3.4圆周角与圆心角的关系 同步作业 2025—2026学年北师大版数学九年级下册　

圆周角与圆心角的关系 一、单选题 1．如图，点A，B，C在⊙O上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，是的内接三角形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，△ABC与△BCD是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，且∠ABC＝50°，则∠D的度数是（    ） A．40° B．50° C．20° D．25° 4．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 6．如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 7．如图，是工人李大爷自制的一个三角形纸板（厚度不计），已知，，，李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工件上，使得顶点A，C都在圆形工件的圆周上，将直角边与圆形工件圆周的交点记为点D，恰好发现，则该圆形工件的半径长为（    ） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 8．如图，为的直径，弦于点E，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，连接，则的度数为 ． 10．如图，四边形内接于，，，，对角线平分，则边的长为 ．   11．如图，四边形内接于圆，点在上，若，，，则为 度． 12．如图，是的直径，是的弦，于点．    （1）下列结论正确的是 ；（填序号） ①；②；③． （2）若，，则的长为 ． 三、解答题 13．如图，内接于，为的直径．，，求的长．    14．如图，是的弦，，求弦所对的圆周角的度数． 15．如图，AB为的直径，点C为AB上方上一点且，点D为AB下方上一点，点E为AD上一点，，连接BC，CD，BD． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接CE，若，，求半径的长． 16．已知中，，以为直径的交于D，交于E． (1)如图①，当为锐角时，连接，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)将图①中的边不动，边绕点A按逆时针旋转，当为钝角时，如图②，的延长线与相交于E．请问：与的数量关系是否与（1）中得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《圆周角与圆心角的关系》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B D D A A 1．D 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 2．B 【分析】根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵是的内接三角形，， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 3．A 【分析】先根据圆周角定理可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 4．B 【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键． 5．D 【分析】本题题考查了圆周角定理、以及弦、弧、圆心角的概念和联系．解题的关键是熟记与正确理解定义与定理．根据相关概念与知识点之间的联系，逐项判断．即可解题． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故选项错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； D、等弧一定是在同圆或等圆中， 等弧所对的弦相等，故选项正确，符合题意； 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案． 【详解】解：连接、， 点A是的中点， ，设垂足为点， ， ， 和所对的弧都是， ， ，且， ， ， ， 在中，,，，， ， 是的直径， ， 故选D． 7．A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，30°角的直角三角形的性质，90°的圆周角所对的弦是直径，先根据等边对等角的到，然后得到，进而求出，然后根据是圆O的直径即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是圆O的直径，即半径长为10cm， 故选A． 8．A 【分析】由得到是等腰三角形，根据垂径定理得到垂直平分，则，利用圆周角定理得到即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵为的直径，弦于点E， ∴垂直平分， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 9．/60度 【分析】直接根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解答的关键． 10． 【分析】连接，根据圆周角定理得到，利用直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，继而求出结果． 【详解】解：连接， ， 是的直径， ， 对角线平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：．    【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 11．25 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用．连接、，先根据圆内接四边形的性质求出，然后根据，求出即可解答． 【详解】解：连接、， ， ， ， ， ． 故答案为：25． 12． ①③ 2 【分析】本题考查垂径定理，同弧或等弧所对的圆心角相等，勾股定理． （1）根据垂径定理进行求解； （2）根据垂径定理得到，再根据勾股定理可求出，进而即可解答． 【详解】解：（1）∵是的直径，， ∴， ∴． 故结论①③正确． 故答案为：①③ （2）∵是的直径，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴． 故答案为：2 13．3 【分析】证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，勾股定理的应用，熟记直径所对的圆周角是直角是解本题的关键． 14．或 【分析】本题考查圆周角定理，首先根据，可得，然后根据三角形的内角和定理，判断出，最后根据圆周角定理，判断出弦所对的圆周角是多少即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角的度数是：； ∵弦所对的优弧的度数为：， ∴弦所对的圆周角的度数是：； 综上，可得弦所对的圆周角的度数是或． 15．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，结合、可得绪论 （2）根据30度所对的直角边是斜边的一半可得：， ，得，利用证明，可得结论； （3）过O作于M，先证明，求出，则 ，由， 得，设，则，，根据列等式得，再根据勾股定理可得． 【详解】（1）∵四边形ABCD是圆内接通四边形， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， （2）∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 在和 中， ∴ ， ∴； （3）过O作于M， ∴，, 又 ∵ , ∴, ∴, ∵ ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得， 即 在中，，，且， ∴， 即的半径为 【点睛】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，三角形全等的性质和判定，相似三角形的判定与性质等知识；在圆中常通过作辅助线作弦心距，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 16．(1)．理由见解析 (2)相同．理由见解析 【分析】本题考查了圆周角定理的推论、三线合一的性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握相关的性质定理是解本题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据同圆或等圆所对的圆周角相等，得出，再根据等量代换，即可得出结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据圆内接四边形的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论． 【详解】（1） 证明：如图，连接， ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：相同，证明如下： 如图，连接， ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ∵是圆内接四边形的外角， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$