2.1等式性质与不等式性质7题型分类(讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2.1 等式性质与不等式性质7题型分类 课程标准 学习目标 ①会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质。 ②会利用不等式性质比较大小。 ③会利用不等式的性质进行简易的求范围与证明。 1通过本节课的学习，能做到用不等式表示不等关系，能利用等式及不等式的相关性质进行大小的比较、不等关系的证明、求解相应代数式的取值范围. 一、等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【思考1】若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立. 【思考2】若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立. （一） 用不等式（组）表示不等关系 (1)数学学习中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系，用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时:①要先读懂题，设出未知量;②抓关键词，找到不等关系;③用不等式表示不等关系。思维要严密、规范. (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于,超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ (3)用不等式(组)表示不等关系的步骤 ①审清题意，明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等. ②适当的设未知数表示变量. ③用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式，此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 题型1：用不等式（组）表示不等关系 1．（2025高一·全国·课堂例题）在日常生活中，我们经常看到下列标志： 【思考】各个标志有什么作用？如何用一个数学式子表示其含义？ 2．（2025高一·全国月考）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）． 3．（2025·云南昆明·模拟预测）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是 . 4．（2025高一·四川眉山月考）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 5．（2025高一·河南月考）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国月考）下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（    ） A． B． C． D． （二） 利用不等式的性质判断命题的真假 (1)对于关于不等式的命题判断，需要通过不等式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正面证明也可以通过举反例的方法. (2)感悟提升利用不等式的性质判断真假的技巧 ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质． ②解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 题型2：利用不等式的性质判断命题的真假 7．（25-26高一·全国月考）若，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025高二·湖南郴州月考）已知x，y是实数，则“”是“”是的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 9．【多选】（25-26高一·全国月考）下列说法正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 （三） 比较两个实数的大小 作差法 作商法 平方法 依据 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b a>0，b>0，则>1 ⇔a>b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a<b a<0，b<0，则>1 ⇔a<b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a>b a2>b2，且a>0，b>0⇒a>b 题型3：由不等式的性质比较数（式）大小 10．（25-26高一·全国月考）设，则M与N的大小关系是 ． 11．（2025高二·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025高二·江西·期末）已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025高一·全国月考）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．【多选】（2025高二·江苏常州月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．【多选】（2025高三·北京月考）下列四个命题中正确命题有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 16．（25-26高一·全国·假期作业）已知，则（ ） A．B． C． D． 题型4：作差法比大小 17．（2025高一·上海月考）已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 18．（2025高一·全国月考）如果，那么与的大小关系是 ． 19．（2025高三·全国月考）如果，比较与的大小并证明． 20．（2025高一·河北保定月考）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 题型5：作商法比大小 21．（2025高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 22．（2025高一·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 23．（2025高一·全国月考）若，求证：． （四） 利用不等式的性质证明不等式 利用不等式的性质证明不等式应注意的事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 题型6：利用不等式的性质证明不等式 24．（2025高一·全国月考）已知，求证：． 25．（2025高一·全国月考）已知，求证：． 26．（25-26高一·全国月考）已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 27．（25-26高一·全国月考）（1）已知，，，求证：； （2）证明：． （五） 利用不等式的性质求参数范围 (1)利用不等式的性质求取值范围的策略 ①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． ②同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． (2)利用不等式性质求范围的方法: ①借助性质，转化为同向不等式相加进行解答; ②所给条件尽量整体使用，切不可随意拆分所给条件; ③结合不等式的传递性进行求解. (3)求代数式的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容.