精品解析：山东省济南甸柳第一中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

山东省济南甸柳第一中学2024-2025学年八年级 上学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则整式的值是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 11 6. 方程与下列方程构成的方程组的解为的是（ ） A. B. C. D. 7. 规定：符号叫做取整符号，它表示不超过的最大整数，例如：，，，，．则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 秋天，各地红枫林成了一道亮丽的风景线．如图，将一片枫叶放在平面直角坐标系内，点的坐标是，则和点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 的相反数是_____；的平方根是_____；的算术平方根是_____． 12. 已知二元一次方程2x-3y=5，用含x的代数式表示y，则y=_____________ 13. 现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有，则的值为________． 14. 如图，已知点A(－2，0)，B(3，0)，C(5，－4)，则三角形ABC的面积是________． 15. 如图所示的是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼，表示旗杆，则实验楼的位置可表示成_________． 16. 在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么_____． 三、解答题 17. 计算：． 18. 【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________． （2）若，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 19. 阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： （1）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢，我们可以把，分别看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： （3）若关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 21. 如图，在平面直角坐标系中有四个点、、、． （1）描出A、B、C、D四个点，并画出四边形； （2）求四边形的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P坐标：若不存在，请说明理由． 22. 某中学七年级（3）班去体育用品商店买一些篮球和足球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个足球，花570元，并且每个足球比篮球便宜25元． （1）求篮球和足球的单价各是多少； （2）商店里搞活动，有两种套餐： ①套餐打折：五个篮球和五个足球为一套餐，套餐打八折； ②满减活动：满1000减100，满2000减200； 两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个足球，请问如何安排更划算？ 23. 计算： （1） （2） 24. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 25. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 26. 如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，点回到点，则停止移动． （1）______，______，点的坐标为______． （2）在移动过程中，是否存在点，使三角形的面积为10？若存在，求此时点移动的时间．若不存在说明理由； （3）在移动过程中，是否存在点，使三角形的面积为15？若存在，求此时点移动的时间．若不存在说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济南甸柳第一中学2024-2025学年八年级 上学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的概念，例如：无限不循环小数，开方开不尽的数等． 【详解】解：A、是有理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、是有理数，故本选项不符合题意； D、是有理数，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 在平面直角坐标中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限． 【详解】解：，， 在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内坐标的符号：第一象限：，；第二象限：，；第三象限：，；第四象限：，． 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式．根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算．根据二次根式的加减乘除运算法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，正确，故本选项不符合题意； B、，正确，故本选项不符合题意； C、，正确，故本选项不符合题意； D、，原计算错误，故本选项符合题意； 故选：D 5. 若，则整式的值是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整体思想求代数式的值．将变形为，再将整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B 6. 方程与下列方程构成的方程组的解为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题关键是掌握方程组的解是能使方程组中两方程成立的未知数的值．将解，代入各选项方程，验证是否成立即可． 【详解】解：A、代入，左边为，不等于1，选项错误； B、代入，左边为，不等于，选项错误。 C、代入，左边为，不等于，选项错误； D、代入，左边为，等于右边，选项正确； 故选：D． 7. 规定：符号叫做取整符号，它表示不超过的最大整数，例如：，，，，．则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数大小比较，由，再根据定义进行运算即可． 【详解】解：， ， 故选：A 8. 秋天，各地红枫林成了一道亮丽的风景线．如图，将一片枫叶放在平面直角坐标系内，点的坐标是，则和点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特点．根据关于x轴对称的点的坐标特点横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵点关于轴对称的点是点，点的坐标是， ∴点的坐标为， 故选：D． 9. 我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程，熟练掌握从实际情境中找出等量关系是解题关键．根据题目中“每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个”这两个条件，分别找出物体总数与、的等式关系，进而列出方程． 【详解】解：∵每 3 个一数，数了次，剩余 2 个， ∴物体总数可表示为 ． 又∵每 5 个一数，数了次，剩余 3 个， ∴物体总数也可表示为 ． 由于物体总数是固定的， ∴ 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，根据题意可得每6个点的坐标为一个循环，每个循环内的纵坐标依次为1，1，0，，，0，每个循环横坐标增加2，根据确定的横纵坐标即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴每6个点的坐标为一个循环，每个循环内的纵坐标依次为1，1，0，，，0，每个循环横坐标增加2， ∵， ∴的纵坐标与的相同，即为0，横坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 二、填空题 11. 的相反数是_____；的平方根是_____；的算术平方根是_____． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，算术平方根和平方根的定义，熟练掌握知识点是解答本题的关键． 根据相反数的定义，算术平方根和平方根的定义，即可解答． 【详解】解：①的相反数是； ②∵， ∴4的平方根是， 即的平方根是； ③∵ ∴9的算术平方根是3， 即的算术平方根3． 故答案为，，3． 12. 已知二元一次方程2x-3y=5，用含x的代数式表示y，则y=_____________ 【答案】 【解析】 【分析】用含x的代数式表示y，即解关于y的一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了二元一次方程，如果把二元一次方程其中的一个未知数当成常数，就可以看作一个一元一次方程． 13. 现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有，则的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据新运算要求可知两个数进行新运算等于这两个数和的算术平方根，再加上这两个数的乘积与1的和的立方根，再代入计算即可． 【详解】． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的计算，理解新定义是解题的关键． 14. 如图，已知点A(－2，0)，B(3，0)，C(5，－4)，则三角形ABC的面积是________． 【答案】10 【解析】 【分析】在直角坐标系上求出AB的距离为5，C到x轴的距离为4，再根据三角形面积公式即可求出. 【详解】因为点A(－2,0)，B(3,0)，C(5，－4)，所以AB＝3＋2＝5，C到x轴的距离为4， 则三角形ABC的面积是：×5×4＝10. 【点睛】此题主要考查直角坐标系内的计算，解题的关键是线段的长再求解面积. 15. 如图所示的是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼，表示旗杆，则实验楼的位置可表示成_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示位置，解题的关键是根据已知地点的坐标确定平面直角坐标系中x轴与y轴的位置和单位长度． 先根据教学楼和旗杆的坐标确定坐标原点、坐标轴方向及单位长度，再据此确定实验楼的坐标． 【详解】已知用表示教学楼，表示旗杆．以旗杆所在位置为可知，旗杆在轴上，且一个单位长度代表一格．以校门位置为坐标原点建立平面直角坐标系，轴正方向向右，轴正方向向上， 从建立好的平面直角坐标系中观察实验楼的位置，实验楼在轴正方向第2格，轴负方向第3格， 所以实验楼的位置可表示为． 故答案为：． 16. 在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么_____． 【答案】7 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：把把代入得：， 得：， 把代入①得：， 把代入得：， 解得：， ， 故答案为：7． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及特殊角的三角函数、二次根式加减乘除运算，先求出特殊角的三角函数、再运用二次根式混合运算求解即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 18. 【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________． （2）若，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）16；（3）22 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、一元一次方程的应用． （1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积小正方形的边长小正方形的边长，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）延长、交于点H，根据题意，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是56，得出方程：，求出，根据，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）图4中阴影部分的面积可以表示为：或， ∴， 故答案为：； （2）若， 则 ； （3）如图：延长、交于点H， 设正方形的边长为x，正方形的边长为，由得： ， ， ， 即， ， ， 即 ． 答：图中阴影部分的面积是22． 19. 阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： （1）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢，我们可以把，分别看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： （3）若关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由（1）可得，求解即可； （3）由题意可得和有相同的解，先求出am＝6，bn＝7，再求a、b的值即可． 【小问1详解】 ， ，得， 解得， 将代入得，， 方程组的解为， 故答案为：； 【小问2详解】 由可得， ， 故答案为：； 【小问3详解】 由题意可得和有相同的解， ， ，得， 将代入可得，， ， 解得， ， 解得， ，， 解得，． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并用整体思想解题是关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作： ，，；，， （2） 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求作： 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中点的坐标，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出、、对应点的坐标，再描出，，，然后顺次连接即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在平面直角坐标系中有四个点、、、． （1）描出A、B、C、D四个点，并画出四边形； （2）求四边形的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图所示： （2）36 （3）的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握坐标系中点的坐标特点． （1）根据点的坐标在平面直角坐标系中画出四边形即可； （2）利用割补法求出四边形的面积即可； （3）根据，得出，设点P的坐标为，得出，求出或，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交x轴于点E，过点A作于点F，如图， ，，，． ，，， ， ， ； 【小问3详解】 解：若，则， 设点P的坐标为， 到的距离为， ， ∴， 解得：或， 的坐标为或． 22. 某中学七年级（3）班去体育用品商店买一些篮球和足球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个足球，花570元，并且每个足球比篮球便宜25元． （1）求篮球和足球的单价各是多少； （2）商店里搞活动，有两种套餐： ①套餐打折：五个篮球和五个足球为一套餐，套餐打八折； ②满减活动：满1000减100，满2000减200； 两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个足球，请问如何安排更划算？ 【答案】（1）篮球每个元，足球每个元； （2）选用套餐①购买更划算． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及择优方案问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． （1）设篮球单价为每个元，足球单价为每个元，根据买了2个篮球和6个足球，花元，并且每个足球比篮球便宜元，列方程组求解即可得到答案； （2）分别计算两种活动方案费用比较即可得到答案； 【小问1详解】 解：设篮球单价为每个元，足球单价为每个元， 由题意可得， 解方程组得， 答：篮球每个元，足球每个元； 【小问2详解】 解：若按照①套餐打折购买费用为： （元）， 若参加②满减活动购买费用为： （元）， 又， 所以（元）． 而， 所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低． 23. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简为最简根式，再从左往右依次计算即可； （2）利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式． 24. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程即可求得解． （1）采取代入消元法，由①得，然后代入②，解出，然后再代入，则求出y值． （2）采取加减消元法，方程整理后由得：③，由②减去③得y值，然后把y值代入①，求得值． 【小问1详解】 解：， 由①得，然后代入②， 得， 展开得：， 解得：， 把代入， 得：， ∴这个方程组的解是． 【小问2详解】 ， 方程组整理得：， 由得：③， 由得： ， 解得：， 把代入①得： ， 解得． ∴这个方程组的解是． 25. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能灵活运用是解题的关键； 在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后求四边形的面积． 【详解】，，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 四边形的面积． 26. 如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，点回到点，则停止移动． （1）______，______，点的坐标为______． （2）在移动过程中，是否存在点，使三角形的面积为10？若存在，求此时点移动的时间．若不存在说明理由； （3）在移动过程中，是否存在点，使三角形的面积为15？若存在，求此时点移动的时间．若不存在说明理由． 【答案】（1）4，6， （2）存在，或5.5 （3） 当点P在上时，三角形的面积最大，最大值为， ∵， ∴不存在点，使三角形的面积为15． 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质可求出a，b的值，进而可求出点的坐标； （2）分2种情况求解即可； （3）求出三角形的面积的最大值即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4，6，； 【小问2详解】 设t秒后三角形的面积为10． 当点P在上即时，由题意，得 ， 解得； 当点P在上即时，由题意，得 ， 解得； 综上可知，或5.5； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，以及一元一次方程的应用，分情况讨论是解答（2）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $