第24章 圆 练习题2024—2025学年人教版数学九年级上册

第24章 圆 练习题 一、单选题 1．如图，四边形是一个边长为4的菱形，，以点为圆心，为半径作弧，则阴影部分的面积为：（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知A，B，C为上的三点，且，，．P是上一动点（不与点A，B重合），连接交弦于点D．当为等腰三角形时，的长为（    ） A． B． C．或 D．或 4．如图，正方形的边长为10，分别以，为直径画半圆，过点的直线分别交两半圆于点，．已知，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在的内接中，．射线与交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A． B． C． D． 9．如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 10．在中，，是上一动点，连接，是三边垂直平分线的交点．连接，，若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 二、填空题 11．如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为 ． 12．如图，为的直径，，，则的度数为 ． 13．如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为 ． 14．如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 15．如图， 等边中． 点为边中点，点为边上一点，且 ，将绕点在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为 ． 三、解答题 16．如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 17．已知：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 18．如图，在中，以为直径的交于点，连接． (1)如图1，若，，求证：为的切线； (2)如图2，若为的切线，，，求阴影部分的面积． 19．如图，点P是的直径延长线上一点，，绕点P按逆时针方向旋转，点O旋转到点C，连接交于点D，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 20．如图，已知是的外接圆，于，且点是的中点． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若过点作的切线，与的延长线交于点，且，，求的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了菱形的性质，扇形的面积的计算，根据“”求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了圆的性质、旋转的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含30度角的直角三角形的性质，正确找出点的运动轨迹是解题关键．连接，先求出，，再根据旋转的性质可得，根据直角三角形的性质可得，从而可得点的运动轨迹，最后利用圆的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，，是的中点， ∴，， 由旋转的性质得：， ∵是的中点， ∴， ∴在绕顶点逆时针旋转的过程中，点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的圆上， ∴当点共线，且点位于点中间时，线段的值最大，最大值是， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质．先求得圆的半径，再根据为等腰三角形时，分三种情况讨论：当时，通过圆心角与圆周角关系及弧长公式可求得的长为；当时，同理可求得的长为．进而可得答案． 【详解】解：连接，，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 当为等腰三角形时，有三种情况： 当时，， ∴， ∴的长为； 当时，，则， ∴， ∴的长为； 当时，，此时点D与点A重合，不符合题意； 综上，的长为或， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，求不规则图形的面积；连接，证明得出，结合已知可得，进而根据阴影部分面积等于半圆的面积减去三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵以，为直径画半圆， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 设，则 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴弓形相等， ∴阴影部分面积为 故选：B． 5．B 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，切线的性质，连接．求出，再利用圆周角定理求出，连接，可得，由得，求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵M，N，F分别是与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中，， ∴， ∴， 连接，由对称性可得三点在同一条直线上， 在和中， , ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 7．B 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形的内角和定理、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得；如图：连接，由圆周角定理可得；再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 如图：连接，则， ∵， ∴． 故选B． 8．A 【分析】利用垂径定理，勾股定理求出OD，即可由求解． 本题考查垂径定理，勾股定理，熟知 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A 9．C 【分析】此题考查了三角形的外接圆及外心，等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．连接，过点E作于F，过点A作于H，先求出，则，进而再求出，则，进而得，则，进而再求出，则，从而得是等腰直角三角形，则，然后再分别求出，，进而可得的长． 【详解】解：连接，过点E作于F，过点A作于H，如图所示： ∵内接于，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了三角形外心，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．证明是等腰直角三角形，且，证明是等腰直角三角形，作的垂直平分线l交于点H，则，则，由点E在的垂直平分线上运动得到当点D运动到使得点E到达点H时，即面积最小，即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵是三边垂直平分线的交点． ∴，是的外心． ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 作的垂直平分线l交于点H，则 ∴， ∵， ∴点E在的垂直平分线上运动， 当点D运动到使得点E到达点H时，即面积最小， 此时． 故选：D． 11．20 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查扇形面积的计算，正方形的性质，垂径定理，圆周角定理，掌握以上性质是解题的关键． 作于H，利用垂径定理可得，利用圆周角定理得到，然后通过证得，得出，设，，根据勾股定理得出，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，作于H，则， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得，，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质， 先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，圆相关知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，在等边中， 点为边中点，得出，勾股定理求出，根据题意可得点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，若为直角三角形，根据题意可知只有一种情况，此时，点在上或延长线上，分情况分别根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，在等边中． 点为边中点， ∴， ∴， 根据题意可得点在以点为圆心，1为半径的圆上运动， 若为直角三角形，根据题意可知只有一种情况， 此时，点在上或延长线上， 当点在上时，如图， 则， ∴； 当点在延长线上时，如图， 则， ∴； 故答案为：或． 16．(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 17．(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质，推出，求得根据切线性质知道，据此即可证明； （2）设，根据平行线的性质，求得，再根据三角形内角和，推出，根据圆内接四边形的性质，推出，据此列式，求得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的长． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角、弧、弦三者的关系，圆周角的定理及推论，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆的内接四边形的性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． （1）由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理即可求出，结合时半径即可证明； （2）过点作于点，求出，由圆周角定理求出，易证为等边三角形，求出，利用即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． 是的直径， 为的切线； （2）解：如图，过点作于点． 为的切线， ， ， ． ， 为等边三角形， ， ． 19．(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定与性质、扇形面积的计算． （1）连接，根据题意推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，则，根据切线的判定定理即可得解； （2）根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】（1）解：是的切线，理由如下： 如图，连接， 根据题意得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积． 20．(1)， (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行四边形的判断和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； （1）根据题意，可得，结合垂直平分线的性质得到，进而判定是的中位线，进而求解即可； （2）连接，根据是的切线得到，判定，四边形是平行四边形，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$