解题时应将条件式视为一个整体，并用其表示所求范围的量，同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围，再去求由此构成的代数式的取值范围，这往往会扩大代数式的范围. 题型7：利用不等式的性质求参数范围 28．（2025高一·全国月考）已知1<a<4，2<b<8.试求2a＋3b与a－b的取值范围． 29．（2025高一·全国月考）已知，，求的取值范围. 30．（2025高一·全国月考）若，则的取值范围为 . 31．（2025高一·全国月考）已知，求的取值范围． 32．（2025高一·全国月考）已知，求的取值范围． 33．（2025高一·全国月考）若实数满足，则的取值范围是 ． 34．（2025高一·全国月考）已知，求的取值范围． 35．（2025高二·河北邢台月考）已知实数，满足，，则范围是 36．【多选】（2025高二·陕西月考）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二·陕西渭南·期末）某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金a（）元，得到的利润为b（）元，收益率为（%），假设在该投资的基础上，此公司再追加投资x（）元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北衡水·模拟预测）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（    ） A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 4．（2025高三·上海静安·期中）如果，那么下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025高二·黑龙江牡丹江月考）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·江西吉安·期末）某城市有一个面积为的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（    ） A．步行道的宽度 B．步行道的宽度 C．步行道的宽度 D．草坪不可能为黄金矩形 7．（2025高一·浙江·期中）设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一·浙江绍兴·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一·全国月考）有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26高一·全国月考）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（25-26高一·全国·假期作业）已知，则（ ） A． B． C． D． 12．（2025高一·江苏南通月考）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 13．（25-26高一·全国月考）设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（2025高一·江苏扬州月考）对于实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若， 15．（2025高一·吉林延边月考）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 16．（25-26高一·全国月考）下列不等式，其中恒成立的有（   ） A． B． C． D． 17．（2025高一·广东月考）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一·全国月考）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 19．（2025高一·广东肇庆·期末）已知，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 20．（2025高一·江苏泰州·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 21．（2025高一·全国月考）已知，则的取值范围是 ． 22．（2025高一·上海·假期作业）（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 23．（2025高一·全国月考）某桥头竖立的“限重30吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过30吨．用不等式表示为 ． 24．（2025高一·贵州黔东南·期中）比较大小： （填“<”或“>”）. 25．（2025高一·广东广州月考）如果，，则的取值范围是 . 26．（2025高一·广东揭阳·期末）已知，且，则的取值范围是 ． 27．（2025高三·全国月考）设，，则s与t的大小关系是 . 28．（2025高一·上海金山月考）已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 29．（25-26高一·全国月考）已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ． 30．（25-26高一·全国月考）若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 31．（2025高二·天津河西·期末）已知，，则的取值范围是 ． 四、解答题 32．（2025高一·全国月考）用综合法证明:如果，那么 33．（2025高一·湖南长沙月考）若，，，求证：. 34．（2025高一·黑龙江齐齐哈尔月考）不等关系是数学中一种最基本的数量关系，生活中随处可见.例如：“已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.”请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 35．（2025高一·全国月考）一公司投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元,该公司通过引进先进技术,在生产线A投资减少了x万元,且每万元的利润提高了0.5x%;若将少用的x万元全部投入B生产线,每万元创造的利润为万元,其中. (1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,用不等关系表示; (2)若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润,用不等关系表示. 36．（2025高一·安徽芜湖月考）已知为三角形的三边长，求证： (1)； (2). 37．（2025高一·浙江月考）甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地． 38．（2024高三·全国月考）已知为正实数．求证：. 39．（2025高一·全国月考）若，试比较与的大小． 40．（25-26高一·全国月考）（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2.1 等式性质与不等式性质7题型分类 课程标准 学习目标 ①会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质。 ②会利用不等式性质比较大小。 ③会利用不等式的性质进行简易的求范围与证明。 1通过本节课的学习，能做到用不等式表示不等关系，能利用等式及不等式的相关性质进行大小的比较、不等关系的证明、求解相应代数式的取值范围. 一、等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【思考1】若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立. 