4.1 整式 暑假讲义2025－2026学年七年级上册数学（人教版2024）

4.1 整式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 单项式的定义及判定 【题型二】 单项式的系数与次数 【题型三】 多项式的定义及判定 【题型四】 多项式的项、项数与次数 【题型五】 整式的判断 【题型六】 规律探究 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1掌握单项式与多项式的概念，会求单项式的系数与次数，会求多项式的次数与项数； 2 掌握整式的概念。 1 单项式 表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式. 2 多项式 几个单项式的和叫做多项式. 3 整式 单项式和单项式统称为整式. 【题型一】 单项式的定义及判定 相关知识点讲解 表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式. 比如，，，是单项式. 【典题1】（24-25七年级上·重庆·期末）下列各式：，，，，，，，中是单项式的有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 变式练习 1（24-25七年级上·福建福州·期末）下列代数式中，属于单项式的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 3（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型二】 单项式的系数与次数 相关知识点讲解 (1)单项式的系数：单项式中的数字因数； (2)单项式的次数：一个单项式中，所有字母中的指数和； 【例】 是单项式，次数为，系数为. 【典题1】（24-25七年级上·广东佛山·期中）单项式的系数和次数是（   ） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是5 C．系数是，次数是5 D．系数是5，次数是 变式练习 1（2025·上海青浦·二模）代数式的次数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（2025·上海静安·二模）单项式的系数是（    ） A． B．4 C． D． 3（24-25七年级上·广东广州·期中）单项式系数和次数分别是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 4（24-25七年级上·福建福州·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A．3和2 B．和2 C．和3 D．和3 【题型三】 多项式的定义及判定 相关知识点讲解 几个单项式的和叫做多项式.比如. 【典题1】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列式子，，，中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式练习 1（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）下列各式为多项式的是（   ） A． B． C． D． 2（2024七年级上·云南·专题练习）代数式中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3（2024七年级上·全国·专题练习）整式，，，，，中，多项式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型四】 多项式的项、项数与次数 相关知识点讲解 (1)多项式的项：多项式中每个单项式，不含字母的项叫做常数项； (2)多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，常数项的次数为； 【例】 是多项式，有项：，项数是，次数为. 【典题1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）关于多项式，下列说法正确的是（　　） A．这个多项式是六次四项式 B．四次项的系数是 C．二次项是 D．这个多项式的次数是5 【典题2】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知多项式是关于x、y的五次四项式，单项式的次数是b，c是单项式的系数，d是最小的正整数． (1)______，_____，_____，______； (2)求的值． 变式练习 1（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）多项式是（  ） A．四次三项式 B．三次五项式 C．九次三项式 D．五次三项式 2（24-25七年级上·广东·期中）关于多项式，下列说法正确的是 （    ） A．次数是3 B．次数是5 C．常数项是1 D．二次项是 3（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）下列说法错误的是（   ） A．的次数是3 B．2是单项式 C．是二次二项式 D．多项式的常数项为 4（24-25七年级上·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．系数是 B．是三次单项式 C．的次数是次 D．是二次三项式 5（24-25七年级上·四川绵阳·期末）一个含有x的二次三项式，二次项系数的平方等于4，一次项系数的绝对值等于3，常数项的倒数是它本身． (1)请写出满足条件的所有多项式，并要求每个多项式按x的次数由高到低排列； (2)满足条件的多项式一共有多少个？ 6（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m的值，并写出这个多项式； (2)将多项式按字母y的升幂排列； (3)当，时，求此多项式的值． 【题型五】 整式的判断 相关知识点讲解 单项式和单项式统称为整式. 【典题1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 变式练习 1（24-25七年级上·湖南株洲·期末）下列代数式不是整式的是（     ） A． B． C．8 D． 2（24-25六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，①a；②；③0；④；⑤，整式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3（24-25七年级上·四川绵阳·期末）观察下列各式：x，，，，，其中整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【题型六】 规律探究 【典题1】（2025·云南昭通·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【典题2】（2025·重庆渝中·二模）苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（   ） A．85 B．81 C．73 D．71 变式练习 1（2024七年级上·全国·专题练习）【学习情境·规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律推断，从到，箭头的方向应该是（   ） A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 2（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）按照如下几个数字.，给出第个数字是（   ） A． B． C． D． 3（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列图形是用黑色棋子摆成的，第①个图棋子数量为3个，第②个图棋子数量为6个，第③个图棋子数量为9个，…，按此规律推断，则第⑧个图棋子数量为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 4（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，小奕用火柴棒摆图形，第1个图形用了6根火柴棒；第2个图形用了11根火柴棒；第3个图形用了16根火柴棒……照这样的规律摆下去，第10个图形需要火柴棒的根数是（   ）    A．49根 B．50根 C．51根 D．60根 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）下列代数式中，次数为3的单项式是（    ） A． B． C． D． 2（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的有（ ） A．是整式 B．是单项式 C．不是整式 D．是多项式 3（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在代数式，，，0，，，中，单项式和多项式的个数分别是（   ） A．2，5 B．3，4 C．4，3 D．5，2 4（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）多项式的次数、项数、最高次项的系数分别是（　　） A．2，4，3 B．3，4， C．3，4，5 D．2，4， 5（23-24六年级上·山东烟台·期末）下列说法错误的是（   ） A．的次数是 B．是单项式 C．的系数是 D．是多项式 6（24-25七年级上·天津和平·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是0，次数也是0 B．的次数是6 C．0是单项式 D．是二次单项式 7（24-25七年级上·江西抚州·期中）下列说法正确的是（　　） A．0不是单项式 B．的系数是 C．的次数是3 D．是三次三项式 8（2024·云南昭通·一模）按一定规律排列的多项式：，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 9（24-25七年级上·陕西渭南·期中）已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 10（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求，的值． (2)求该多项式的各项的系数之和． 【B组---提高题】 1（24-25七年级下·广东广州·期中）观察下列等式：，，，，，，以此规律，则的和的末位数字是（   ） A．9 B．3 C．2 D．0 2（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是（　　） A． B． C． D． 3（2025·重庆·一模）有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法： ①第六次操作得到的整式为； ②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1； ③第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 整式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 单项式的定义及判定 【题型二】 单项式的系数与次数 【题型三】 多项式的定义及判定 【题型四】 多项式的项、项数与次数 【题型五】 整式的判断 【题型六】 规律探究 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1掌握单项式与多项式的概念，会求单项式的系数与次数，会求多项式的次数与项数； 2 掌握整式的概念。 1 单项式 表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式. 2 多项式 几个单项式的和叫做多项式. 3 整式 单项式和单项式统称为整式. 【题型一】 单项式的定义及判定 相关知识点讲解 表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式. 比如，，，是单项式. 【典题1】（24-25七年级上·重庆·期末）下列各式：，，，，，，，中是单项式的有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，据此可得答案． 【详解】解：在，，，，，，，中，单项式有，，，，共4个， 故选：D． 变式练习 1（24-25七年级上·福建福州·期末）下列代数式中，属于单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的定义，解题的关键是理解数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 根据单项式的定义进行分析即可． 【详解】解：、是单项式，符合题意； 、不是单项式，不符合题意； 、是多项式，不符合题意； 、是多项式，不符合题意； 故选：． 