16.1.2 幂的乘方与积的乘方（教学课件）2025～2026学年人教版数学八年级上册

乘方 第十六章整式的乘法 人教版(2024) 16.1.2幂的乘方与积的 1.理解并掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则； 2.能够运用幂的乘方与积的乘方的运算法则进行 相关运算. 素养目标 1.回顾同底数幂的乘法的运算法则： am·an= am+n (m,n 都是正整数) . 同底数幂相乘，底数不 变 ，指数 相加。 2.计算：(1)x⁴x⁸ (2)a·a³·a⁵. 解：(1)x⁴·x⁸=x⁴+8=x¹2; (2)a·a³·a⁵=a¹+3+5=a⁹. 知识回顾 新知导入 【探究】根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果， 你能发现什么规律? (1)(3²)³=3²×3²×3²=3( 6) (32)³表示3个32相乘 (2)(a²)³=a²-a²·a²=a( 6 ) (a²)³ 表 示 3 个a²相 乘 (3)(am)³=am"·am·am=a( 3m)(m 是正整数) (am)³表示3个a"相乘 【发现】1.结果的底数与原来的底数相同； 2.结果的指数等于原来两个指数的积 . 探究新知 猜想 一般地，对于任意底数a与任意正整数m,n, 则 (am)n=am”. ( 幂的意义) 底数幂的乘法性质) = amn(m,n 都是正整数) 归纳总结 幂的乘方运算法则：(am)"=amn(m,n 都是正整数). 幂的乘方，底数不 变 ，指数相乘 注意 幂的底数和指数不仅仅是单独字母或数 字，也可以是某个单项式和多项式. amn =(am)n=(a")m(m,n 都是正整数). (am)n=amn(m,n 都是正整数). 幂的乘方的逆用 幂的乘方： 探究新知 【思考】(-a²)⁵ 和(-a⁵)² 的 结 果 相 同 吗 ? 为 什 么 ? 不相同. (-a²)⁵表示5个-a²相乘，其结果带有负号 . (-a⁵)²表示2个-a⁵ 相乘，结果没有负号 . 探究新知 【拓展】下面这道题该怎么进行计算呢? [(a²)³]⁴=(a⁶)⁴=a²4 当幂进行三次或三次以上乘方运算时，依旧满足底数不变，指数相乘. [(a")"]P=amnP (m,n,p 都是正整数) 练 一 练：[y52²= (y10²=y20 [(x⁵)m]"=(x⁵5m)"= x5mn 探究新知 例题练习 计 算： (1)(10³)⁵ ; (2)(a⁴)⁴ ; (3)(am)²; (4)-(x⁴)³. 解：(1)(10³5=10³ ×5 = 1015. (2)(a⁴)⁴=a⁴×4=a¹⁶ . (3)(am)²=am.2=a²m. (4)-(x⁴)³=-x⁴×3=-x¹² . (ab)²=(ab) · (ab)----- (乘方的意义) = (aea)·(b·b)---- --(乘法交换律、结合律) =a②)p²)----- (同底数幂相乘的法则) (ab)³=(ab)·(ab)·(ab) = (a-a·a)·(b·b·b) =a3 )b③) 【发现】结果把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 探究新知 【探究】下面的运算过程用到了哪些运算律，你能发现结果又什么规律? 猜想 若n是正整数，则(ab)”=a“b” . n个ab (ab)n=(ab)·(ab)·…·(ab) n个a n个b =(a·a·…·a)·(b·b·…·b) =anbn. 探究新知 归纳总结 积的乘方运算法则：(ab)"=a"b" (n 为正整数) . 积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，在把所得的幂相乘. 注意 底数中的a、b不仅可以代表数、单项式， 还可以代表多项式等其他式子. a"b"=(ab)" (n 是正整数). (ab)"=a"b” (n 为正整数). 积的乘方的逆用 积的乘方： 归纳总结 探究新知 对三个或三个以上因式进行积的乘方，积的乘方的性质是否仍然成立? (ab)cⁿ=[(ab)·c]ⁿ=(ab)n·cⁿ=aⁿ·bⁿ·cⁿ. 成 立 ，(abc)n=a"bncn(n 为正整数). 例题练习 计算： (1)(2a)³; (2)(-5b)³; (3)(xy²)²; (4)(-2x³y)⁴ . 解：(1)(2a)³=2³.a³=8a³; (2)(-5b)³=(-5)³.b³=-125b³; (3)(xy²)²=x²·(y²)²=x²y⁴; (4)(-2x³y)⁴=(-2)⁴.(x³)4.y⁴=16x¹²y⁴ . 练 习 1 已知x"=3,x" =2, 则x²m+3”的值是(D) 9 A.17 B. C.1 8 解 析 ：∵ x“=3,x”=2, (x”)³=3²×2³=72 故选：D. D.72 练习2 若 a=2⁴⁴,b=4²², 则a 与 b 的大小关系为(B) A.a>b B.a=b C.a<b D.无法确定大小 解 析 ：∵ ,a=244, ∴a=b, 故选B. 的结果是(C ) 练习3 计算 A. B. C D 解 析 ： 故 选 ：C. 练习4 计算： (1)(-xy)³; (2)(3xy)⁴; (4)(-2x“y”)⁵ 解 ：(1)(- xy)³=(-1³x³y³=-x³y³. (2)(3xy)⁴=3⁴·x⁴·y⁴=81x⁴y⁴ . (4)(-2x“y”)⁵=(-2)⁵(x”)⁵(y”)⁵=-32x”y⁵” (2)(a³b²)⁶-(-a⁶b⁴)³ (2)(a³b²)⁶-(-a⁶b⁴)³ =a¹⁸B¹²-(-a⁸b¹²) =a¹8b¹²+a¹8b¹² =2a¹⁸b¹². 解 ：(1) xx²(³)²=(2x³) =x³x⁶-2³(x³³ =x⁹-8x⁹ =-7x⁹ . 练习5 计算： ( 1 ) 练习6根据已知条件求值. (1)已知a"=2,a"=5, 求a³m+n的值. (2)已知2x+5y-3=0 ,求4* ·32的值. 解：(1)∵a"=2,a"=5, ∴a³m+=a³“a”=(a")³a"=2³×5=40; (2)∵2x+5y-3=0,∴2x+5y=3, ∴4*32'=(2²) · (2⁵)'=2ˣ25=22×+5=2³=8. szozSO×sL8—szoz ( 一)× zozS乙 O ( 乙 ) SZIO-)(I): 莫+1 L ≤ (2)0.25²024×(-4)²⁰25-8675×0.52025. 解：(2)0.25²⁰²⁴×(-4)3²025二86⁵×0.52025 =0.2532024×(-4)²⁰24×(-4)-(2³)67⁵×0.52025 =0.25²024×(-4)²⁰24×(-4)-22025×0.52025 =[0.25×(-4)]²⁰24×(-4)-(2×0.5)²025=(-1)²024×(-4)-12⁰25 =-4-1=-5. 练习7计算： 练习8 若2°=5=10,猜想a+b 与 ab 的大小关系，并说明理由. 解 ：a+b=ab. 理由如下： 由2⁴=10,可得2 b=10,① 由5=10,可得5ab=10°,② ①×②,得2×5ab=104×10, 即(2×5)ab=10a+b,故a+b=ab. (am)"=amn (m,n 都是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘 (ab)”=ab”(n 为正整数). 积的乘方，等于把积的每个因式 分别乘方，在把所得的幂相乘. 幂的 乘方 积的 乘方 幂的乘方 与积的乘 方 小结 $$