【思考2】若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立. （一） 用不等式（组）表示不等关系 (1)数学学习中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系，用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时:①要先读懂题，设出未知量;②抓关键词，找到不等关系;③用不等式表示不等关系。思维要严密、规范. (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于,超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ (3)用不等式(组)表示不等关系的步骤 ①审清题意，明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等. ②适当的设未知数表示变量. ③用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式，此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 题型1：用不等式（组）表示不等关系 1．（2025高一·全国·课堂例题）在日常生活中，我们经常看到下列标志： 【思考】各个标志有什么作用？如何用一个数学式子表示其含义？ 【答案】答案见解析 【解析】①是最低限速标志，限制车辆行驶速度v不得低于 km/h，可用表示； ②是限重标志，限制车辆装载总重量G不得超过10 t，可用表示； ③是限高标志，限制车辆装载高度h不得超过m，可用表示； ④是限宽标志，限制车辆装载宽度a不得超过3 m，可用表示； ⑤是限时标志，限制时间t的范围是，可用表示． 2．（2025高一·全国月考）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）． 【答案】a2＋b2≥2ab. 【分析】如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为，根据大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和即得解. 【解析】 如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为， 则大正方形的面积为， 四个矩形的面积和为， 显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和， 所以 所以a2＋b2≥2ab. 【点睛】本题主要考查不等关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．（2025·云南昆明·模拟预测）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是 . 【答案】 【分析】根据题目所给已知条件列出不等关系式. 【解析】依题意，. 故答案为： 4．（2025高一·四川眉山月考）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】直接表示出另一段，列不等式组即可得到答案. 【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为. 因为两段绳子长度之差不小于，所以， 化简得：. 故选：D 5．（2025高一·河南月考）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等关系求解即可. 【解析】经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即 故选：D 6．（2025高一·全国月考）下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，先用表示代数式，再建立不等关系即得. 【解析】因的2倍为的平方的相反数为， 则不等式为：. 故选：D. （二） 利用不等式的性质判断命题的真假 (1)对于关于不等式的命题判断，需要通过不等式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正面证明也可以通过举反例的方法. (2)感悟提升利用不等式的性质判断真假的技巧 ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质． ②解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 题型2：利用不等式的性质判断命题的真假 7．（25-26高一·全国月考）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误． 8．（2025高二·湖南郴州月考）已知x，y是实数，则“”是“”是的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据不等式的特征，举例说明充分必要性. 【解析】若，满足，此时，所以不是的充分条件， 反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 9．【多选】（25-26高一·全国月考）下列说法正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 【答案】AD 【解析】对于选项A，因为，所以，即，故A正确；对于选项B，取，，，，满足，，但，故B错误；对于选项C，取，，满足，，且，但，故C错误；对于选项D，因为，所以，，则，故D正确． （三） 比较两个实数的大小 作差法 作商法 平方法 依据 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b a>0，b>0，则>1 ⇔a>b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a<b a<0，b<0，则>1 ⇔a<b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a>b a2>b2，且a>0，b>0⇒a>b 题型3：由不等式的性质比较数（式）大小 10．（25-26高一·全国月考）设，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【解析】因为，所以． 11．（2025高二·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分和两种情况讨论，当时，，当时，；由此可以直接判断AB选项，取特殊值排除C选项，对D选项，由得，再分和两种情况证明. 【解析】A选项，当时，，此时即， 当时，，此时即，所以A错误； B选项，当时，，成立， 当时，，，所以B错误； C选项，当时，取，此时，不满足， 当时，取，此时，不满足，故C错误； D选项，等价于， 当时，，，此时， 当时，，，此时，D正确； 故选：D. 12．（2025高二·江西·期末）已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【解析】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 13．（2025高一·全国月考）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式性质及特殊值法判断各个选项即可. 【解析】若，则，A选项错误； 若，则，B选项错误； 若，则，C选项错误； 若，则，则，D选项正确. 故选：D. 14．【多选】（2025高二·江苏常州月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由不等式的性质通过作差法，及幂函数的单调性逐个判断即可. 【解析】因为，则，A错误； 选项B： 因为，所以，，则，所以，故B正确. 因为，所以，故C正确. 因为，所以幂函数在单调递减， 所以，D错误， 故选：BC 15．