第二十二章二次函数练习2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 练习 一、单选题 1．下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象开口向下 B．图象与y轴的交点为 C．当时，y随x的增大而增大 D．函数值有最小值 3．新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 4．二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   5．已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 6．如图①，赵州桥的桥拱可近似看成是一条不完整的抛物线，建立如图②所示的平面直角坐标系，其函数表达式为．当水面离桥拱拱顶的高度为时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 7．某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出．若每床每天收费提高5元，则有1张床位不能租出；若每床每天收费再提高5元，则再有1张床位不能租出；若每次按提高5元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（   ） A．3125元 B．2120元 C．2950元 D．1280元 8．将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 9．如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（    ） A．18 B．20 C．36 D．24 10．如图1，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为．类似地，如图2是函数和函数的图象，由图象可知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 二、填空题 11．将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位后，得到新抛物线解析式为 ． 12．已知二次函数，当 （填写x的取值范围）时，函数值y随着自变量x的增大而增大． 13．如图，已知抛物线与直线交于点O、，与x轴交于点．若，则x的取值范围是 ． 14．某公司试销一种成本为50元/件的新产品，规定试销时售价不得低于成本，且不高于80元/件．经调查发现，该产品的日销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）之间的关系可近似地表示为（50元/件元/件），则该公司试销该产品每天可获得的最大利润为 元． 15．如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 ． 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线过点，且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值． (2)已知点在抛物线上，且，求n的取值范围． 17．有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 18．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知点，． (1)求出抛物线的解析式； (2)若关于的方程（为实数）无解，求的取值范围； (3)点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． ①当点与点重合时，求的值； ②当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 19．“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ (3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 20．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点，对称轴是直线，顶点为D． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，设抛物线的对称轴交线段于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段于点F，若四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，M是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十二章 二次函数 练习2025--2026学年人教版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D A D D C C D 1．D 【详解】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握定义是关键．根据二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数． 【分析】解：A：，整理为，符合二次函数形式． B：，直接为标准二次函数，二次项系数为2，符合二次函数形式．． C：，展开得，二次项系数为，符合二次函数形式．． D：，展开得，再减去后为，仅含一次项，故为一次函数，不符合二次函数形式．． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】二次函数的二次项系数小于0， 图象开口向下，故A选项不符合题意； 当时，， 图象与y轴的交点为，故B选项不符合题意； 二次函数， 当时，y随x的增大而增大，有最大值，故C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选D． 3．B 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，能够表示出一台电视的利润和销售量增加的部分是解题的关键．根据利润问题公式：总利润单台利润销售数量，单台利润为原售价减进价再减去降价，销售数量随降价增加，即可列出方程． 【详解】解：设每台电视降价元， 降价后单台利润是元，卖出的台数是台， 商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元， 可列方程为， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 【详解】解：二次函数的顶点式为， ，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 5．A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 6．D 【分析】本题考查二次函数实际应用，已知函数值求自变量值等．根据题意可得点得纵坐标为，将其代入中即可求出的长，继而得到本题答案． 【详解】解：∵水面离桥拱拱顶的高度为时， ∴点得纵坐标为， ∵函数表达式为， ∴将点得纵坐标为代入中得：， ∴， ∴， 故选：D． 7．D 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．设每床每晚收费应提高个5元，旅店每天营业收入为元，然后根据题意可得函数解析式：，再根据二次函数的性质即可求得答案． 【详解】解：设每床每晚收费提高个5元，旅店每天营业收入为元， 根据题意得： ， 当时，最大，最大值为1280元， 该旅店每天营业收入最多为1280元， 故选：D． 8．C 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 9．C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键．先求出的坐标，得出抛物线向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答． 【详解】解：将代入抛物线， 得或，即， 故抛物线向右每次平移距离为4， 设，，，，，的横坐标分别为，，，，，， ，同时在抛物线和直线上， 即，的横坐标为的根， ， ， ， 直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和． 故选C． 10．D 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在二次函数的图象下方或二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得不等式的解集为或， 故选：D． 11．或 【分析】本题主要考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，对原抛物线进行向右平移个单位和向上平移个单位的操作，从而得到新抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移个单位， 根据“左加右减”原则，变为，得到； 再向上平移个单位， 根据“上加下减”原则，在式子后面加，得到． 故答案为： 12． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先化为顶点式，再求出二次函数图象的开口方向和对称轴方程，再根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值y随x的增大而增大． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系． 由二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点，然后观察图象，即可求得答案． 【详解】解：由图象可知，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点与坐标原点， 当时，的图象在下方，因此； 由与轴交于点，可知当时，； ∴当时，． 故答案为：． 14．625 【分析】本题考查二次函数的应用，设每天获得的利润为W元，根据题意得出，再根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】设每天获得的利润为W元， 由题意，得． ，， 当时，， 即该公司试销该产品每天可获得的最大利润为625元． 故答案为：625 15． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质作轴交于E点，求得的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可. 【详解】解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组： 解得 抛物线的解析式为 作轴交AC于E点，如图， 设的解析式为，则 解得 ∴的解析式为， 设，， ， 当时，的面积的最大值是； 故答案为： 16．(1)①  ② (2) 【分析】（1）①由，可得，即可得抛物线的顶点坐标为． ②平移后所得抛物线为，将代入，得，即，可得．设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为，，可得，，进而可得，求出a的值，从而可得答案． （2）由题意得，抛物线的对称轴为直线，可得点关于对称轴的对称点为，将，代入，得，可得，进而可得，结合，从而可得n的取值范围． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为． ②将抛物线向下平移m个单位，所得抛物线为， 将代入，得， ∴， ∴． 设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为，， ∴，． ∵平移后抛物线与x轴两交点之间的距离为6， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴． （2）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 将，代入， 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴n的取值范围为． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．(1) (2)米 【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键． （1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可． （2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线对称性可知，为， ∵抛物线顶点在原点， ∴设解析式为，把代⼊得： ∴， ∴． （2）∵水位上升就达到警戒线的位置， ∴点C、D的纵坐标为， 当时， ， 解得：， ∴， ∴米． 18．(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想，分类讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质，矩形的性质是解题的关键． （1）先出点C的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据题意可得抛物线开口线下，且抛物线有最大值，最大值为9，再由方程（为实数）无解，可得抛物线与直线无交点，即可求解； （3）①根据轴，可得，即可求解；②分两种情况：当时，点Q在点E的上方；当时，点Q在点E的下方，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点C的坐标为， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ∴抛物线开口线下，且抛物线有最大值，最大值为9， ∵方程（为实数）无解， ∴抛物线与直线无交点， ∴； （3）解：①∵点与点重合，， ∴点， ∵轴， ∴点P的纵坐标为， ∵点， ∴， 解得：； ②根据题意得：点， ∵轴， ∴点， 当时，点Q在点E的上方， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴； 当时，点Q在点E的下方， ∵， ∴，解得：或， ∵， ∴； 综上所述，m的取值范围为或 19．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌的每个头盔应涨价5元 (3)该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，找出等量关系列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个应涨价元，找出等量关系列出方程求解即可； （3）设该品牌头盔每个涨价元，利润为元，列出，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元． 由题意，得， 整理得， 解得，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌的每个头盔应涨价5元； （3）解：设该品牌头盔每个涨价元，利润为元． 由题意得， ， ∴当.时，月销售利润最大，最大值为6125． 答：该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元． 20．(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出，，再根据待定系数法求出直线的表达式为，则可求，进而求出，设，则，，由四边形为平行四边形，，由此建立方程求解即可； （3）设直线与抛物线的对称轴直线相交于点，根据轴对称的性质得到当点M与点重合时，取得最小值，即为的长，求出，即可得到取得最小值，再求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， 当时，， ∴顶点， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得（不符题意，舍去），， ∴， ∴； （3）解：设直线与抛物线的对称轴直线相交于点，连接， 则， ∴当点M与点重合时，取得最小值，即为的长， ∵， 即取得最小值为， ∵， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的知识． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$