第十三章三角形练习2025--2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 练习 一、单选题 1．已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（    ） A．1 B．2 C．6 D．8 2．如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．如图，点，分别在，上，，垂足为点，，若，，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B． C． D．2 5．如图在中，是的高．若为内角的平分线．当，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知是边上的中线，是的中点，若的面积为2，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 7．如图，，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A． B． C． D． 8．抖空竹这个运动项目被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．我们可以从如图1运动员某一时刻的姿势中抽象出如图2的数学问题：，若测得，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点，分别是，上的中点，连接，，若的面积为10，则的面积为（   ） A．5 B． C． D． 10．如图，中，，是的角平分线，且于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A．4 B．4.5 C．6 D．8 二、填空题 11．若三角形三边长为4，，10，则x的取值范围是 ． 12．如图，在中，中线和中线相交于点，若的面积为36，则四边形的面积为 ． 13．如图所示，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则 度． 14．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 15．一次数学拓展探究活动课上，小晨同学将一副三角板按如图所示方式摆放，边重合，，然后将三角板绕着点按顺时针方向以每秒的速度旋转．在此旋转过程中，当旋转时间为 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 三、解答题 16．如图，分别是的角平分线和高，，求的度数． 17．如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 18．如图，平分，交的延长线于点E，连接． (1)试判断和之间的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 19．如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ． 20．已知：如图，在中，为的角平分线，相交于点． (1)如图1，若，则的度数为 ． (2)如图2，过点作，交延长线于点，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取一点，连接交于点，，：，，若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十三章 三角形 练习2025--2026学年人教版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C B B C D B D 1．C 【分析】本题考查了构成三角形的条件，由构成三角形的条件得，即可求解；理解构成三角形的条件是解题的关键． 【详解】解：设第三根木条的长度为，则有 ， ， 故选：C． 2．A 【分析】本题主要考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补 ）以及直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质，准确找到角之间的关系是解题的关键．利用平行线的性质，结合直角三角形的角的关系，先求出与相关角的度数，进而得出的度数 ． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴在中，， ∵，（两直线平行，内错角相等 ）． ∴， 故选：A ． 3．C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，设，则，，根据三角形的内角和是180度分别求出各个角的度数即可判断三角形的种类． 【详解】解：∵ ∴设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， 则这个三角形是是钝角三角形， 故选：C 4．C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键． 首先证明，再证明，最后运用面积法可求出点F到直线的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴, ∴， 设点F到直线的距离为h，且，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C 5．B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，角度的和差计算方法是解题的关键． 先利用三角形的内角和、角平分线的性质求出，，再利用三角形的内角和求出，最后利用角的和差关系求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查三角形中线的性质—中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由于是的中点，，那么和可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出和的面积相等，进而得出的面积等于的面积的倍；同理，由于是的中点，得出的面积等于的面积的倍，据此即可求解． 【详解】解：如图所示， 点是的中点，的面积为2， ， ， 是边上的中线， ， ， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．延长交直线于F，利用平行线的性质，求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，延长交于，由两直线平行，同位角相等可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9．B 【分析】本题主要考查了三角形的中位线性质，三角形相似的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．根据三角形的中线与面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵点，分别是，上的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故选：B． 10．D 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，延长交于点H．设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交延长线于点H．设交于点O， ∵， ∴， ∴， ∵（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， ∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为， 故选：D． 11． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【详解】解：三角形的三边长分别为4，，10， 根据三角形的三边关系可得：， 即， 故答案为：． 12．12 【分析】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出，得出，再由中线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵、是的中线， ∴， ∵，， ∴， 连接并延长交于点K，如图所示： ∴为中线， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵的面积为36， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：12． 13． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线性质． 由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律． 【详解】解：∵、分别平分和， ∴，， 而，， ∴， ∴， 同理可得， 即， ∴， ∴，即． ∴ 故答案为：． 14．5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 15．，或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意分三种情况，或或，分别画出示意图，根据平行线的性质以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意得，分三种情况： ①如图1，当三角板旋转至时， 有， 旋转时间为． ②如图2，当三角板旋转至时， 有， 旋转时间为． ③如图3，当三角板旋转至时，连接， 有． ，， ． ． 旋转时间为． 综上所述：当旋转时间为，或时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 故答案为：，或． 16． 【分析】本题主要考查三角形的高线及角平分线、三角形内角和，由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∴． 17．(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行线的作法，平行线的性质，及平角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）平移过点A，画即可； （2）利用平行线的性质，推出，，再利用平角的性质即可求证． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）证明：， ，， ， ， 即． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，则可得到，由此可证明； （2）根据，得出，根据，得出，，根据平分，得出，根据，得出，结合，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19．(1) (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了图形平移性质、三角形内角和定理以及相关角度和面积的计算．解题关键是利用平移性质得到角与面积的等量关系，结合三角形内角和等知识求解角度与面积． （1）利用平移性质得到对应角相等，进而推出两直线平行，再依据平行线性质得出与已知角相等，结合较大锐角为，求出度数． （2）先由第一问结论得到度数，根据已知度数求出，再在中利用三角形内角和定理求出，从而得出结论． （3）根据平移性质可知，又因为，结合三块阴影部分面积和为，通过面积关系的等量代换，得出一个直角三角板的面积． 【详解】（1）解：是由向左平移得到的 ∵ ， ∴； （2）由（1）可知： ∵ 在中， ； （3）∵三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上， ∴， ∵，三块阴影部分的面积之和为6， ∴， ∴一个直角三角板的面积为6． 故答案为：6． 20．(1) (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的计算，解二元一次方程组，三角形等面积法等，理解题意，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． （1）根据角平分线得出，确定，再由三角形内角和定理即可求解； （2）设，利用三角形内角和定理得出，，即可证明； （3）根据题意得出，利用三角形内角和定理得出①，再由已知条件确定②，解方程组确定，得出，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵：：7，， ∴， ∵， ∴①， ∵，， ∴， ∵， ∴，② 联立①②， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$