第12讲 幂函数 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第12讲 幂函数 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】幂函数的概念 【题型二】 幂函数的定义域 【题型三】 幂函数的基本性质 【题型四】 幂函数的图象的判断 【题型五】 幂函数的综合应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解幂函数的概念； 2.会画常见幂函数的图象，并理解它们的图象变化规律和性质； 3.能解决与幂函数有关的复合函数问题. 【题型一】 幂函数的概念 相关知识点讲解 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 注 (1)注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数； 【典题1】（22-23高一上·河北沧州·期末）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【题型二】 幂函数的定义域 相关知识点讲解 正数的分数指数幂的意义 (1)正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记子内母外(根号内的作分子，根号外的作为分母) (2)正数的负分数指数幂的意义： (3)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【典题1】（2022·上海·模拟预测）下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 【题型三】 幂函数的基本性质 相关知识点讲解 1 幂函数的性质 图象X|X|K] 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递增 在 上递增 在上递减 在上递减 特殊点 2 性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. Eg 图象上凸，图象下凹，在上是增函数． ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． Eg ， 【典题1】（24-25高一上·山东烟台·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 变式练习 1（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2（22-23高一上·云南昆明·阶段练习）下列函数在递减，且图像关于y轴对称的是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·河南南阳·期中）下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 4（2023·海南·模拟预测）已知为幂函数，则（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 5（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【题型四】 幂函数的图象的判断 相关知识点讲解 幂函数的图象． 【典题1】（24-25高一上·福建厦门·期末）函数的大致图象为（   ）． A． B． C． D． 变式练习 1（10-11高三上·河南周口·期中）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·浙江·期中）幂函数（）的大致图像是（    ） A．       B．   C．   D．   4（2024高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（   ） A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且 【题型五】 幂函数的综合应用 【典题1】（24-25高三上·天津河东·阶段练习）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典题2】（24-25高一上·河南郑州·期中）已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 变式练习 1（23-24高一上·山东临沂·期中）幂函数的图象经过点，若，则下列各式正确的是 A． B． C． D． 2（22-23高一上·吉林·期末）幂函数的图像过点，则它在上的最大值为（    ） A． B．－1 C．1 D．－3 3（23-24高一上·山东临沂·期中）已知是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 4（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知、且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 6（24-25高一上·河南许昌·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数a的取值范围． 7（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【A组---基础题】 1（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A．R B． C． D． 2（24-25高一上·天津河北·期中）下列关于幂函数的描述正确的是（   ） A．幂函数的图象必过定点（0，0）和（1，1） B．幂函数的图象可能经过第四象限 C．当幂指数，，3时，幂函数是奇函数 D．当幂指数时，幂函数是增函数 3（21-22高一上·陕西西安·期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 4（23-24高一上·广东深圳·期中）已知幂函数的图像过点，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数 C．是偶函数 D．是奇函数 5（2023高一·江苏·专题练习）若，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6（多选） （23-24高一上·浙江金华·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的值域为R B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 7（24-25高一上·上海·课前预习）函数的定义域为 ． 8（2025高三·全国·专题练习）幂函数满足，则此函数可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 9（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 10（24-25高一上·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【B组---提高题】 1（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知函数，若对任意的正数a，b，总有，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·山东烟台·开学考试）若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”. (1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由; (2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围; (3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 幂函数 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】幂函数的概念 【题型二】 幂函数的定义域 【题型三】 幂函数的基本性质 【题型四】 幂函数的图象的判断 【题型五】 幂函数的综合应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解幂函数的概念； 2.会画常见幂函数的图象，并理解它们的图象变化规律和性质； 3.能解决与幂函数有关的复合函数问题. 【题型一】 幂函数的概念 相关知识点讲解 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 注 (1)注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数； 【典题1】（22-23高一上·河北沧州·期末）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的概念，即可得出答案. 【详解】B项可化为，根据幂函数的概念，可知函数是幂函数，即函数是幂函数.ACD均不是幂函数. 故选：B. 变式练习 1（23-24高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用幂函数定义直接判断作答. 【详解】函数是幂函数， 函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数， 所以所给函数中幂函数的个数是1. 故选：B 2（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，进而求出函数值. 【详解】设，则即， 故选：B． 【题型二】 幂函数的定义域 相关知识点讲解 正数的分数指数幂的意义 (1)正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记子内母外(根号内的作分子，根号外的作为分母) (2)正数的负分数指数幂的意义： (3)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【典题1】（2022·上海·模拟预测）下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案． 【解答】，定义域为， ，定义域为， ，定义域为， ，定义域为． 故选：C． 变式练习 1（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B 2（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 3（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 【题型三】 幂函数的基本性质 相关知识点讲解 1 幂函数的性质 图象X|X|K] 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递增 在 上递增 在上递减 在上递减 特殊点 2 性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. Eg 图象上凸，图象下凹，在上是增函数． ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． Eg ， 【典题1】（24-25高一上·山东烟台·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求出解析式，然后对选项逐个判断即可. 【详解】设，则，解得，故， 则的定义域为，故A错误； 的值域为，故B错误； ，则为偶函数，故C正确； 在和上分别单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误. 故选：C. 变式练习 1（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，不是奇函数，A不是； 对于B，函数是R上的偶函数，B不是； 对于C，幂函数在上单调递减，C不是； 对于D，幂函数是奇函数，且在上单调递增，D是. 故选：D 2（22-23高一上·云南昆明·阶段练习）下列函数在递减，且图像关于y轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数性质，逐一判断即可. 【详解】根据幂函数性质，知函数、，在上递增，ABC都不是； 而在上递减，且为偶函数，图象关于y轴对称，D是. 故选：D 3（24-25高一上·河南南阳·期中）下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A：的定义域为，且， 所以为奇函数，但在上单调递增，不符合题意， 故A错误； 对于B，易知，即不是奇函数，故B错误； 对于C，易知的定义域为，即不具有奇偶性，故C错误； 对于D，定义域为R，且，在R上单调递增，故D正确. 故选：D 4（2023·海南·模拟预测）已知为幂函数，则（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】B 【分析】首先根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再分析其性质. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 所以或， 对于，函数在上单调递增，在上单调递减； 对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减； 故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质． 故选：B 5（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的概念及性质求出，再代入求值即可. 【详解】由题意得，解得或， 当时，，函数是奇函数，其图象关于原点对称，不符合题意； 当时，，函数是偶函数，其图象关于轴对称，符合题意， 所以，， 故． 故选：B. 【题型四】 幂函数的图象的判断 相关知识点讲解 幂函数的图象． 【典题1】（24-25高一上·福建厦门·期末）函数的大致图象为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象与性质，结合选项即可求解. 【详解】根据幂函数的图象与性质知，图象在第一象限单调递增，且当时，, 且，所以为偶函数，图象关于轴对称. 故选：B 变式练习 1（10-11高三上·河南周口·期中）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和幂函数性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数是偶函数，故排除D， 由幂函数性质可知函数在上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、C. 故选：A. 2（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项中函数的性质判断即可. 【详解】为奇函数，图象关于原点对称，A错误； ，当时，，故函数在上单调递增，B错误； 为偶函数，图象关于轴对称，且在上单调递减，在上单调递增，C正确； 为偶函数，且在上单调递增，D错误． 故选：C. 3（23-24高一上·浙江·期中）幂函数（）的大致图像是（    ） A．       B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由幂函数的定义域和单调性判断图像形状. 【详解】∵时，为偶数且大于0，∴的定义域为，且在定义域上单调递增． 只有B选项符合条件. 答案：B． 4（2024高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（   ） A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且 【答案】D 【分析】根据图象的单调性和奇偶性判断. 【详解】因为函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，即p为偶数． 又函数的定义域为，且在上单调递减， 则有，所以． 故选：D 【题型五】 幂函数的综合应用 【典题1】（24-25高三上·天津河东·阶段练习）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性可得，然后结合必要条件、充分条件的判定方法即可得出结论. 【详解】根据幂函数的性质知，函数在上单调递增 所以当时，，， 当时，无意义， 则“”是“”的不充分条件； 当时， ， 则“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【典题2】（24-25高一上·河南郑州·期中）已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可. （2）根据单调性求不等式. 【详解】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以． （2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 变式练习 1（23-24高一上·山东临沂·期中）幂函数的图象经过点，若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出幂函数的解析式，再确定其单调性． 【详解】设，则，，即， 函数在上是减函数， ∵，∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查幂函数的解析式，考查幂函数的单调性．属于基础题． 2（22-23高一上·吉林·期末）幂函数的图像过点，则它在上的最大值为（    ） A． B．－1 C．1 D．－3 【答案】C 【分析】 设出幂函数的解析式，待定系数法求出，结合函数的单调性，求出最大值. 【详解】设幂函数，将代入，得：， 解得：， 故，它在上单调递减，故当时，取得最大值， . 故选：C 3（23-24高一上·山东临沂·期中）已知是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】先求出幂函数解析式，再根据幂函数的奇偶性与单调性得出结论． 【详解】由题意，或， 又对任意的，且，满足，∴在上是增函数． 时，，不合题意， 时，，满足题意， ∴，是奇函数，∴在是是增函数， ，不妨设，则， ∴，即，∴． 故选A． 【点睛】本题考查求幂函数解析式，考查函数的单调性与奇偶性，属于中档题． 4（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知、且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为、且， 因为幂函数在上为增函数， 若，则，即“”“”， 若，则且、，即“”“”， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，换算成幂函数的形式，然后根据函数的单调性求解. 【详解】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 6（24-25高一上·河南许昌·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性，可得不等式组，解之可得，即得函数解析式； （2）利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式，解之即得. 【详解】（1）因函数为幂函数，且在上单调递增， 则解得，故； （2）因为函数为奇函数且在R上单调递增， 所以不等式可化为 所以，即 解得或， 故实数a的取值范围为. 7（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 【A组---基础题】 1（21-22高一上·山西吕梁·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】设，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域. 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，则， 故的定义域为． 故选：C 2（24-25高一上·天津河北·期中）下列关于幂函数的描述正确的是（   ） A．幂函数的图象必过定点（0，0）和（1，1） B．幂函数的图象可能经过第四象限 C．当幂指数，，3时，幂函数是奇函数 D．当幂指数时，幂函数是增函数 【答案】D 【分析】根据幂函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，幂函数的图象不过，所以A选项错误. B选项，对于幂函数当时，，所以B选项错误. C选项，当时，幂函数是非奇非偶函数，所以C选项错误. D选项，当时，幂函数在定义域上单调递增， 所以D选项正确. 故选：D 3（21-22高一上·陕西西安·期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案. 【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意. 故选：C 4（23-24高一上·广东深圳·期中）已知幂函数的图像过点，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】B 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以， 对于A：函数的定义域为，所以A错误； 对于B：因为，所以在内单调递减，B正确； 对于C：因为的定义域为，所以不是偶函数，C错误； 对于D：因为的定义域为，所以不是奇函数，D错误， 故选：B 5（2023高一·江苏·专题练习）若，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分三种情况进行解答，结合幂函数的单调性即可解出答案. 【详解】①若且时，不等式成立，此时 ②若，此时不等式组的解为； ③若，不等式组无解， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A. 6（多选） （23-24高一上·浙江金华·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的值域为R B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 【答案】BC 【分析】根据幂指数的取值，结合幂函数的性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】当时，，此时的值域为，故A错误； 当时，在R上单调递增，所以，故B正确； 当时，，，定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，故C正确； 当时，，则，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误． 故选：BC 7（24-25高一上·上海·课前预习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 8（2025高三·全国·专题练习）幂函数满足，则此函数可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的解析式即可，依题意幂函数为偶函数且在上单调递增，即可得解. 【详解】令幂函数（为常数），题中没有给出的定义域的限制信息， 因此的定义域可为．由“”可知，函数是偶函数． 又，则函数在上单调递增， 因此可以为正偶数，所以此函数可以是，,． 故答案为： （答案不唯一）． 9（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【详解】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 10（24-25高一上·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式求出，得解； （2）问题转化为恒成立，令，求出的最小值得解. 【详解】（1）由题意可得，，. （2）由（1）可得，恒成立，， 令，，， 实数的取值范围为. 【B组---提高题】 1（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知函数，若对任意的正数a，b，总有，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：函数为定义域在上的奇函数，且为增函数， 因为，则， 可得，即，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 2（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 3（24-25高三上·山东烟台·开学考试）若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”. (1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由; (2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围; (3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）假设其存在，则为方程的两根，解方程即可； （2）假设其存在，则为方程的两根，令，则问题转化为一元二次方程在有两个不等的实根，利用和韦达定理即可； （3）由题意得，可得，再代入原方程组中化简，转化为一元二次方程有两个不等的正实数根． 【详解】（1）因为函数单调递增， 若在定义域区间上存在，使得的值域， 则，，即为方程的两根，又，得，， 又在区间上的值域为，故，符合题意. （2）因为函数为递增函数， 要使在定义域区间上存在，使得的值域， 则只需有两个不等的非负实根， 令，，则在有两个不等的实根， 故，即，得， 即t的取值范围是. （3）函数在定义域内单调递减， 依题意得，两式相减，得， 则， 得① 将①式代入方程组得，则是方程的两根， 令，则在上有两个不同的实根， 则，解得， 故实数m的取值范围为 10 学科网（北京）股份有限公司 $$