【多选】（2025高三·北京月考）下列四个命题中正确命题有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】AD 【分析】由不等式的性质可判断AD，取特殊值可判断BC. 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，取，但，不满足， 故B不正确； 对于C，取，满足 ，但是，故C不正确； 对于D，，故D正确． 故选：AD. 16．（25-26高一·全国·假期作业）已知，则（ ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质比较数（式）大小即可. 【解析】因为，所以． 由于，故在不等式上同时乘以a得， 即，因此，． 故选：C. 题型4：作差法比大小 17．（2025高一·上海月考）已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，当且仅当时取等. 【分析】利用立方差公式和作差法即可证明. 利用作差法直接化简即可证明. 【解析】（1）证明： 因为 所以， 所以， 所以当时，. （2）证明： 当且仅当时取等. 18．（2025高一·全国月考）如果，那么与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】直接由作差法即可求解. 【解析】因为，所以. 故答案为：. 19．（2025高三·全国月考）如果，比较与的大小并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】利用作差法比较大小即可. 【解析】，理由如下： ， 当时等号成立，所以. 20．（2025高一·河北保定月考）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）（2）利用作差法即可求解. 【解析】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 题型5：作商法比大小 21．（2025高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【解析】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 22．（2025高一·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【解析】， ， ， . 23．（2025高一·全国月考）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【解析】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． （四） 利用不等式的性质证明不等式 利用不等式的性质证明不等式应注意的事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 题型6：利用不等式的性质证明不等式 24．（2025高一·全国月考）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用作差法可证得结论成立. 【解析】因为，则，，， 所以，故. 25．（2025高一·全国月考）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【解析】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 26．（25-26高一·全国月考）已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）解法1  因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以，且，所以，即． （2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，． 27．（25-26高一·全国月考）（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． （五） 利用不等式的性质求参数范围 (1)利用不等式的性质求取值范围的策略 ①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． ②同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． (2)利用不等式性质求范围的方法: ①借助性质，转化为同向不等式相加进行解答; ②所给条件尽量整体使用，切不可随意拆分所给条件; ③结合不等式的传递性进行求解. (3)求代数式的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容.解题时应将条件式视为一个整体，并用其表示所求范围的量，同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围，再去求由此构成的代数式的取值范围，这往往会扩大代数式的范围. 题型7：利用不等式的性质求参数范围 28．（2025高一·全国月考）已知1<a<4，2<b<8.试求2a＋3b与a－b的取值范围． 【答案】8<2a＋3b<32，－7<a－b<2. 【分析】由1<a<4，2<b<8，求出2a、3b、－b的范围，然后利用不等式的性质得结果 【解析】∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24 ∴8<2a＋3b<32. ∵2<b<8，∴－8<－b<－2. 又∵1<a<4， ∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2. 故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2. 【点睛】本题主要考查利用不等式的基本性质求范围，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 29．（2025高一·全国月考）已知，，求的取值范围. 【答案】 【分析】先把转化为，利用不等式的可乘性和同向不等式相加即可求得. 【解析】设，则有： ，解得：，所以. 因为，所以， 因为，所以， 所以， 即， 所以的取值范围为. 30．（2025高一·全国月考）若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件结合不等式性质求范围即可. 【解析】因为,所以, 又因为,所以. 故答案为：. 31．（2025高一·全国月考）已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】由不等式的可乘性即可求解. 【解析】因为， 所以. 32．（2025高一·全国月考）已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】由即可求解. 【解析】因为， 所以， 所以 33．（2025高一·全国月考）若实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【解析】因为实数满足，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 34．（2025高一·全国月考）已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】先求出的范围，再结合不等式的性质可求. 【解析】由题意得，，，则， 则. 35．（2025高二·河北邢台月考）已知实数，满足，，则范围是 【答案】. 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【解析】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 36．【多选】（2025高二·陕西月考）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用和表示和，再结合不等式的性质，即可求范围. 