第二十二章 二次函数 复习练习题2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 一、单选题 1．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）1米，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 2．设二次函数的图象的顶点为，与轴的交点为．当为等边三角形时，的面积为（   ） A． B． C． D． 3．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为，经过t（单位：s）时球距离地面的高度h（单位：m）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间t是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．4 5．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论： ①小球在空中经过的路程是40； ②与之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为6； ④当小球的高度时，．以上结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 7．二次函数（，，是常数，且）的图象的顶点坐标为，且与轴的两个交点位于原点两侧，则，，中为正数的（   ） A．只有 B．只有 C．只有 D．均为正数 8．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 10．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论一定正确的是（　　） A． B．=2 C． D． 二、填空题 11．已知二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，则 ． 12．若二次函数的图象上有点，则 （填“”“”或”）． 13．小明同学在校运动会铅球比赛中，某次掷铅球时，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则小明同学掷铅球的成绩是 ． 14．如图，在四边形中，是边上的动点，，连接为的中点，连接，若，，则的最小值是 ． 15．如图，抛物线与轴交于点，点，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧，若，则点的坐标为 ． 三、解答题 16．已知抛物线（a，b，c为常数且）经过和两点． (1)若，求当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围； (2)已知直线与抛物线有且只有一个交点． ①求a的值； ②若点在直线上，点在抛物线上．求证：当时，n的最小值是． 17．如下图，二次函数的图象与直线相交于点，B．已知点A的横坐标为． 求： (1)该二次函数的表达式． (2)点B的坐标． 18．如图，抛物线与x轴交于，与y轴交于点，点在抛物线上，如图1，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当，求n的最大值与最小值的差； (3)如图2，点E是y轴上一动点，点F为抛物线对称轴上一动点，点M为直线上一动点，连接，当时，求的最小值． 19．如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为． (1)直接写出线段长．（用含的代数式表示） (2)求当点落在线段上时的值． (3)设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式． 20．如图，点为抛物线上任意一点；抛物线与轴的交点坐标为．过点作线段轴，点在点的右侧，，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)当线段与抛物线没有公共点时，直接写出的取值范围； (4)当线段与抛物线和一共有3个公共点时，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．用待定系数法求出二次函数解析式，再令，算出x的值，即可解答． 【详解】解：由图可知抛物线的顶点为， 设水流形成的抛物线为， 将点代入可得 ∴抛物线为 当时，， 解得（舍去）或， ∴水流喷射的最远水平距离是5米， 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、等边三角形的性质．利用配方法把二次函数的解析式写成顶点坐标式，可得顶点的坐标为，从而可知顶点到坐标轴的距离，利用一元二次方程根与系数的关系求出，根据等三角形的性质可得，得到关于的方程，解方程求出的值，即可求出等边三角形的底边与高，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】记抛物线的对称轴交轴于点， 二次函数， 顶点的坐标为， ， 设抛物线与轴的两个交点为，， 则，， ， 为等边三角形， ， 即， 当时， 解得：或， 当时， 解得：或， 或（舍去）， ，， ． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查二次函数实际应用．当球回到地面时，高度，代入中，解方程即可得到时间． 【详解】解：∵球弹起后又回到地面时， ∴令， 整理得：， 解得：（舍）或， ∴球弹起后回到地面所花的时间为3秒， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，整式的乘法运算，通过消元法将代数式化简为二次函数的形式是解题的关键． 由已知可得，将其代入得到，而，得到，再转化为二次函数求最值处理． 【详解】解：∵当时，该多项式的值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵，当时，， ∴， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点，读懂函数图象是解题的关键． 根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m； 故①错误； ②设函数解析式为：， 把代入得， 解得， 函数解析式为， 故②错误； ③令，， 解得：或6， 小球的运动时间为， 故③正确； ④把代入解析式得，， 解得：或， 小球的高度时，t为秒或秒， 故④错误； 综上，正确的只有一个， 故选A． 6．D 【分析】本题考查一元二次不等式的解法，由题意得方程的解为或，利用根与系数的关系可得a，b的值，代入即可得出不等式的解集． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴方程的解为或， ∴，， 解得，， ∴，即，即 解得：， 故不等式解集为， 故选：D． 7．C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，熟练掌握其性质并能把求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程是解决此题的关键．先利用顶点式写出抛物线解析式得即，根据根的判别式的意义得到，解得，所以，再利用根与系数的关系得，所以，即． 【详解】解：图象的顶点坐标为， 可设抛物线解析式为，即， ，， 抛物线与轴的两个交点， ，解得， ， 抛物线与轴的两个交点位于原点两侧， ， ， ， 故选：． 8．D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元二次方程的二次项系数含有字母，应注意二次项系数不为这个隐含条件． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：或， 又， 或． 故选：D． 9．D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 10．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ，选项D正确，符合题意； A、B、C选项无法得出，故不符合题意． 故选：D． 11．或/或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，存在种情况，分类讨论：①当时，可得二次函数与坐标轴有两个交点，符合题意；②当时，则，可得的值，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点， ①当时，二次函数与轴有两个交点，即，，符合题意； ②当时，当时，，即二次函数的图象与轴交于点， 二次函数的图象与与轴必有一个交点， ， 解得． 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 12． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性比较函数值的大小即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 点关于直线对称， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，依据题意令，得到关于的方程，然后解方程并检验即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：令，则，整理得：， 解得：（舍去），， ∴小明同学掷铅球的成绩是， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题关键是熟练运用二次函数解决问题．首先根据已知条件可得、、都是直角三角形，设，由含30度直角的三角形性质和勾股定理可得，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，进而可得，由二次函数的性质求出的最小值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，是线段的中点， ∴， ∴，即， ∴当时，取最小值为，此时取最小值． 答案为：． 15．/ 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，抛物线与坐标轴的交点坐标，以及抛物线上点的坐标，解决此题的关键是和合理的推理正确的计算． 由得点P在线段的垂直平分线上，求出的中点坐标为，然后解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∴P点纵坐标为， 在中，令，可得， 解得，（舍去）， ∴P点坐标为， 故答案为． 16．(1) (2)①3；②见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）把代入解析式得，再把代入解析式求出，从而，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）①由直线与抛物线有且只有一个交点得出方程有两个相等的实数根，可求出； ②先把代入解析式，再把点代入上，点代入，得出，，整理得，把代入得出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）把代入解析式，得 ∴， 把代入解析式，得 ∴ ∴ ∴对称轴是直线 ∵ ∴ ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小 （2）①∵直线与抛物线有且只有一个交点， ∴当时，方程有两个相等的实数根． 整理，得． ． 解得． ②证明：， ，． ∵点在直线上，点在抛物线上． ，． ． ， ． ． ， ∴当时，n的最小值是． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的性质． （1）直接利用待定系数法即可得出二次函数的表达式； （2）令即可得出交点的横坐标，进一步代入得到交点的纵坐标． 【详解】（1）解：点A的横坐标为，且点A在直线上， 点A的纵坐标为， 点A的坐标为． 又点在二次函数的图象上， ，解得， ∴该二次函数的表达式为; （2）解：令，解得． 将代入，得， ∴点B的坐标为． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出当时，y有最大值，然后根据求解即可； （3）首先求出，作P关于y轴的对称点，连接，求出，作M关于抛物线对称轴的对称点，求出，得出在直线上，过作的垂线交于H，得到即为的最小值，过作x轴的垂线交于N，然后求出，进而得到线解析式为，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）将代入得                           ； （2）∵ ∴对称轴 ∴开口向下 ∴当时，y有最大值            当时，m随n的增大而增大 ∴当时，此时n有最小值6 当时，m随n的增大而减小 ∴当时，此时n有最小值 ∴当时，n有最小值            的最大值与最小值的差为 （3）当时， 如图所示，与抛物线对称轴交于点G，连接 作P关于y轴的对称点，连接 作M关于抛物线对称轴的对称点 关于抛物线对称轴对称 关于抛物线对称轴对称的直线是 在直线上 过作的垂线交于H 即为的最小值                过作x轴的垂线交于N 当时， 代入， 可得直线解析式为 当时，    由题可知： ． 即的最小值为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，线段最值问题，轴对称性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 19．(1)当时，．当时， (2) (3) 【分析】本题考查矩形的性质，动点问题； （1）分为或两种情况解答即可； （2）由题意列方程求出t值即可； （3）分为，或三种情况求出关系式即可． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 当时，． 当时，． （2）解：当点落在线段上时，． ， 解得； （3）当时，如图，点在的左侧，设与交于点，重叠部分是， 这时， ∵， ∴， ∴， ． 当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，则重叠部分为五边形， 这时， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，交于点，则重叠部分为五边形， 则， ． ∴． 20．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点P的坐标，根据轴，点在点的右侧，，即可求出点Q的坐标； （3）先求出抛物线的顶点坐标，再分别求出当恰好经过抛物线的顶点A时和当恰好在抛物线的对称轴右侧的分支上时m的值即可得到答案； （4）求出直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，可证明当恰好经过抛物线的顶点时，点Q在直线与抛物线的另一个交点的左侧；再分别求出当点Q恰好在抛物线的图象上时和当恰好在抛物线的对称轴左侧的分支上时m的值即可得到答案． 【详解】（1）解；∵抛物线与轴的交点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点为抛物线上任意一点，且点的横坐标为， ∴， ∵轴，点在点的右侧，， ∴； （3）解；∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； 如图所示，当恰好经过抛物线的顶点A时， 则， 解得或（舍去）， ∴此时的横坐标为， ∴当时，与抛物线不会有交点； 如图所示，当恰好在抛物线的对称轴右侧的分支上时， 则， 解得或， ∴此时的横坐标为， ∴当时，与抛物线不会有交点； 综上所述，当或时，与抛物线不会有交点； （4）解：如图所示，当恰好经过抛物线的顶点时，由（3）可知此时； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴直线与抛物线的另一个交点的横坐标为， ∵， ∴当时，， ∴当时，点Q在直线与抛物线的另一个交点的左侧，即此时与抛物线和一共有3个公共点； 如图所示，当点Q恰好在抛物线的图象上时， 则，解得， 如图所示，当恰好在抛物线的对称轴左侧的分支上时， 则， 解得或（舍去）， ∴当时，此时与抛物线和一共有3个公共点； 综上所述，当或时，与抛物线和一共有3个公共点． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，解（3）的关键在于求出临界点对应的m的值；解（4）的关键在于确定与抛物线和一共有3个公共点的情形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$