）+15（1+x）2=95 D．15+15（1+x）+15（1+x）2=95 9．把一块长与宽之比为2∶1的铁皮的四角各剪去一个边长为10 cm的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子．如果这个盒子的容积是1 500 cm3，那么铁皮的长和宽各是多少？若设铁皮的宽为x cm，则正确的方程是(　　) A．(2x－20)(x－20)＝1 500 B．(2x－10)(x－20)＝1 500 C．10(2x－20)(x－20)＝1 500 D．10(x－10)(x－20)＝1 500 10．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（    ） A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800 二、填空题 11．某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增长率都为x，则根据题意，可建立关于x的方程是 ． 12．《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 13．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 ． 14．据美国约翰斯霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据实时统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万．已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了 人． 15．某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月增长的百分率 . 16．某西瓜经营户以元/千克的价格购进一批小型西瓜，以元/千克的价格出售，每天可售出千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克．另外，每天的房租等固定成本共元．该经营户要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低 元． 17．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第一个月他们就募集到资金1万元，随着影响的扩大，第(≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次突破10万元时，相应的的值为 ．(参考数据:，，) 18．如图，在正方形中，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动，连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），当四边形是轴对称图形时，则的值为 ． 三、解答题 19．某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆. （1）当售价为万元/辆时，平均每周的销售利润为___________万元； （2）若该店计划平均每周的销售利润是万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价． 20．如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．    （1）这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是720 的无盖长方体纸盒，求x的值． 21．一个长方形牧场的面积为平方米，长比宽多米．这个牧场的周长是多少米？ 22．如图，工人师傅为了修屋顶，把一架梯子搁在墙上．已知梯子长米，墙高，梯子底端点离墙的距离是的2倍，求墙高． 23．用条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x厘米． （1）若矩形的面积为96平方厘米，求x的值； （2）矩形的面积是否可以为101平方厘米？如果能，请求x的值；如果不能，请说明理由． 24．某商场销售某种冰箱，每台进货价为元，标价为元： (1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以元售出，求每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每台售价为元时，平均每天能售出台，当每台售价每降元时，平均每天就能多售出台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 25．张华参加市义工联组织的扶贫义卖活动，在批发部购买义卖商品时，业内人士提醒：“批发价为16元，如按20元出售时，就能卖出100个;在此基础上，如售价每涨1元，其销售量就会减少10个”．张华要完成赚得480元利润的任务，应将售价定为高出20元多少元？因此需要从批发部购进该商品的个数为多少？ 26．谁能量出道路的宽度: 如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花圃EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度? 请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 实际问题与一元二次方程（知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型七 行程问题(一元二次方程的应用) 题型八 其他问题(一元二次方程的应用) 题型九 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 知识清单 知识点1：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型方法 【题型一】传播问题(一元二次方程的应用) 【例1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， ∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人， ∴， 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 故每个支干长出个小分支， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为 ． 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．根据“转发两轮后共有91人被邀请参与该活动”列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)第三轮将又有448人被传染 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人数7即可． 【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得 ， 解得或(舍)． 答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染． 那么第三轮被传染的人数为人． 答：第三轮将又有448人被传染． 【题型二】增长率问题(一元二次方程的应用) 【例2】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为，则列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于掌握用一元二次方程解决增长率问题常用的等量关系，其中为原来的基础，为变化后的量，为增长率，为连续增长的次数．先列出第一次降价后售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价后售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程． 【详解】解：依题意得：第一次降价后售价为：， 则第二次降价后的售价为：， ∴， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解：设平均每月的增长率为，则二月份的产值为：，三月份的产值为：， 根据题意得：． 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期末）某污水净化站今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，则这两个月净化污水量每月的平均增长率为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两个月净化污水量每月的平均增长率为x，根据今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这两个月净化污水量每月的平均增长率为， 由题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册． (1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率． (2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？ 【答案】(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率 (2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是864册 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论； （2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量． 【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 该校这两个月藏书的月均增长率为； （2）解；（册）， 所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是册． 【题型三】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例3】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，将矩形纸片按照如图所示的方式折叠，点A，点C恰好落在对角线上，得到菱形．若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】设菱形的对角线交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，即折叠后，点落在点处，同理可得，即折叠后，点落在点处，再设，则，在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，设菱形的对角线交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠后，点恰好落在对角线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即折叠后，点落在点处， 同理可得：，即折叠后，点落在点处， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为，则修建的路宽应为_____米． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题点关键． 设修建的路宽应为米，列方程得到，即可得到答案． 【详解】解：设修建的路宽应为米， 根据题意列方程得， 故选：B． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地面积的，则此时通道的宽为 ． 【答案】5m 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 先设通道的宽为，再根据花圃面积所占整个矩形空地面积的列出方程，求出解即可. 【详解】解：设通道的宽为，根据题意，得 ， 解得（舍去）， 所以通道的宽为. 故答案为：. 3．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）现有可建造围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为． (1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，和的长分别为多少米？ (2)能否围成总面积为的仓库？说说你的理由． 【答案】(1)能，的长为，的长为；或的长为，的长为； (2)不能围成面积为的仓库，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程与几何图形的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设，则，根据矩形面积公式列出方程求解即可； （2）设，则，根据矩形面积公式列出方程，看方程是否有解即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得：， 解得：或， ∵， ∴和都满足题意， ∴当时，； 当时，； ∴当，能围成总面积为的仓库，的长为，的长为；或的长为，的长为； （2）解：不能围成面积为的仓库，理由如下： 设，则， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴此方程无实数根，即不能围成面积为的仓库． 【题型四】数字问题(一元二次方程的应用) 【例4】（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这两个奇数分别为，由题意得方程，求得n的值，即可求得这两个奇数的和． 【详解】解：设这两个奇数分别为， 由题意得：， 即， 解得：， 而， 故两个奇数和为：或28； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜逝世年龄的个位数字为，根据题意列出方程即可． 【详解】设周瑜逝世年龄的个位数字为， 根据题意得，． 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见详解 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是x，则最大数是，根据题意列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，，根据题意列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：设最小数是x，则最大数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 答：最小数是10； （2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【题型五】营销问题(一元二次方程的应用) 【例5】（24-25九年级上·山东青岛·期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，明确题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米，每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售．根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱．若要使顾客尽量得到实惠，且该店铺每天获得的利润为1050元，则每箱小米应降价（  ） A．5元 B．15元 C．20元 D．25元 【答案】D 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先设每箱小米应降价元．因为每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则，再解出方程，即可作答． 【详解】解：设每箱小米应降价元， 根据题意，得， 解得，， ∵要使顾客尽量得到实惠， ∴不合题意，舍去， ∴每箱小米应降价25元． 故选：D 2．（24-25九年级上·黑龙江鹤岗·期中）某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（营销问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设该小家电每个定价是元，根据“每个利润销量总利润”可得，解方程即可求出的值，再结合“定价不得超过55元”，即可得出答案． 【详解】解：设该小家电每个定价是元， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，， 定价不得超过55元， ， 即：该小家电每个定价是元， 故答案为：． 3．（2024·广东梅州·三模）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 【答案】(1)四、五这两个月的月平均增长率； (2)当商品降价5元时，商场月获利4250元． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设四月，五月的月平均增长率为x，根据题意，得，解方程即可； （2）设降价m元，商场月获利4250元，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：四、五这两个月的月平均增长率； （2）解：设降价m元，商场月获利4250元， 根据题意，得 ， 解得，（舍去）， 答：当商品降价5元时，商场月获利4250元． 【题型六】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例6】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设经过，P、Q之间的距离等于，先用含x的代数式分别表示和的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可． 【详解】设后P、Q之间的距离等于， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 需要经过． 故选：A． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形，得出数量关系，列出方程求解．设当运动时间为时，，，，根据，解方程即可求解； 【详解】，． 当运动时间为时，，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 秒时的面积是． 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当运动时间为时，，利用勾股定理，结合，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得： 不符合题意，舍去，， 的值为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)时，的长度等于 (3)存在的值，使得五边形的面积等于，此时， 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积等于长方形面积减去的面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵点的速度为，点的速度为，运动时间为秒， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴当时，， 解得：或（舍去）， ∴当时，的长度等于． （3）解：∵五边形的面积等于，五边形的面积等于长方形面积减去的面积， ∴， 解得：，， ∵当点运动到点时，两点停止运动，， ∴， ∴， ∴存在的值，使得五边形的面积等于，此时，． 【题型七】行程问题(一元二次方程的应用) 【例7】（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ． 故选：A． 2．（2024九年级·全国·竞赛）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是有关环形跑道的问题，解决本题的关键是设环形跑道周长为，根据甲、乙两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系．设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，根据望望和王老师两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系，然后将方程恒等变形后解方程就可解决问题． 【详解】解：设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，则 ， 整理得， 解得（舍去）或． 则王老师的速度与望望的速度之比为， 故答案为： 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 【题型八】其他问题(一元二次方程的应用) 【例8】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要送出张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张， ∴总共送的张数应该是张 即 故选：C 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）月日，“竣越杯”湖南省青少年篮球超级联赛在长沙市六中开幕，本届赛事采取了主客场的赛制进行，即每两个队之间要进行两场比赛．最终，来自各地的多支本土校园篮球劲旅在为期一个月的时间内展开了场比赛．若设共有支本土校园篮球劲旅参加比赛，则满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 设共有个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛场，可列出方程，即可解答． 【详解】解：根据题意得， 故选：D ． 2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）某篮球队为培养学生团结友爱的良好品质，组织一次握手游戏，每两个人握一次手，共握手36次，则篮球队有 人． 【答案】9 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设篮球队有x人，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设篮球队有x人，根据题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， 故篮球队有9人， 故答案为：9． 3．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）（1）某学校组织一次篮球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛一场，计划安排28场比赛，求共有几支球队参加比赛？ （2）如图，线段上共有7个点（包括端点），则图中共有________________条线段； （3）若一个边形共有20条对角线，则_______________． 【答案】（1）8支；（2）21；（3）8 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，线段的计数方法，边形对角线公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可解题． （2）根据线段的计数方法无遗漏的数出所有线段，即可解题； （3）根据边形对角线公式为，列式计算，即可解题． 【详解】解：（1）设共有支球队参加比赛， 根据题意有， 解得或（不合题意，舍去）， （2）因为线段上共有7个点（包括端点）， 所以图中所有线段个数为：（条）， 故答案为：； （3）因为一个边形共有20条对角线， 所以， 解得或（不合题意，舍去）， 故答案为：． 【题型九】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例9】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ） A．7 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设这次会议参加的人数是x人，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这次会议参加的人数是x人， 根据题意，得， 解得， 故这次会议参加的人数是10人， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间都比赛一场，共需安排21场比赛．设七年级共有个班，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据赛制为每两班之间都比赛一场，共需安排21场比赛，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设七年级共有个班，根据题意得： 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）在本届全市青少年校园足球比赛中，每两支足球队之间都要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有30场比赛，则参加本届足球比赛的足球队共有 支． 【答案】6 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有x个足球队，比赛场次共有场，再根据共有30场比赛来列出方程，从而求解． 【详解】解：设有x个足球队参加， 根据题意得：， 整理得， ∴， 解得：，（舍去）； ∴共有6个足球队参加比赛． 故答案为：6． 33．（24-25九年级上·广东江门·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 【答案】5个 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． 设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这航空公司共有x个飞机场，根据题意，得： 整理，得： 解得，（不符合题意，舍去）， 答：航空公司共有5个飞机场． 好题必刷 一、单选题 1．某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打场球，每个球队都打场球，并且都重复一次，根据计划安排15场比赛即可列出方程求解． 【详解】解：设共有x个班级参赛，根据题意得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， 则共有6个班级参赛， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程． 2．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是（　　） A．x2+130x﹣1400=0 B．x2﹣130x﹣1400=0 C．x2+65x﹣250=0 D．x2﹣65x﹣250=0 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，根据整个挂图的面积是5000cm2，即长×宽=5000，列方程进行化简即可． 【详解】解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm； 所以（80+2x）（50+2x）=5000， 即4x2+160x+4000+100x=5000， 所以4x2+260x-1000=0． 即x2+65x-250=0． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据面积列方程是解题的关键． 3．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场(  ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：设这个航空公司共有飞机场共有x个． x(x−1)＝15×2， 解得x₁＝5，x₂＝−4（不合题意，舍去）． 答：这个航空公司共有飞机场共有5个． 故选B． 4．我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用发微信的方式表示祝贺，班长说：每位同学都要发微信给其他同学，结果全班学生共发微信870条．问：该班共有多少个学生？如设该班共有x个学生，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设全班有x名同学，根据每位同学都要发微信给其他同学，结果全班学生共发微信870条可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要发微信条， 又∵是互发微信， ∴共发微信条． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要发微信条，有x个人是解决问题的关键． 5．方程的整数解有（   ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】将y看作未知数，运用一元二次方程的判别式，确定x的取值范围，从而确定一元二次方程解的情况. 【详解】解： ∵x是整数解 ∴x=-1，y2-4y+4=0，解得y=2； x=0，y2-3y=0，解得y=0或y=3； x=1，y2-2y-2=0，y没有整数解； x=2，y2-y-2=0，解得y=-1或y=2； x=3，y2=0，解得y=0. 故选D. 【点睛】本题主要考查了非一次不定方程（组），方程和不等式的相关性质，关键寻求并缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答. 6．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、动态几何问题(一元二次方程的应用)、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 7．某镇2012年投入教育经费2000万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为x，预计到2014年共投入9500万元，则下列方程正确的是(　　) A．2000x2=9500 B．2000(1+x)2=9500 C．2000(1+x)=9500 D．2000+2000(1+x)+2000(1+x)2=9500 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2012年投入2000万元，预计到2014年投入9500万元即可得出方程． 【详解】依题意得 2013年投入为2000(x+1)，2014年投入为2000(1+x)2， ∴2000+2000(x+1)+2000(1+x)2=9500． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律． 8．某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x，则可列方程为（  ）． A．95=15（1+x）2 B．15（1+x）3=95 C．15（1+x）+15（1+x）2=95 D．15+15（1+x）+15（1+x）2=95 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】二月份的产值是以一月份为基础的，为15×(1+x)万元，三月份是以二月份产值为基础而增长的，故为15×(1+x)×(1+x)，本题95万元是三个月的总产值，据此列出方程：15+15（1+x）+15（1+x）2=95. 【详解】一月份的产值为15万元， 二月份的产值为15×(1+x)万元， 三月份的产值为为15×(1+x)2， 根据题意列出方程：15+15(1+x)+15(1+x)2=95. 【点睛】本题中，理解二月份产值增长是以一月份为基础、三月份产值增长是以二月份为基础，这是关键点；此外，还要注意题干中95万元是三个月的总产值，不要当做三月份的产值. 9．把一块长与宽之比为2∶1的铁皮的四角各剪去一个边长为10 cm的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子．如果这个盒子的容积是1 500 cm3，那么铁皮的长和宽各是多少？若设铁皮的宽为x cm，则正确的方程是(　　) A．(2x－20)(x－20)＝1 500 B．(2x－10)(x－20)＝1 500 C．10(2x－20)(x－20)＝1 500 D．10(x－10)(x－20)＝1 500 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【详解】由题意，长方体盒子的高是10cm，根据设铁皮的宽为x厘米，那么铁皮的长为2x厘米， 由体积公式则可得：10（2x-20）（x-20）=1500． 故选C． 【点睛】本题中隐藏的条件是长方体盒子的高为10厘米，然后利用体积公式列出方程． 10．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（    ） A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植面积，然后根据已知条件，列出方程即可求解，图见详解 【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植面积， 由题干可知，大的矩形长为50米，宽为30米，小路宽为 米，所以种植区域的长为（ ）米，宽为（ ）米， 根据矩形面积公式可得，（50﹣2x）（30﹣x）＝800． 故选C． 【点睛】本题考查列方程，关键是把握平移的性质，构造完整的矩形，方便列出方程． 二、填空题 11．某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增长率都为x，则根据题意，可建立关于x的方程是 ． 【答案】50（1+x）2＝72． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】已知3月份印刷了50万册，平均每月的增长率是x，于是可得4月份印刷的总量为50(1+x)册；由于4月份的总印刷量是在3月份的总印刷量的基础上增长的，还可进一步表示出5月份的总印刷量；再根据5月份印刷了72万册书籍，即可列出关于x的方程，进而选出答案. 【详解】解：设每月印刷的增长率都为x， 根据题意得：50（1+x）2＝72． 故答案为50（1+x）2＝72． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，求解本题的关键是弄清各种数量之间的等量关系. 12．《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． 由题意根据勾股定理的实际应用列一元二次方程即可． 【详解】解：依题得：门的宽为尺，高为尺， 门为矩形， 有， 即． 故答案为：． 13．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 ． 【答案】20% 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：设这个增长率是x，根据题意得： 2000×（1+x）2=2880， 解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）， 故答案为20%． 14．据美国约翰斯霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据实时统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万．已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了 人． 【答案】11 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每轮传染中平均每人传染了人，再根据“经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 即每轮传染中平均每人传染了11人， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确建立方程是解题关键． 15．某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月增长的百分率 . 【答案】20℅ 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【详解】设这两个月平均每月增长的百分率是x，依题意得，5000（1+x）2=7200，解得x1= =20%，x2=- （舍去），所以这两个月平均每月增长的百分率是20%． 点睛：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，要根据实际情况确定解得取舍． 16．某西瓜经营户以元/千克的价格购进一批小型西瓜，以元/千克的价格出售，每天可售出千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克．另外，每天的房租等固定成本共元．该经营户要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低 元． 【答案】或 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3-2-x），由于这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为:200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量-固定成本=200． 【详解】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元． 根据题意，得[（3-2）-x]（200+）-24=200． 原式可化为：50x2-25x+3=0， 解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3． 故应将每千克小型西瓜的售价降低0.3或0.2元． 故答案为0.3或0.2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 17．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第一个月他们就募集到资金1万元，随着影响的扩大，第(≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次突破10万元时，相应的的值为 ．(参考数据:，，) 【答案】14 【知识点】同底数幂乘法的逆用、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据第(≥2)个月募集到的资金都将会比上个月增加20%，可表示出第(≥2)个月募集到的资金，求解即可． 【详解】第一个月募集到资金1万元，则第二个月募集到资金（1+20%）万元，第三个月募集到资金（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金（1+20%）n-1万元，由题意得： （1+20%）n-1＞10 即  1.2 n-1＞10 ∵1.26×1.27=10.8＞10 ∴n-1=6+7=13 n=14 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了增长率的问题，以及同底数幂的乘法，解题的关键是根据题意列出第n个月募集到的资金，再根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 18．如图，在正方形中，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动，连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），当四边形是轴对称图形时，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质证明得到，同理可得，则四边形是平行四边形，再证明，可得；进而分四边形为矩形、菱形分别求解即可． 【详解】解：依题意，，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点是正方形对角线的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 当时，点在上，    同理可得，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 当四边形是矩形时，， ， 解得： 当四边形是菱形时，， ， 解得舍去； 当时，如图所示，    同理可证明，四边形是平行四边形， ， ， 当四边形是矩形时，， ， 解得：， 当四边形是菱形时，， ， ， 方程无解，舍去； 综上，当四边形是轴对称图形时，的值是或． 故答案为：或． 三、解答题 19．某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆. （1）当售价为万元/辆时，平均每周的销售利润为___________万元； （2）若该店计划平均每周的销售利润是万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价． 【答案】（1）  （2）万元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算； （2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价． 【详解】（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是： ×1＋8＝14， 则此时，平均每周的销售利润是：（22−15）×14＝98（万元）； （2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得： （25−x−15）（8＋2x）＝90， 解得x1＝1，x2＝5， 当x＝1时，销售数量为8＋2×1＝10（辆）； 当x＝5时，销售数量为8＋2×5＝18（辆）， 为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25−5＝20（万元）， 答：每辆汽车的售价为20万元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数＝90万元是解决问题的关键． 20．如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．    （1）这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是720 的无盖长方体纸盒，求x的值． 【答案】（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽； （2）根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为720cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）∵纸板是长为40cm，宽为24cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形， ∴无盖纸盒的长为（40-2x）cm，宽为（24-2x）cm． 故答案为40-2x， 24-2x； （2）依题意，得：（40-2x）（24-2x）=720， 解得：x1=2，x2=30（不合题意，舍去）． 答：x的值为2． 故答案为（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．一个长方形牧场的面积为平方米，长比宽多米．这个牧场的周长是多少米？ 【答案】这个牧场的周长为米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这个牧场的宽为米，则长为米，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这个牧场的宽为米，则长为米，依题意得， ， 解得：或（舍去）， ∴这个牧场的长为米， ∴这个牧场的周长为米， 答：这个牧场的周长为米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 22．如图，工人师傅为了修屋顶，把一架梯子搁在墙上．已知梯子长米，墙高，梯子底端点离墙的距离是的2倍，求墙高． 【答案】墙高为米 【知识点】用勾股定理解三角形、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设，则，根据勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设，则，根据勾股定理得， ， 即， ∴， 即， ∴（负值舍去） 答：墙高为米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据勾股定理建立方程是解题的关键． 23．用条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x厘米． （1）若矩形的面积为96平方厘米，求x的值； （2）矩形的面积是否可以为101平方厘米？如果能，请求x的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) 8或12；(2)见解析. 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20-x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x（20-x）=96或x（20-x）=101，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案． 【详解】解：（1）根据题意得：＝96， 解得：x＝8或12， 答：x＝8或12； （2）矩形的面积不能为101平方厘米， 理由是：假设矩形的面积可以为101平方厘米， 则x（20﹣x）＝101， x2﹣20x+101＝0， △＝（﹣20）2﹣4×1×101＜0， 此方程无解， 所以矩形的面积不能为101平方厘米． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是熟练运用求根公式. 24．某商场销售某种冰箱，每台进货价为元，标价为元： (1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以元售出，求每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每台售价为元时，平均每天能售出台，当每台售价每降元时，平均每天就能多售出台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可求解； （）设每台冰箱下调个元，根据题意列出方程求出的值，进而即可求出每台冰箱的定价； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设每台冰箱下调个元， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴每台冰箱下调元， ∴每台冰箱的定价应为元． 25．张华参加市义工联组织的扶贫义卖活动，在批发部购买义卖商品时，业内人士提醒：“批发价为16元，如按20元出售时，就能卖出100个;在此基础上，如售价每涨1元，其销售量就会减少10个”．张华要完成赚得480元利润的任务，应将售价定为高出20元多少元？因此需要从批发部购进该商品的个数为多少？ 【答案】张华应将售价定为比元高出元或元，相应的购进商品个数分别为个或个． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意直接一元二次方程求解，即可得到题目所问． 【详解】解：设应将售价定为高出20元x元，则（100-10x）(4+x)，解得x=2或4，则张华应将售价定为比元高出元或元，相应的购进商品个数分别为个或个． 【点睛】本题考查了学生对一元二次方程在实际生活中的应用，掌握根据题意列方程是解决此题的关键． 26．谁能量出道路的宽度: 如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花圃EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度? 请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行． 【答案】见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设道路的宽为x，令AB=a，AD=b，则EF=a-2x，FG=b-2x，利用矩形面积公式可列出方程：（a-2x）（b-2x）=ab，求解方程得用a和b表示的x表达式，利用绳子量出a和b的长度，再依据实际表达式中的倍数关系进行推算. 【详解】设道路的宽为x，AB=a，AD=b 则（a-2x）（b-2x）=ab 解得：x= [（a+b）-] 量法为：用绳子量出AB+AD（即a+b）之长，从中减去BD之长（对角线BD=），得L=�AB+AD-BD，再将L对折两次即得到道路的宽，即． 【点睛】本题有一定难度，题干未提供任何数据，需要自行设出相关参数，本题中灵活将一元二次方程的知识运用到了实际生活中. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$