【解析】由条件可知，，两式相加得，即，故A正确； 由条件可知，，，两式相加得，得，故B正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故D错误. 故选：ABC 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【解析】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 2．（2025高二·陕西渭南·期末）某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金a（）元，得到的利润为b（）元，收益率为（%），假设在该投资的基础上，此公司再追加投资x（）元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立不等关系，即可求解. 【解析】若使得该项投资的总收益率是增加的，则，， 得. 故选：C 3．（2025·河北衡水·模拟预测）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（    ） A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 【答案】C 【分析】根据题意设买大竹子，每根单价为，可得，由，解不等式组即可求解. 【解析】依题意可设买大竹子，每根单价为， 购买小竹子，每根单价为， 所以， 即，即， 因为， 所以， 根据选项，， 所以买大竹子根，每根元. 故选：C 【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题. 4．（2025高三·上海静安·期中）如果，那么下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【解析】，则，，故AD错； ，同乘可得，故B正确； ，同除可得，故C错. 故选：B. 5．（2025高二·黑龙江牡丹江月考）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法判断即可. 【解析】因为， 所以， 当且仅当时取等号, ，，为不全相等的实数，因此等号不成立，即， ． 故选：A 6．（2025高三·江西吉安·期末）某城市有一个面积为的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（    ） A．步行道的宽度 B．步行道的宽度 C．步行道的宽度 D．草坪不可能为黄金矩形 【答案】D 【分析】分别设草坪的长、宽，利用求解. 【解析】设草坪的长、宽分别为，（），步行道的宽度为， ， 则，草坪不可能为黄金矩形. 故选：D. 7．（2025高一·浙江·期中）设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D. 【解析】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D. 8．（2025高一·浙江绍兴·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过举反例可判断A、C、D是假命题；利用作差法比较大小可判断B正确. 【解析】对于A，当时，，故A是假命题； 对于B，若，则， 由于不同时为0，所以，故B是真命题； 对于C，当时，，故C是假命题； 对于D，当时，不成立，故D是假命题； 故选：B 9．（25-26高一·全国月考）有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，由，得，，要证，则需证，即，这显然成立，故①正确；对于②，由，得，由①知，②正确；对于③，当，时，显然不成立，所以③错误；对于④，当，时，有，④错误． 10．（25-26高一·全国月考）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】．当时，结合，可得．反之，如，亦成立，却推不出．故“”是“”的充分不必要条件． 11．（25-26高一·全国·假期作业）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质比较数（式）大小即可. 【解析】因为，所以． 由于，故在不等式上同时乘以a得， 即，因此，． 故选：C. 12．（2025高一·江苏南通月考）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即得解 【解析】由题意，妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升 则，且 所以爸爸的加油方式更合算 故选：A 13．（25-26高一·全国月考）设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，知可得，可推出，反向推不出，故A满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故B不满足题意；由，得或或，推不出，反向可推出，故C不满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故D不满足题意. 二、多选题 14．（2025高一·江苏扬州月考）对于实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若， 【答案】BC 【分析】利用不等式的性质即可判断选项A、B、C，对D选项取特殊值验证即可. 【解析】对于A，因为，所以， 所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，， 所以，故C正确； 对于D，取，满足， 而，故D错误. 故选：BC. 15．（2025高一·吉林延边月考）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质直接求解. 【解析】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 16．（25-26高一·全国月考）下列不等式，其中恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由，知A正确；由，知B错误；由，知C错误；由，知D正确． 17．（2025高一·广东月考）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】应用作差法计算比较判断A，应用不等式性质计算判断C，D，应用特殊值法计算判断B. 【解析】因为，， 对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错； 对于B，因为，所以，B错； 对于C，由不等式的性质可得，从而，C对； 对于D，由不等式的性质可得，D对. 故选：CD. 18．（25-26高一·全国月考）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【解析】对于A，取，则不成立，故A错误；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若，则，所以，所以，故C正确；对于D，若且，则，而b可能为0，故D错误． 19．（2025高一·广东肇庆·期末）已知，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由不等式的性质可判断；由特值法可判断. 【解析】由，得. 对于A，由，，得成立，该选项正确； 对于B，取，，，得，， 此时，该选项错误； 对于C，由，，得，所以成立，该选项正确； 对于D，取，，，得，，此时，该选项错误. 故选：AC. 20．（2025高一·江苏泰州·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由不等式的性质结合逐一判断每一个选项即可. 