精品解析：江苏省江阴市璜塘中学2024-2025学年九年级下学期3月随堂练习数学试题

2024--2025学年第二学期3月份限时练习 初三数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 5的倒数是( ) A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的意义可直接进行求解． 【详解】解：5的倒数是； 故选A． 【点睛】本题主要考查倒数，熟练掌握求一个数的倒数是解题的关键． 2. 函数y中自变量x的取值范围是（　　） A. x≥3 B. x＜3 C. x≠3 D. x＝3 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】根据题意得：x-3≠0， 解得：x≠3， 故选C． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，注意：函数自变量的范围一般从三个方面考虑： (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键． 4. “嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰……在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章．下列航天图标（不考虑字符与颜色）为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5. 下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】说明一个命题错误只要举反例即可，即满足命题的条件但不满足命题的结论的例子便是举反例，由此即可作出判断． 【详解】选项A的反例不满足命题的条件，不符合；选项B、C满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合；选项D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题的举反例，了解举反例的含义是关键． 6. 在中，已知，，，则长为（　　） A. 12 B. 26 C. 24 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用正弦的定义即可求出． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：B． 7. 下列命题中：①菱形的对角线相等；②矩形的对角线互相垂直；③平行四边形的对角线互相平分；④正方形的对角线相等且互相垂直平分．真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，根据菱形、矩形、平行四边形和正方形的对角线性质逐一判断各命题的真假． 【详解】解：①菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，只有菱形为正方形时对角线才相等，故①是假命题； ②矩形的对角线相等且平分，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故②是假命题； ③平行四边形的对角线一定互相平分，这是其基本性质，故③是真命题； ④正方形的对角线相等且互相垂直平分，故④是真命题； 综上，真命题为③和④，一共2个． 故选：C． 8. 《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两.请问：所分的银子共有多少两？（注：明代时1斤16两，故有“半斤八两”这个成语.）设有x个人，y两银子，根据题意可以列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先设未知数，再列方程. 【详解】有x个人，y两银子，根据题意可列方程组为. 故选D. 【点睛】错因分析 中档题.失分原因是不能根据题意列出正确的二元一次方程组. 此题重点考查学生对二元一次方程的应用，会列二元一次方程是解题的关键. 9. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（）的图像上，D为y轴上一点，的面积为，则k的值是（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，反比例函数比例系数k的几何意义；连接，由题意易得，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k的值；通过辅助线把的面积转化为的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，如图； 与x轴相切，为的直径， ，， ， ， 即， ， ； 故选：B． 10. 如图1，有一张矩形纸片，已知，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论：① 的长为；②的周长为；③；④的长为，其中所有正确的结论有（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，分别交于点正方形的性质可知，利用相似三角形的判定与性质可得即可解答． 【详解】解：过点作，分别交于点， ∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：，且， ∴四边形为正方形， ∴， 故①正确； ∵， ∴和为等腰直角三角形，且， 设，则， ∴，， 由折叠的性质可知：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴解得：， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故④错误； ∵和为等腰直角三角形，且，， ∴，， ∴的周长为， ∴， 故②不正确，③正确； 综上可得：①③正确； 故选； 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 分解因式：x2-2x+1=__________． 【答案】（x-1）2 【解析】 【详解】由完全平方公式可得： 故答案为． 【点睛】错因分析 容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底. 12. 中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”，在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为192000000公里．数192000000用科学记数法表示为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的定义，利用科学记数法的定义即可求解．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：192000000用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 正五边形的每一个内角都等于___． 【答案】108° 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）×180°求出内角和，然后除以5即可； 【详解】解：（5-2）×180°=540°，540°÷5=108°； 故答案为：108°． 14. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆锥的底面周长，即可得到圆锥侧面展开图的扇形弧长，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：圆锥的底面周长是， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的求法，熟知圆锥的侧面展开图是半径为母线，弧长为底面圆的周长的扇形是解题的关键． 15. 写出一个函数表达式，使它的图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数增减性是解题关键． 直接利用一次函数的性质分析得出答案． 【详解】解：一个函数表达式，使其图象经过点，且函数随的增大而减小， 设此函数是一次函数，则可以设此函数解析式为：， 将代入得，， 解得：， 故函数表达式是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______° 【答案】62 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是90°，可得，由，可得，进而可得． 【详解】解：连接， ∵AB是的直径， ∴， ， ， 故答案为：62 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键． 17. 如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、A、B共线，再根据tan∠ABC＝，求出EC、EB即可解决问题． 【详解】解：如图，连接EA，EC， 设菱形的边长为a，由题意得∠CEF＝60°，∠BEF＝30°，CE＝a，AE＝，EB＝， ∴∠AEC＝90°， ∵∠ACE＝∠AGF＝60°， ∴∠EAB＝180°， ∴E、A、B共线， 在Rt△CEB中，tan∠ABC＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 18. 如图，已知在四边形中，，对角线与交于点M，且．