预习第02讲 空间向量的数量积 2025年升高二暑假数学讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 空间向量的数量积 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 空间向量数量积的运算 角度1 求空间数量积 角度2 求空间数量积的范围 【题型二】 空间向量数量积的运用 角度1 求线段长度 角度2 求空间夹角 角度3 证明垂直关系 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握空间向量的夹角及其表示； 2.掌握空间向量的数量积的概念，并会求解空间向量的数量积及其范围问题； 3.掌握空间向量的数量积的性质及其运算法则。 【题型一】 空间向量数量积的运算 相关知识点讲解 1空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点作  则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作:. 2 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 特别地，零向量与任何向量的数量积为. 角度1 求空间数量积 【典题1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由平面向量基本定理可得，再由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则， 所以 . 故选：D 变式练习 1（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义即可求解. 【详解】，. 故选：B 2（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义计算即可. 【详解】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 3（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【详解】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故选：. 角度2 求空间数量积的范围 【典题1】（24-25高二下·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解. 【详解】由题意可得，球O的半径为1． ．当P为正方体顶点时等号成立， 故选：B 变式练习 1（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点为，连接，设中点为，连接，，，利用转化法求向量数量积的最值即可. 【详解】设中点为，连接，设中点为，连接，，， 则， ， 当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：. 2（24-25高二上·安徽合肥·期末）在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，利用空间向量的运算可得，则可化为，进而可得答案. 【详解】如图，连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，则O 为EF的中点， 因为 所以， 所以 ， 所以当P与G重合时，取得最小值，为0，此时取得最小值，为． 故选：C.    3（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）正方体的棱长为1，是正方体外接球的直径，P为正方体表面上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算律得，进一步只需求出即可得解． 【详解】由题意等于正方体的体对角线长， 设点为球心，即点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 所以的取值范围是. 故选：A. 【题型二】 空间向量数量积的运用 相关知识点讲解 1空间向量数量积的性质 (1) (2) 2 空间向量数量积运算律 (1) (2) (交换律) (3) (分配律) (4) 不满足乘法结合律: 角度1 求线段长度 【典题1】（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【详解】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 变式练习 1（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 2（24-25高二上·山东德州·阶段练习）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从，到库底与水坝的交线的距离分别为，，若，则甲、乙两人相距（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，结合向量数量积的运算律可求得模长. 【详解】由已知可得，与的夹角为， 且，，不共面， 以，，为空间向量基底， 则， 即 ， 所以， 故选：B. 3（24-25高二下·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可. 【详解】已知平行四边形，，且， ，， 二面角为，，， ， ， 则，即与之间距离为. 故选：D． 角度2 求空间夹角 【典题1】（24-25高二上·浙江·期中）已知二面角，、两点在棱上，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则二面角的大小是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角． 【详解】由条件，知． ， ，即， 所以二面角的大小为 故选：C． 【典题2】（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 变式练习 1（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【详解】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 2（24-25高二上·福建福州·期中）已知二面角棱上有两点，，若的长为，异面直线与所成的角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即可求解. 【详解】设，异面直线与所成的角为， 因为，， 所以. 因为， 所以 ， 所以，即，解得， 所以，所以. 故选：B. 3（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案； （2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 则. 角度3 证明垂直关系 【典题1】（2023高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的条件推出平面，进而可得，再利用空间向量的线性运算结合数量积与向量垂直的关系可得，利用线面垂直的判定定理即可得平面，则. 【详解】如图，取AB中点O，连接OC交BM于E， ∵为等边三角形， ∴， 又∵平面平面，平面，平面平面， 故平面， 而平面，∴， 又∵，， ∴． ∴， 又∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴． 变式练习 1（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 2（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，，点在上，．    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，得到，再由为的中点，得到，结合，列出方程求得，得到为的中点，进而证得，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解. （2）根据题意，求得，得到，进而得到，结合，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面. 【详解】（1）证明：设，则， 所以， 因为为的中点，则，所以， 又因为，则， 因为， 则 ，解得，所以为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为分别为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）证明：因为分别为的中点，所以， 所以， 因为， 所以，所以，所以， 因为，则， 又因为，，且平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 3（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，为中点. (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的正切值； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而得到面面垂直，再依据线面角的定义找出线面角，最后通过相关线段长度计算线面角的正切值. （2）根据重心性质得到关于、、的表达式，再对其平方，结合已知的角度和垂直关系计算数量积，进而求出的模长. 【详解】（1）因为，，而，平面， 平面，而平面，故平面平面， 又，为的中点，故，而平面，平面平面，故平面. 由（1）可得平面，故为与平面所成的角， 因为，为的中点，故，而，故， 而平面，平面，故，故. （2） 因为为的重心，连接并延长交与，连接，则， 故，故， 故， 而，，又平面，平面，故， 故，故. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·江西·阶段练习）关于空间向量，下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律判断即可. 【详解】根据空间向量数量积的运算律可知：，， 均成立，即A、B、C正确； 为与共线的向量， 为与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误． 故选：D 2（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据长方体的结构特征及，应用向量数量积的运算律求值. 【详解】由长方体的性质知，，，，， 所以． 故选：A 3（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据，计算可求数量积. 【详解】 . 故选：B. 4（24-25高二上·北京大兴·期中）在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以 . 所以. 故选：B 5（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【详解】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 6（24-25高二上·广西·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】变形，结合图形得到当与重合时取值最小值，求出答案. 【详解】 ，当且仅当与重合时，等号成立， 故的最小值为12. 故选：D 7（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据、，应用向量数量积的运算律及夹角公式求直线与BM所成角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】设，， 由， 所以 ， 因为， 所以， ， 所以 ，直线与BM所成角的正弦值为. 故选：C 8（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【分析】设，连接，根据向量的线性运算法则，化简得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以 . 故答案为：. 9（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 10（23-24高二上·湖北十堰·期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．    (1)求点Q的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线线平行得四点共面，进而可得Q的轨迹是正六边形OFNEMG，根据三角形的面积公式即可求解， （2）根据数量积的几何意义即可结合图形求解最值. 【详解】（1）因为，∴点在平面上， 如图，分别取，，的中点，    连接 因为分别为，的中点，故， 又由正方体可得，，，， 故，，故四边形为平行四边形，故， 故，故四点共面，同理可证四点共面， 故五点共面，同理可证四点共面， 故六点共面，由正方体的对称性可得六边形 为正六边形． 故点的轨迹是正六边形， 因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为， 所以点的轨迹围成图形的面积是． （2）如图，根据向量数量积的几何意义可得 当位于时，此时在上的投影最大， 故 ， ∴的最大值为12．    【B组---提高题】 1（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为为6. 故选：B. 2（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且．已知，，，则线段长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用空间向量表示，再两边平方后，利用数量积公式即可求得取值范围. 【详解】记，，则，.   由已知有，两边平方得 ，故. 从而，且 ，所以. 而对任意，取，. 则有，即. 所以的取值范围是. 故选：A. 3（24-25高三下·河南·阶段练习）设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先设，，再根据二面角得出，最后应用，应用数量积化简结合基本不等式计算求最小值. 【详解】 设，， 在平面直角坐标系中，过作轴于点，过作轴于点， 则，，，， 折叠后即有， 因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选:C. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 空间向量的数量积 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 空间向量数量积的运算 角度1 求空间数量积 角度2 求空间数量积的范围 【题型二】 空间向量数量积的运用 角度1 求线段长度 角度2 求空间夹角 角度3 证明垂直关系 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握空间向量的夹角及其表示； 2.掌握空间向量的数量积的概念，并会求解空间向量的数量积及其范围问题； 3.掌握空间向量的数量积的性质及其运算法则。 【题型一】 空间向量数量积的运算 相关知识点讲解 1空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点作  则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作:. 2 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 特别地，零向量与任何向量的数量积为. 角度1 求空间数量积 【典题1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 变式练习 1（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 2（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 3（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 角度2 求空间数量积的范围 【典题1】（24-25高二下·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式练习 1（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·安徽合肥·期末）在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）正方体的棱长为1，是正方体外接球的直径，P为正方体表面上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型二】 空间向量数量积的运用 相关知识点讲解 1空间向量数量积的性质 (1) (2) 2 空间向量数量积运算律 (1) (2) (交换律) (3) (分配律) (4) 不满足乘法结合律: 角度1 求线段长度 【典题1】（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 变式练习 1（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·山东德州·阶段练习）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从，到库底与水坝的交线的距离分别为，，若，则甲、乙两人相距（   ） A． B． C． D． 3（24-25高二下·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 角度2 求空间夹角 【典题1】（24-25高二上·浙江·期中）已知二面角，、两点在棱上，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则二面角的大小是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【典题2】（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 变式练习 1（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·福建福州·期中）已知二面角棱上有两点，，若的长为，异面直线与所成的角大小为（   ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 角度3 证明垂直关系 【典题1】（2023高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）． 求证：． 变式练习 1（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 2（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，，点在上，．    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； 3（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，为中点. (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的正切值； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·江西·阶段练习）关于空间向量，下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 2（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 3（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 4（24-25高二上·北京大兴·期中）在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 6（24-25高二上·广西·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 8（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 9（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 10（23-24高二上·湖北十堰·期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．    (1)求点Q的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值． 【B组---提高题】 1（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 2（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且．已知，，，则线段长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3（24-25高三下·河南·阶段练习）设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 10 学科网（北京）股份有限公司 $$