【解析】对于A，由题意，所以，故A正确； 对于B，，因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，则，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 21．（2025高一·全国月考）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可求出的取值范围. 【解析】由题意， 在中， ∵， ∴，解得：， 故答案为：. 22．（2025高一·上海·假期作业）（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 【答案】 < < < > > 【分析】利用作差法和分母有理化的方法即可比较大小. 【解析】（1）因为, 所以; （2）因为, 所以; （3）因为, 所以; （4）, 因为,所以, 则; （5）, 因为,所以, 则. 故答案为:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）. 23．（2025高一·全国月考）某桥头竖立的“限重30吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过30吨．用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】直接根据不等式的含义进行求解即可. 【解析】已知车货总重量不超过吨，则. 故答案为：. 24．（2025高一·贵州黔东南·期中）比较大小： （填“<”或“>”）. 【答案】 【分析】平方计算判断大小. 【解析】因为，，所以，所以. 故答案为：<. 25．（2025高一·广东广州月考）如果，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据同向不等式的运算规则，计算不等式的范围. 【解析】, , 又, , 两式相加得, 故答案为:. 26．（2025高一·广东揭阳·期末）已知，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【解析】解：因为，且， 所以， 所以， 所以的取值范围是 故答案为： 27．（2025高三·全国月考）设，，则s与t的大小关系是 . 【答案】 【分析】作差后变形，判断符号即可得解. 【解析】, . 故答案为：. 28．（2025高一·上海金山月考）已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式性质直接求解即可. 【解析】， . 故答案为：. 29．（25-26高一·全国月考）已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若，则，而，所以有．设，则解得若，，则有，所以，即． 易错警示 题中的第二空易错误的利用如下解法：先由条件得出a，b的范围，再由此得出的范围，即得出的错误结果（其取值范围扩大了）. 30．（25-26高一·全国月考）若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若x，y满足，则，从而．若，设，所以解得，则有，所以． 31．（2025高二·天津河西·期末）已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质求解. 【解析】∵，∴， 又∵，∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 32．（2025高一·全国月考）用综合法证明:如果，那么 【答案】证明见解析 【分析】根据综合法的要求执因索果，逐步推导证明即可. 【解析】证明: ，即 显然 ，即. 33．（2025高一·湖南长沙月考）若，，，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】因为，所以，又，先得出，再得出，由不等式的同号可乘性即可证明. 【解析】证明：因为，所以， 又因为， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得， 所以， 所以， 因为，， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得. 又，所以， 所以 由不等式的同号可乘性可得. 34．（2025高一·黑龙江齐齐哈尔月考）不等关系是数学中一种最基本的数量关系，生活中随处可见.例如：“已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.”请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 【答案】，证明见解析 【分析】根据糖水变甜了可以得到不等式，使用作差法比较大小即可. 【解析】b克糖水中有a克糖，则糖的质量与糖水的质量的比为 若再添加m克糖，则糖的质量与糖水的质量的比为 根据生活常识可知，加糖后的糖水更甜，所以糖在糖水中占的“比例”就越大，因此， 所以这一事实表示为一个不等式是：。 证明过程如下: ， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴. 35．（2025高一·全国月考）一公司投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元,该公司通过引进先进技术,在生产线A投资减少了x万元,且每万元的利润提高了0.5x%;若将少用的x万元全部投入B生产线,每万元创造的利润为万元,其中. (1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,用不等关系表示; (2)若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润,用不等关系表示. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）原来A生产线的利润为；技术改进后A生产线的利润为,即可得到不等关系； （2）生产线B的利润为,由（1）,即可得到不等关系 【解析】解:(1)由题意得,整理得. (2)由题意知,生产线B的利润为万元, 由（1）技术改进后生产线A的利润为万元, 则. 【点睛】本题考查实际应用中的不等关系,属于基础题 36．（2025高一·安徽芜湖月考）已知为三角形的三边长，求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的条件，利用作差法，变形并判断符号作答. （2）利用三角形两边的和大于第三边的性质，结合不等式性质推理作答. 【解析】（1）为三角形的三边长， 而， 显然，即，当且仅当时取等号， 因此，所以. （2）为三角形的三边长，则， 于是得：， 所以. 37．（2025高一·浙江月考）甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地． 【答案】甲先到达B地． 【分析】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，． 然后利用作差法或作商法比较大小，作商法中要注意结合基本不等式的使用得到结论. 【解析】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，． 方法一  因为，即，所以甲先到达B地． 方法二  ，因为，所以，从而，即，所以甲先到达B地． 【点睛】本题考查利用做差法或作商法比较大小在实际问题中的应用，涉及基本不等式，属基础题. 38．（2024高三·全国月考）已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【解析】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 39．（2025高一·全国月考）若，试比较与的大小． 【答案】 【分析】分组因式分解，得到，结合条件即得. 【解析】 ， 因为，所以， 故. 40．（25-26高一·全国月考）（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$