第11讲 函数的奇偶性 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第11讲 函数的奇偶性 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 定义法判断函数的奇偶性 【题型二】 函数奇偶性的性质 【题型三】 利用奇偶性求解析式 【题型四】 函数的奇偶性与单调性的综合 【题型五】 抽象函数的奇偶性 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解函数奇偶性的含义，了解奇函数、偶函数的图象的对称性； 2.会用定义判断函数的奇偶性； 3.会依据函数的奇偶性进行简单的应用. 【题型一】 定义法判断函数的奇偶性 相关知识点讲解 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 2 定义法判断函数的奇偶性 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. 【典题1】（24-25高一上·云南楚雄·期末）下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1 （2024高二上·江苏·学业考试）函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 2（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）下列函数是偶函数，且在区间上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】 函数奇偶性的性质 相关知识点讲解 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； 证明 为奇函数，． 令，则，即，． ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 【典题1】（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【典题2】（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 变式练习 1（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知是奇函数，且，则下列答案正确的是（   ） A． B． C． D．的值不能确定 2（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C．0 D． 3（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）已知为偶函数，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 4（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知函数，若为奇函数，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【题型三】 利用奇偶性求解析式 【典题1】（24-25高一上·重庆·期中）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（    ） A． B． C． D． 2（22-23高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是偶函数，且当时，，那么当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【题型四】 函数的奇偶性与单调性的综合 【典题1】（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 2（24-25高一上·湖北荆州·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3（22-23高一下·云南昭通·期末）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型五】 抽象函数的奇偶性 【典题1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 变式练习 1（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 2（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【A组---基础题】 1（2025高三·全国·专题练习）函数的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称 2（15-16高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 3（23-24高一上·安徽亳州·期中）如果函数是奇函数，则（   ） A． B．2 C．3 D． 4（24-25高一上·内蒙古·期末）已知函数，则其图象大致是（    ） A． B． C． D． 5（2025·吉林长春·二模）已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 6（21-22高一上·辽宁·阶段练习）已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 7（多选）（2025·陕西汉中·二模）若函数，则（   ） A． B．的最小值为0 C．是奇函数 D．的定义域为 8（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 9（24-25高一上·重庆·期中）已知函数（）是减函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于的不等式：（）. 10（24-25高一上·河南·阶段练习）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【B组---提高题】 1（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，对于任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足，当时，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 3（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 函数的奇偶性 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 定义法判断函数的奇偶性 【题型二】 函数奇偶性的性质 【题型三】 利用奇偶性求解析式 【题型四】 函数的奇偶性与单调性的综合 【题型五】 抽象函数的奇偶性 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解函数奇偶性的含义，了解奇函数、偶函数的图象的对称性； 2.会用定义判断函数的奇偶性； 3.会依据函数的奇偶性进行简单的应用. 【题型一】 定义法判断函数的奇偶性 相关知识点讲解 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 2 定义法判断函数的奇偶性 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. 【典题1】（24-25高一上·云南楚雄·期末）下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇偶性、单调性的概念、性质逐个判断即可； 【详解】对于A，易知，所以不是奇函数．错； 对于B，因为，，所以不是在定义域内单调递增的函数．错； 对于C，因为的定义域，且不关于原点对称，所以不是奇函数．错； 对于D，定义域为，，为奇函数，因为，均为增函数，所以为增函数， 故选：D． 变式练习 1 （2024高二上·江苏·学业考试）函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】根据奇偶函数的定义判断选项. 【详解】由，定义域为， 又， 所以函数是奇函数不是偶函数. 故选：A. 2（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可得选项. 【详解】对于A，, 不满足，故不是奇函数，故A错误； 对于B，，定义域为, 满足，是奇函数，故B正确； 对于C，其定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故C错误； 对于D，其定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故D错误. 故选：B 3（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）下列函数是偶函数，且在区间上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，是奇函数，不符合题意. B选项，是偶函数，且在区间上为减函数，符合题意. C选项，是奇函数，不符合题意. D选项，是偶函数，在区间上为增函数，不符合题意. 故选：B 【题型二】 函数奇偶性的性质 相关知识点讲解 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； 证明 为奇函数，． 令，则，即，． ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 【典题1】（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先计算出，根据函数为奇函数，得到，，从而得到答案. 【详解】由题意得， 由于是定义在上的奇函数，故，， 所以. 故选：C 【典题2】（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 【答案】A 【分析】由奇函数的定义构造等式求解即可； 【详解】易知的定义域为， 由奇函数的定义可知，， 则， 整理得恒成立， 所以，解得. 故选：A 变式练习 1（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知是奇函数，且，则下列答案正确的是（   ） A． B． C． D．的值不能确定 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性求函数值. 【详解】是奇函数，且，则. 故选：B. 2（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】求出，根据函数为奇函数得到. 【详解】，又在R上是奇函数， 故. 故选：B 3（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）已知为偶函数，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据，得到方程，求出答案. 【详解】因为为偶函数，所以， 则，可得． 故选：C 4（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知函数，若为奇函数，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【分析】由题意可知，求出，再验证即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数， 所以，解得， 则， 因为， 所以为奇函数， 所以符合题意. 故选：D. 【题型三】 利用奇偶性求解析式 【典题1】（24-25高一上·重庆·期中）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的定义计算即可. 【详解】因为为上的奇函数，当时， 因为，所以， 所以. 故选：C. 变式练习 1（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，，所以. 故选：C 2（22-23高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是偶函数，且当时，，那么当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及时的解析式，求出时的函数解析式. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 时，， 故. 故选：A 【题型四】 函数的奇偶性与单调性的综合 【典题1】（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶函数的判断方法，可得是偶函数，再利用复合函数的单调性可得出的单调区间，从而得到，即可求解. 【详解】因为，易知，所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数， 当时，，令，则，对称轴为， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， 又是偶函数，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由，得到，解得，且， 故选：C. 变式练习 1（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【答案】B 【分析】根据奇函数的对称性，在区间上的性质，可得到函数在区间上的性质，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 2（24-25高一上·湖北荆州·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可判断函数在上的单调性，进而可解不等式. 【详解】由已知为上的偶函数，且在上单调递增， 则函数在上单调递减， 所以不等式， 即，解得， 故选：A. 3（22-23高一下·云南昭通·期末）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中条件可知当时，，当时，，进而分类讨论解求得x的取值范围. 【详解】因为定义域为的奇函数在内单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由，可得：，或，或， 解得或， 所以满足的x的取值范围是， 故选：C. 【题型五】 抽象函数的奇偶性 【典题1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【分析】（1）令得，令得，所以是奇函数； （2）利用是奇函数，得到时，，根据单调性的定义，得到在上单调递减； （3）由奇函数结合，得，再由，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 变式练习 1（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【答案】偶函数 【分析】通过赋值找到与的关系，从而确定奇偶性. 【详解】令，则，即， ∵，解得． 再令，则，移项可得， ∴是偶函数． 2（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）应用赋值法即可； （2）应用奇函数的定义即可判断； （3）结合（2）转化为求，即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 【A组---基础题】 1（2025高三·全国·专题练习）函数的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性定义判断即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以为偶函数，其图象关于轴对称； 故选：A. 2（15-16高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】求得函数的定义域为，计算，可得，即可判断的奇偶性. 【详解】函数， 由，可得， 即有函数的定义域关于原点对称， 又， 即有， 则为偶函数. 故选：B. 3（23-24高一上·安徽亳州·期中）如果函数是奇函数，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】记，则有，再结合奇偶性可得. 【详解】记， 因为为奇函数，所以， 又，， 所以. 故选：D 4（24-25高一上·内蒙古·期末）已知函数，则其图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数解析式结合奇函数定义证明为奇函数，再说明当时，，由此确定结论. 【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以是奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 当时，， 选项ACD都不能同时满足以上要求，选项B满足以上要求， 故函数的图象大致是选项B中的图象， 故选：B. 5（2025·吉林长春·二模）已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据奇函数在原点处有意义则求出的值，再将的值代回原函数检验即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 解得或. 当时，，，故不合题意，舍去； 当时，，，故符合题意. 故选：C. 6（21-22高一上·辽宁·阶段练习）已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性求解的解析式. 【详解】因为函数是定义域为R的奇函数， 当时，， 所以， 故选：C 7（多选）（2025·陕西汉中·二模）若函数，则（   ） A． B．的最小值为0 C．是奇函数 D．的定义域为 【答案】ACD 【分析】用特值法可判断A、B；求出函数的定义域判断D；利用奇函数的定义既可判断C. 【详解】，故A正确； 由，得，故D正确． 因为，所以的最小值不是0，故B错误． 因为，所以是奇函数，故C正确． 故选：ACD. 8（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，设，知其为奇函数，从而易推得，代入计算即得. 【详解】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 9（24-25高一上·重庆·期中）已知函数（）是减函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于的不等式：（）. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用奇函数的定义即可判断以及证明结论； （2）根据函数的奇偶性以及单调性将转化为，讨论a与-2的大小关系，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数 证明如下：函数定义域为， 又， 所以是奇函数 （2）由已知及（1）知：不等式即， 等价于，即， 当时，则； 当时，则不等式无解； 当时，则； 综上，的解集为： 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为. 10（24-25高一上·河南·阶段练习）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)是奇函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明. 【详解】（1）设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． （2）是奇函数． 证明如下：由， 所以， 由，令， 则，再令，解得， 所以， 所以 ， 故是奇函数． 【B组---提高题】 1（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，对于任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，构造函数，探讨的奇偶性及单调性，再求解不等式. 【详解】设，由函数是上的奇函数，得的定义域为， 且，函数也是上的奇函数， 对于任意的，都有， 得，即， 函数在上单调递增，又为奇函数，因此在上单调递增， 由，得， 由不等式，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 2（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足，当时，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用赋值法和函数的奇偶性判断A；利用奇偶性与单调性解不等式判断B；根据条件代入计算判断C、D; 【详解】已知， 令，则有，所以； 令，所以； 令，得，A错误． 任取，则，所以， 则，故在上单调递减． 由A知，为偶函数，又，可得，故， 且，解得，且，B错误． 若，则，C正确． 若，则 ， 所以，故D错误． 故选：C． 3（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据偶函数的性质，结合单调性先求出函数的值域，再解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是上的偶函数， 所以有， 因为，所以； （2）由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下： 设是上任意两个实数，且，即， ， 因为，所以， 所以函数在区间上单调递增； （3）由（2）可知：函数在区间上单调递增， 而函数是偶函数，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以在上的值域为， 由恒成立，即， 也就是， 则，得， 所以的取值范围为. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$