若，则______；若，则的面积最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用勾股定理求得，则可得到，，作于点E，再根据勾股定理可求得的长；若，如图，作轴于点F，轴于点G，证明以及三角函数求得，，利用三角形的面积构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：若，则， ∴， ∵， ∴，， 作于点E， 则， ∴， ∴； 若，如图，作轴于点F，轴于点G， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的应用，解题的关键是学会利用参数构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）25 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，整式的混合运算： （1）进行零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可； （2）先进行乘法公式和多项式乘以多项式的运算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】此题考查的是解一元二次方程和解一元一次不等式组，掌握利用公式法解一元二次方程、不等式的解法和公共解集的取法是解决此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）分别求出两个不等式的解集，然后取公共解集即可． 【详解】（1） ∴或 解得，； （2） 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为． 21. 如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的两侧，，． （1）求证：： （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即； ∵． ∴， ∵A ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据题意推出，，即可求证； （2）根据题意推出结合，得；根据，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵ ∴ ∵， ∴； ∴， ∴ 22. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）100，补全的条形统计图如图所示： （2）72，C； （3）估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组； （3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【小问1详解】 这次调查的样本容量是：25÷25%=100， D组的人数为：100-10-20-25-5=40， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：100； 【小问2详解】 在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°， ∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组， ∴中位数落在C组， 故答案为：72，C； 【小问3详解】 1800×=1710（人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23. 2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行．以下四张图片分别是巴黎奥运会的会徽，吉祥物，奖牌以及火炬，用编号A，B，C，D来表示，这4张图片背面完全相同，现将这四张图片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张图片，恰好是“吉祥物Phryge”的概率为______； （2）将会徽和吉祥物Phryge的组合或奖牌和火炬的组合称为“一套”，小王和小高依次从中随机抽取一张图片（没有放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张图片恰好为一套的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解题的关键是熟练掌握画树状图． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，小明和小红她们抽到的两张卡片恰好配套的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张图片， ∴从中任意抽取一张图片，恰好是“吉祥物Phryge”的概率为． 故答案为∶ ． 【小问2详解】 解：画树状图如下∶ 共有12种等可能的结果，其中两张卡片恰好配套的结果有4种，分别是∶、、、， ∴她们抽到的两张卡片恰好配套的概率为． 24. 如图，已知中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①作，使圆心在边上，且使以为圆心，为半径的圆与相切于点； ②若交于点，在下方的圆弧上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若交的边于点，且，的半径为6，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） ①如图，即为所求： ②如图，点即为所求： （2）8 【解析】 【分析】（1）①作的平分线与交点即为点，以为圆心，为半径画圆，则与的交点即为切点，根据角平分线的性质定理即可说理； ②过点作的垂线与交点即为点，由垂径定理的推论可得； （2）连接，先导角证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，求出即可得出答案． 【小问1详解】 解：①过点O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴点E在上， ∴为的切线； ②∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，的半径为6， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图角平分线和垂线等知识点，正确作图是解题的关键． 25. 如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． （1）求的半径； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、扇形面积公式以及勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． （1）连接，，由圆周角定理得，进而利用勾股定理即可得解； （2）利用求解即可． 【小问1详解】 解：连接，，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的半径为； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴， ∴ ． 26. 超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元． （1）求苹果的进价． （2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式． （3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入购进支出） 【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2）；（3）要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克． 【解析】 【分析】（1）设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解； （2）分两种情况：当x≤100时， 当x＞100时，分别列出函数解析式，即可； （3）分两种情况：若x≤100时，若x＞100时，分别求出w关于x的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：（1）设苹果的进价为x元/千克， 由题意得：，解得：x=10， 经检验：x=10是方程的解，且符合题意， 答：苹果的进价为10元/千克； （2）当x≤100时，y=10x， 当x＞100时，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200， ∴； （3）若x≤100时，w=zx-y==， ∴当x=100时，w最大=100， 若x＞100时，w=zx-y==， ∴当x=200时，w最大=200， 综上所述：当x=200时，超市销售苹果利润w最大， 答：要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克． 【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键． 27. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），它的对称轴l与图象交于点P，直线所对应的函数表达式为 （1）请直接写出点P的坐标． （2）若为直角三角形，设直线与这个二次函数的图象的另一个交点为Q． ①求a、c的值与点Q的坐标； ②若M为直线l上的点，且以M、B、Q为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点M的纵坐标t的取值范围． 【答案】（1） （2）①，；②或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式可得到点P的横坐标，代入可得出点P的坐标； （2）①根据题意可知，是等腰直角三角形，所以，由此可得出点A，B的坐标，联立方程，可得出点Q的坐标； ②由题意可知，，由两点间的距离可得，分三种情况，当为直角时；当为直角时；当为直角时，根据勾股定理建立方程，求出t的值，进而可得出t的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∴点P的横坐标为， ∵直线的表达式为， 当时，， ； 【小问2详解】 ①由抛物线的对称性可知，， ∴是等腰直角三角形， 设抛物线的对称轴与x轴交于点E，则轴， ， ,, 把代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 令， 解得或， 当时，， ； ②由题意可知，， 当为直角三角形时，分三种情况： 当为直角时，，即，解得； 当为直角时，，即解得； 当为直角时，，即，解得或， ∴当为锐角三角形时，t的取值范围为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法，等腰直角三角形的性质与判定，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 28. 已知在矩形中，，O为矩形的中心；在中，，．将绕点A按顺时针方向旋转一周． （1）当直角边，分别在，边上时，连接，直接写出的面积______； （2）设斜边与矩形的交点为G，当O，E，F三点在一条直线时，求的值； （3）连接，取中点M，连接，求的取值范围． 【答案】（1）12 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，作于点，先根据矩形的性质可得，从而可得，再根据的面积等于求解即可得； （2）作于，于，则，先证出，根据相似三角形的性质可得，再利用勾股定理求出，利用三角形的面积公式可得的长，由此即可得； （3）如图3，延长至，使，连接，作于，先利用勾股定理可得，从而可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，再利用圆的性质可得的最大值与最小值，然后根据三角形的中位线定理可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点，作于点， 在矩形中，，为矩形的中心， ， ， ， 则的面积为 ， 故答案为：12． 【小问2详解】 解：如图2，作于，于，则， ∴， ∵， ∴， ， 在中，，， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图3，延长至，使，连接，作于， 在矩形中，， ， ， 由（2）得，， ， ， 则在中，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 如图3，延长交于点，延长交于点， 的最大值为，的最小值为， 又点是的中点，点是的中点， ， 的最大值为，的最小值为， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆的性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，利用到三角形中位线定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年第二学期3月份限时练习 初三数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 5的倒数是( ) A. B. C. 5 D. 2. 函数y中自变量x的取值范围是（　　） A. x≥3 B. x＜3 C. x≠3 D. x＝3 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰……在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章．下列航天图标（不考虑字符与颜色）为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，，，则长为（　　） A. 12 B. 26 C. 24 D. 13 7. 下列命题中：①菱形的对角线相等；②矩形的对角线互相垂直；③平行四边形的对角线互相平分；④正方形的对角线相等且互相垂直平分．真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两.请问：所分的银子共有多少两？（注：明代时1斤16两，故有“半斤八两”这个成语.）设有x个人，y两银子，根据题意可以列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（）的图像上，D为y轴上一点，的面积为，则k的值是（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 10. 如图1，有一张矩形纸片，已知，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论：① 的长为；②的周长为；③；④的长为，其中所有正确的结论有（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 分解因式：x2-2x+1=__________． 12. 中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”，在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为192000000公里．数192000000用科学记数法表示为 ___________． 13. 正五边形的每一个内角都等于___． 14. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥的侧面积为________． 15. 写出一个函数表达式，使它的图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小：______． 16. 如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______° 17. 如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是________________． 18. 如图，已知在四边形中，，对角线与交于点M，且．若，则______；若，则的面积最大值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 21. 如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的两侧，，． （1）求证：： （2）若，求的度数． 22. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 23. 2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行．以下四张图片分别是巴黎奥运会的会徽，吉祥物，奖牌以及火炬，用编号A，B，C，D来表示，这4张图片背面完全相同，现将这四张图片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张图片，恰好是“吉祥物Phryge”的概率为______； （2）将会徽和吉祥物Phryge的组合或奖牌和火炬的组合称为“一套”，小王和小高依次从中随机抽取一张图片（没有放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张图片恰好为一套的概率． 24. 如图，已知中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①作，使圆心在边上，且使以为圆心，为半径的圆与相切于点； ②若交于点，在下方的圆弧上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若交的边于点，且，的半径为6，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 25. 如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． （1）求的半径； （2）求阴影部分的面积． 26. 超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元． （1）求苹果的进价． （2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式． （3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入购进支出） 27. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），它的对称轴l与图象交于点P，直线所对应的函数表达式为 （1）请直接写出点P的坐标． （2）若为直角三角形，设直线与这个二次函数的图象的另一个交点为Q． ①求a、c的值与点Q的坐标； ②若M为直线l上的点，且以M、B、Q为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点M的纵坐标t的取值范围． 28. 已知在矩形中，，O为矩形的中心；在中，，．将绕点A按顺时针方向旋转一周． （1）当直角边，分别在，边上时，连接，直接写出的面积______； （2）设斜边与矩形的交点为G，当O，E，F三点在一条直线时，求的值； （3）连接，取中点M，连接，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $