3.3垂径定理 同步作业 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

垂径定理 同步练习 一、单选题 1．如图，的弦，为的中点，且，则的半径为（    ）    A．8 B．6 C．5 D．4 2．下列说法中， 正确的是（   ） A．任意三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．三角形的外心到它的三顶点的距离相等 D．平分弦的直径垂直于弦 3．若是的弦，半径于点D，，则的长为(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 4．下列说法正确的是（   ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦 5．如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，则两圆组成的圆环的面积是（　　）   A． B． C． D． 6．如图，在中，直径与弦相交于点M，F为中点．若，，则的半径长为（  ） A．4 B．3 C． D． 7．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ）． A．点 B．点 C．点 D．点 二、填空题 9．垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 ． 10．为的直径，弦于，且，，则 ． 11．如图，是的弦，是的中点，交于点．    （1）若，则 ； （2）若，则 ． 12．如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，则球的直径为 cm（容器厚度忽略不计）． 三、解答题 13．蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，求高度． 14．如图，大桥的圆拱的跨度是米，拱高是米，求这个圆拱所在的圆的半径． 15．在半径为5的圆中，弦，点是劣弧上的动点（可与、重合），连接交于点． (1)如图1，当时，求的长度； (2)如图2，过点作，垂足为点，设，求的长度（用含的式子表示），并指出的取值范围； (3)如图3，设，连接．求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《垂径定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C D B C C B 1．C 【分析】连接，，由和是的半径，则，利用垂径定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图所示：    和是的半径， ， 又为的中点，且， ，， ， 在中，，， ， 的半径为：5， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握勾股定理及垂径定理，借助辅助线解决问题是解题的关键． 2．C 【分析】根据各个命题的真假进行判断即可． 【详解】解：A、同一平面内，任意不在同一直线上的三点确定一个圆，故A错误，不符合题意； B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故B错误，不符合题意； C、三角形的外心到它的三顶点的距离相等，故C正确，符合题意； D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理，三角形的外心，以及同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；解题的关键是熟练掌握各个定理的内容． 3．C 【分析】利用勾股定理和垂径定理即可求解． 【详解】解：如图，连接OA， ∵半径于点D，， ∴， 则 ， ∴25＝（5−DC）2＋16， ∴DC＝2cm． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的运用．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解． 4．D 【分析】根据垂径定理、等弧的定义以及圆的有关性质判断求解即可． 【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原说法错误，不符合题意； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意； D、直径是同一圆中最长的弦，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理、等弧的定义以及圆的有关性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 5．B 【分析】连接，先根据切线的性质定理和垂径定理证出，再根据相交弦定理求得的长，最后根据圆环的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：连接．   ∵大圆的弦与小圆相切于点P， ∴， ∴． ∵， ∴． 根据相交弦定理，， 得， 则两圆组成的圆环的面积是． 故选B． 【点睛】题目主要考查垂径定理及相交弦定理，理解题意，熟练掌握运用垂径定理及相交弦定理是解题关键． 6．C 【分析】连接，设的半径长为，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， F为中点，为直径， ，， 设的半径长为，则， 在中， 则， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的对称性、垂径定理、勾股定理等知，根据勾股定理列方程是解题关键． 7．C 【分析】线段BC、的垂直平分线的交点H即为最小覆盖圆的圆心，连接BH，BH即为圆的半径，根据勾股定理即可求解． 【详解】作线段BC、的垂直平分线MH、NH，两线的交点为H点，连接BH，如图， ∵MH、NH为线段BC、的垂直平分线， ∴BM=BC=，==， ∴HM=-1=， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，找到最小覆盖圆是解答本题的关键． 8．B 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到答案． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心． 故选：B． 【点睛】本题主要查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，理解并掌握圆心为弦垂直平分线的交点是解决此题的关键． 9． 垂直于弦 两条弧 【分析】根据垂径定理的推论的内容直接得出答案． 【详解】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 故答案为：垂直于弦，垂直于弦． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，解答时熟悉垂径定理的推论的内容是关键． 10． 【分析】由垂径定理可知，在中由勾股定理可求得即的值． 【详解】解：如图： 依题意可知， 为的直径，弦于， ， 在中， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握相关知识． 11． 60 4 【分析】（1）根据是的中点可得，易知； （2）根据垂径定理可得． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∴； ∵是的中点，过圆心，， ∴． 故答案为：①60，②4． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． 12．10 【分析】把平面图画出，根据垂径定理求出半径即可． 【详解】解：设球的半径为x， ∵当球面恰好接触水面时测得水深为6cm， ∴， ∴， 根据勾股定理可得， ， ， 直径为：10， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了球的相关知识，解题的关键是根据题意画出平面图，根据垂径定理求解． 13． 【分析】弦，半径，根据题意得是直角三角形，可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，在中，，半径， ∴，，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 14．圆弧所在圆的半径为米 【分析】延长到，使得，则为圆心，由垂径定理得米，设圆弧所在圆的半径为米，则米，在Rt中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：延长到，使得，则为圆心， 为拱高， ， 米， 设圆弧所在圆的半径为米， 则米， 在Rt中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：圆弧所在圆的半径为米． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 15．(1)3 (2)， (3) 【分析】（1）连接，由垂径定理可得，由勾股定理可求； （2）过点作直线于，交于，通过证明，可得，即可求解； （3）过点作直线于，交于，过点作于，四边形是矩形，利用勾股定理可求，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接， ， ， ； （2）如图2，过点作直线于，交于， 由（1）可得， ， ，， ， ， ， ，； （3）如图3，过点作直线于，交于，过点作于， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$