2（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式．根据单项式的概念找出单项式的个数． 【详解】解：代数式，，，，，中， 单项式有：，，，共个． 故选：A． 3（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据单项式的定义分析即可． 【详解】解：，，0是单项式； 是多项式； ，既不是单项式，也不是多项式． 故选D． 【题型二】 单项式的系数与次数 相关知识点讲解 (1)单项式的系数：单项式中的数字因数； (2)单项式的次数：一个单项式中，所有字母中的指数和； 【例】 是单项式，次数为，系数为. 【典题1】（24-25七年级上·广东佛山·期中）单项式的系数和次数是（   ） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是5 C．系数是，次数是5 D．系数是5，次数是 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式次数和系数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此可得答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故选：C． 变式练习 1（2025·上海青浦·二模）代数式的次数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据单项式次数为所有字母的指数之和解答即可． 此题主要考查了单项式的次数，根据定义直接判断得出是解题关键． 【详解】解：代数式的次数是3． 故选：C． 2（2025·上海静安·二模）单项式的系数是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式的系数的概念求解． 【详解】解：单项式的系数是， 故选：A． 3（24-25七年级上·广东广州·期中）单项式系数和次数分别是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【分析】本题考查了单项式系数和次数，根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案． 【详解】解：单项式系数与次数分别是与， 故选：B． 4（24-25七年级上·福建福州·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A．3和2 B．和2 C．和3 D．和3 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数．根据单项式：“数字与字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，其中数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的次数”，进行判断即可． 【详解】解：单项式的系数和次数分别是和3； 故选D． 【题型三】 多项式的定义及判定 相关知识点讲解 几个单项式的和叫做多项式.比如. 【典题1】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列式子，，，中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，根据定义解答即可． 【详解】解：是单项式； ，是多项式； 的分母含字母，既不是单项式，也不是多项式． 故选B． 变式练习 1（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）下列各式为多项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式，根据多项式的定义解决此题． 【详解】解：A．是单项式，不是多项式，故A不符合题意． B．是多项式，故B符合题意． C．是单项式，不是多项式，故C不符合题意． D．是单项式，不是多项式，故D不符合题意． 故选：B． 2（2024七年级上·云南·专题练习）代数式中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的判断， 根据多项式和单项式的定义解答即可．数字和字母的乘积是单项式，单独的数也是单项式；几个单项式和和叫做多项式． 【详解】代数式是单项式； 是多项式， 多项式有3个． 故选：B． 3（2024七年级上·全国·专题练习）整式，，，，，中，多项式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是多项式，掌握多项式的定义是解本题的关键．根据定义判断即可． 【详解】解：多项式有，，，共3个 故选：B． 【题型四】 多项式的项、项数与次数 相关知识点讲解 (1)多项式的项：多项式中每个单项式，不含字母的项叫做常数项； (2)多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，常数项的次数为； 【例】 是多项式，有项：，项数是，次数为. 【典题1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）关于多项式，下列说法正确的是（　　） A．这个多项式是六次四项式 B．四次项的系数是 C．二次项是 D．这个多项式的次数是5 【答案】C 【分析】本题考查多项式的相关概念，包括多项式的次数，项数以及各项的系数，解题的关键是准确理解这些概念并据此对多项式的各项进行分析． 分别分析多项式的项数，次数，各项系数，然后与各个选项进行对比判断． 【详解】A、多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数．在多项式中，的次数是，的次数是，的次数是，是常数项，次数为0．所以该多项式最高次数是4，是四次四项式，A选项错误； B、四次项是，其系数是，不是，B选项错误； C、中的次数是1，b的次数是1，该项次数是，所以二次项是，C选项正确， D、由前面分析可知这个多项式的次数是4，不是5，D选项错误． 故选：C． 【典题2】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知多项式是关于x、y的五次四项式，单项式的次数是b，c是单项式的系数，d是最小的正整数． (1)______，_____，_____，______； (2)求的值． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）由题意可得，，，，于是可得答案； （2）将、、、的值代入求值即可． 【详解】（1）解：多项式是关于x、y的五次四项式，单项式的次数是b，c是单项式的系数，d是最小的正整数， ，，，， ，，，， 故答案为：，，，； （2）解：，，，， ． 【点睛】本题主要考查了多项式的项、项数或次数，单项式的系数、次数，有理数的分类，代数式求值，含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握单项式及多项式的相关概念是解题的关键． 变式练习 1（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）多项式是（  ） A．四次三项式 B．三次五项式 C．九次三项式 D．五次三项式 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数和项的定义，解题的关键是弄清多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是单项式的个数． 根据多项式的定义，若干个单项式的和组成的式子叫做多项式．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 【详解】解：根据多项式的定义可知，多项式是五次三项式， 故选D． 2（24-25七年级上·广东·期中）关于多项式，下列说法正确的是 （    ） A．次数是3 B．次数是5 C．常数项是1 D．二次项是 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式的次数与项，熟练掌握多项式的次数与项是解题的关键．根据多项式的次数、项可进行求解． 【详解】解：多项式的次数是3，常数项是，二次项是； 故选：A． 3（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）下列说法错误的是（   ） A．的次数是3 B．2是单项式 C．是二次二项式 D．多项式的常数项为 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式及多项式的相关概念，熟练掌握和运用单项式及多项式的相关概念是解决本题的关键．根据单项式：“数字与字母的乘积，单个数字，字母也是单项式”，次数：“所有字母的指数和”，多项式的项数：“单项式的个数”，次数：“最高项的次数”，常数项：“不含字母的项”，进行判断即可． 【详解】解：A．的次数是2，故该说法错误，符合题意； B．2是单项式，故该说法正确，不符合题意； C．是二次二项式，故该说法正确，不符合题意； D．多项式的常数项为，故该说法正确，不符合题意． 故选：A． 4（24-25七年级上·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．系数是 B．是三次单项式 C．的次数是次 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数与次数，多项式的次数与项数；根据单项式的系数与次数及多项式的次数与项数对各选项进行分析即可作出判断． 【详解】解：A．系数是，原说法错误，故此选项不符合题意； B．是二次二项式，原说法错误，故此选项不符合题意； C．的次数是次，原说法错误，故此选项不符合题意； D．是二次三项式，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 5（24-25七年级上·四川绵阳·期末）一个含有x的二次三项式，二次项系数的平方等于4，一次项系数的绝对值等于3，常数项的倒数是它本身． (1)请写出满足条件的所有多项式，并要求每个多项式按x的次数由高到低排列； (2)满足条件的多项式一共有多少个？ 【答案】(1)，，，，，，， (2)8个 【分析】本题考查了多项式，关键是能根据多项式的有关概念写出多项式．根据绝对值，倒数，乘方的概念求出多项式的系数和常数项，即可得解． （1）根据绝对值，倒数，乘方的概念求出多项式的系数和常数项，即可得解； （2）根据（1）即可得解． 【详解】（1）解：由题意知：二次项系数为，一次项系数为，常数项为， 满足条件的所有多项式为：，，，，，，，； （2）解：这样的多项式一共有8个． 6（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m的值，并写出这个多项式； (2)将多项式按字母y的升幂排列； (3)当，时，求此多项式的值． 【答案】(1)；这个多项式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值； （2）将多项式按字母y的升幂排列即可； （3）将x，y的值代入求出答案． 【详解】（1）解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴，， 解得：， 多项式， （2）解：多项式按字母y的升幂排列为：； （3）解：当，时，此多项式的值为： ． 【题型五】 整式的判断 相关知识点讲解 单项式和单项式统称为整式. 【典题1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的识别，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：根据整式的定义可知，整式有①②③⑤，共4个， 故选：C． 变式练习 1（24-25七年级上·湖南株洲·期末）下列代数式不是整式的是（     ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的概念，整式为单项式和多项式的统称，单项式是只有一个项的整式，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式． 判断一个代数式是否为整式，关键看分母是否含有字母，如果分母含有字母则不是整式．据此逐选项判断即可． 【详解】解：A、，其分母含有字母x，根据整式的定义，它不是整式． B、是由单项式与单项式组成的多项式，属于整式． C数字8是单独的一个数，属于单项式，所以是整式． D、是整式， 故选：A． 2（24-25六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，①a；②；③0；④；⑤，整式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的定义，掌握整式是单项式和多项式都统称成为解题的关键． 根据整式的概念逐个判断即可． 【详解】解：整式有a，0，，共3个． 故选B． 3（24-25七年级上·四川绵阳·期末）观察下列各式：x，，，，，其中整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的判断，根据定义逐项判断即可．单项式和多项式统称为整式． 【详解】解：x，，都是单项式， ，都是多项式， ∴整式有5个 【题型六】 规律探究 【典题1】（2025·云南昭通·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的规律探索．根据所给多项式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给多项式可知， 的次数依次为，，，…， 所以第个多项式中的次数为； 的系数依次为，，，…， 所以第个多项式为． 故选：A． 【典题2】（2025·重庆渝中·二模）苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（   ） A．85 B．81 C．73 D．71 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律，理解数量关系，找出规律是关键． 根据题意得到第n个图形需要（根），由此即可求解． 【详解】解：第①个图形需要9根小木棒， 第②个图形需要17根，即， 第③个图形需要25根，即， ∴第n个图形需要（根）， 第⑩个图形需要根， 故选：B ． 变式练习 1（2024七年级上·全国·专题练习）【学习情境·规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律推断，从到，箭头的方向应该是（   ） A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 【答案】A 【分析】本题考查数字规律，据图象观察不难发现，每个数为一个循环组依次进行循环，从到，，，的箭头为↓→↑→，进行解答，即可． 【详解】解：由图可知，箭头的方向以每个数为一个循环组进行循环，从到，，，的箭头为↓→↑→， ∴是第个自然数， ∴， ∴位于的位置， ∴从到，箭头的方向应该是↓→． 故选：A． 2（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）按照如下几个数字.，给出第个数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，根据已知的数发现不变的部分和变化的部分，以及变化部分是按何种规律变化的是解题的关键．通常，需要将变化部分与序数联系到一起． 观察已知个分数可知，分子是连续的奇数，分母是序数的平方，据此可知第个数． 【详解】解：第个数：， 第个数：， 第个数：， 第个数：， 第个数为：， 故选：． 3（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列图形是用黑色棋子摆成的，第①个图棋子数量为3个，第②个图棋子数量为6个，第③个图棋子数量为9个，…，按此规律推断，则第⑧个图棋子数量为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律，理解图示，找出规律是解题的关键． 根据图形及数量关系找出规律即可． 【详解】解：第①个图棋子数量为3个，即， 第②个图棋子数量为6个，即， 第③个图棋子数量为9个，， ∴第⑧个图棋子数量为个， 故选：D ． 4（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，小奕用火柴棒摆图形，第1个图形用了6根火柴棒；第2个图形用了11根火柴棒；第3个图形用了16根火柴棒……照这样的规律摆下去，第10个图形需要火柴棒的根数是（   ）    A．49根 B．50根 C．51根 D．60根 【答案】C 【分析】根据题意，得第1个图案中有6根，第2个图案中有，第3个图案中有，…，依此规律，第10个图案中有根． 本题考查了规律的探索，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意，根据题意，得第1个图案中有6根， 第2个图案中有， 第3个图案中有，…， 依此规律，第10个图案中有根． 故选：C． 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）下列代数式中，次数为3的单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式和多项式的相关概念，解题的关键是正确理解单项式的次数概念，本题属于基础题型．单项式的次数是各字母的指数之和． 【详解】解：A、是多项式，故选项不符合题意； B、是次数为2的单项式，故选项不符合题意； C、是次数为3的单项式，故选项符合题意； D、是次数为4的单项式，故选项不符合题意； 故选：C． 2（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的有（ ） A．是整式 B．是单项式 C．不是整式 D．是多项式 【答案】A 【分析】本题考查了多项式、整式、单项式，熟练掌握相关概念是关键． 【详解】解：、是整式，原说法正确，符合题意； 、是多项式，原说法错误，不符合题意； 、是整式，原说法错误，不符合题意； 、是分式，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 3（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在代数式，，，0，，，中，单项式和多项式的个数分别是（   ） A．2，5 B．3，4 C．4，3 D．5，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，多项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和的形式叫做多项式． 【详解】解：在代数式，，，0，，，中，单项式有，，0，，共4个，多项式有，，，共3个， 故选：C． 4（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）多项式的次数、项数、最高次项的系数分别是（　　） A．2，4，3 B．3，4， C．3，4，5 D．2，4， 【答案】B 【分析】此题主要考查了多项式的次数、系数、项数的定义，利用几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而分别分析得出答案． 【详解】解：多项式的次数、项数、最高次项的系数分别是3，4，． 故选：B． 5（23-24六年级上·山东烟台·期末）下列说法错误的是（   ） A．的次数是 B．是单项式 C．的系数是 D．是多项式 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式、单项式，解题的关键是掌握多项式的项数、次数、单项式的系数和次数的概念．根据多项式的概念和单项式的次数、系数的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、的次数是，该选项错误，符合题意； B、是单项式，该选项正确，不符合题意； C、的系数是，该选项正确，不符合题意； D、是多项式，该选项正确，不符合题意； 故选：A． 6（24-25七年级上·天津和平·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是0，次数也是0 B．的次数是6 C．0是单项式 D．是二次单项式 【答案】C 【分析】本题考查了单项式、多项式，熟练掌握单项式、多项式的意义是解答关键． 根据单项式、多项式的意义来判断即可求解． 【详解】解：A．单项式的系数是1，次数也是1，故此项不符合题意； B．次数是4，故此项不符合题意； C．0是单项式，故此项符合题意； D．是多项式，故此项不符合题意． 故选：C． 7（24-25七年级上·江西抚州·期中）下列说法正确的是（　　） A．0不是单项式 B．的系数是 C．的次数是3 D．是三次三项式 【答案】C 【分析】本题考查单项式概念与多项式概念等知识，掌握单项式及相关概念、多项式项数与次数概念是解题的关键．根据单独的数是单项式判定A；根据单项式中的数字因数叫单项式的系数判定B；根据多项式中最高次项的次数叫多项式的次数判断C；根据多项式的次数与项数判定D即可． 【详解】解：A、0是单项式，原说法错误，故此选项不符合题意； B、的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、的次数是3，原说法正确，故此选项符合题意； D、是三次四项式，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 8（2024·云南昭通·一模）按一定规律排列的多项式：，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数式的变化规律．根据题意，把多项式拆成两个单项式，再找出每个单项式的变化规律即可． 【详解】解：根据题意，多项式的第一项依次是 多项式的第二项依次是 故第个多项式是． 故选：B． 9（24-25七年级上·陕西渭南·期中）已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）多项式中次数最高的项为多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【详解】（1）解；∵项式是关于、的五次四项式， ∴， ∴； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 10（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求，的值． (2)求该多项式的各项的系数之和． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是单项式的次数与多项式的次数；熟记单项式与多项式的次数的概念是解本题的关键； （1）根据题意可得，，解方程可得答案； （2）本题考查的是多项式的各项的系数，先写出多项式中各单项式的系数，再求和即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 解得，； （2）解：因为， 所以多项式为， 所以该多项式的各项的系数分别是，，，， 所以该多项式的各项的系数之和为． 【B组---提高题】 1（24-25七年级下·广东广州·期中）观察下列等式：，，，，，，以此规律，则的和的末位数字是（   ） A．9 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化规律，根据已知条件得出末位数字变化规律是解题关键． 先找出规律末位数字每4个一循环，则的末位数字相当于的末位数字，即可求解． 【详解】解：，，，，，，，…， 末位数字每4个一循环， ， 的末位数字相当于：的末位数字，为3． 故选：B． 2（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，熟练掌握整式在探索规律问题中的应用方法是解题的关键：根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律，从中总结其所反映的规律；其中，以图形为载体的数字规律最为常见； 猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行观察对比，仿照数式规律的方法进行猜想并想到最终结论；这类问题是近年来中考试题的热点，应予以关注． 由图形可得到第个图形中火柴棒的根数为：，据此即可求解． 【详解】解：第个图形中火柴棒的根数为：， 第个图形中火柴棒的根数为：， 第个图形中火柴棒的根数为：， 第个图形中火柴棒的根数为：， ， 第个图中火柴棒的根数为：， 第个图中火柴棒的根数为：， 图比图多出的火柴棒根数是：， 故选：． 3（2025·重庆·一模）有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法： ①第六次操作得到的整式为； ②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1； ③第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，找到系数之间的规律是解题的关键． 先计算出三次操作的所有整式，然后找出规律进行判断即可． 【详解】解：第1个整式：， 第2个整式：， 第3个整式：， 第4个整式：， 第5个整式：， 第6个整式：， 第7个整式：， 第8个整式：，故①正确； 由此规律可知，第n个整式中含项的系数的2倍与第个整式中含项的系数之差为1；第n个整式与第个整式，x项的系数和为； ∴第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1，故②正确；第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于，故③错误； 故选：C． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$