专题 1-5 充分条件与必要条件【8类题型】-【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版）

【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题1-5 充分条件与必要条件 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】 命题的真假判断 【题型2】充分条件与必要条件的基本判断 【题型3】从数学逻辑角度赏析经典语句 （逆否命题） 【题型4】根据充要条件求参数值 模块二 中档题型突破 【题型5】充分、必要与集合间的关系 【题型6】根据充分条件求参数取值范围 【题型7】根据必要条件求参数取值范围 【题型8】充要条件的证明 模块三 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】 命题的真假判断 基础知识 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 典型例题 【例题1】下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质知ABC正确，当时，恒成立，D错误，得到答案. 【详解】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误 巩固练习 题型 【巩固练习1】下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【答案】B 【分析】根据题意，对各选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误； 由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确； 因为对于任意实数，，故C错误； 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误 【巩固练习2】（多选）下列说法不正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 【答案】AB 【分析】根据命题的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误； 对于选项B：语句“当时，方程有实根”是陈述句， 当时，则，方程无实根， 即“当时，方程有实根”为假， 故该语句是命题，所以选项B错误； 对于选项C：由菱形的定义和性质可知：对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 即命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题，故C正确； 对于选项D：当时，， 所以“时，”是真命题，故D正确 【题型2】充分条件与必要条件的基本判断 基础知识 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 典型例题 【例题1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合是4与10的公倍数，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意可得⫋，根据必要不充分条件的概念可得结果. 【详解】∵4与10的最小公倍数为20， ∴是4与10的公倍数， ∵， ∴⫋，即由得不到，由能得到， 故是的必要不充分条件. 【例题2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，由推不出， 当成立，必有， 则“”是“”的必要不充分条件. 【例题3】已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】B 【解析】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出， 因为是的的充分条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确， 因为，，，所以， 推不出，故是的充分不必要条件，②正确； 因为，，所以，是的充分条件，命题③错误； 因为，，所以，又， 所以是的充要条件，命题④错误 巩固练习 题型 【巩固练习1】设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，当时，满足，但命题不成立； 对于C，D，当时，满足，，但命题不成立. 【巩固练习2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】当时，成立；时，取，所以不成立； 故是的充分非必要条件 【巩固练习3】设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【解析】由题意甲乙丙丁，但乙推不出甲， 因此甲丁，丁推不出甲，甲是丁的充分不必要条件，故选：A． 【巩固练习4】已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】因为是的的充分条件，所以.因为是的充分不必要条件，所以，， 因为是的必要条件，所以.因为是的必要条件，所以， 所以由，，可得， 则是的充要条件，命题①错误； 则是的充要条件，命题②错误； 因为，，所以，，故是的充分不必要条件，命题③正确； 易得，，所以是的必要不充分条件，命题④错误， 【巩固练习5】如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件， 如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件. 【题型3】从数学逻辑角度赏析经典语句 （逆否命题） 基础知识 我们判断一些“道理”到底是“毒鸡汤”还是真理，也需要应用充分性和必要性来考察。比如“只要努力就是成功！”——这句话给了不少有志气的人以力量，但是呢？效果并不怎么理想。 为了达成某一目标“成功”，我们对此要经历一个付出时间、精力的过程——这是我们大多数人都认可的。毕竟，一旦我们不努力，很多目的就无法达成，所以“努力”是“成功”的必要条件，即要想“成功”就一定得有“努力”。但是，是不是说只要我们“努力”了就一定能“成功”呢？即“努力”是不是“成功”的充分条件呢？答案是否定的。一个人要“成功”所涉及的条件是方方面面的，不单单是一个“努力”就能达成的，还需要像资源、机遇等等条件，使得他们共同起作用。 所以，当我们单纯地拿着“只要努力就是成功！”喊口号的时候，心里必须明白：要成功就必须得努力，但是并非只要努力就一定能成功。清楚了这一点，在我们处事时就会尝试着把视野放宽：自己要努力，也要积极寻求资源，盯着大势准备迎接机遇。唯有此，才能为“成功”多增加一份可能。 以上内容，就是我们学习区分必要性和充分性在思维实践中的价值 【归纳】“若，则”为真命题，即；则也为真命题（即逆否命题） 典型例题 【例题1】（24-25高一上·全国·课后作业）《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分不必要条件的概念即可判断. 【详解】充分性：根据这句话的大意可知，如果顺应天时地利的万物规律，就能花费较少的力取得更多成功，所以充分性成立； 必要性：“用力少而成功多”的前提不一定是“顺天时，量地利”，比如某种果实产量高，有可能是播种方式或灌溉频率等人为因素引起的， 故“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的充分不必要条件． 【例题2】杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛. 因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件. 巩固练习 题型 【巩固练习1】王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，“有志”不一定“能至”， 但“能至”一定“有志”，所以“有志”是“能至”的必要不充分条件. 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏镇江·期中）清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】少年强则国强；国强不一定少年强， 所以“国强”是“少年强”的必要条件. 【巩固练习3】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义求解. 【详解】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在， 因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山， 所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分条件， 结合选项，可得A正确 【巩固练习4】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断 【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场； 即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件 【题型4】根据充要条件求参数值 基础知识 若A＝B，则p是q的充要条件 已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【解析】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 【巩固练习1】（2024·高一·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【解析】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 【巩固练习2】若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【解析】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 模块二 中档题型突破 【题型5】充分、必要与集合间的关系 基础知识 1、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即p=A，q=B， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若A⊆B，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若A⊈B，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 2、充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 【例题1】（多选）使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误.故选：AB. 【例题2】（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据必要条件的定义求解. 【详解】“”成立的必要条件即不能比范围小， 观察选项，BCD符合 【例题3】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【答案】ABC 【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件. 【巩固练习1】“”的一个必要不充分条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，的一个必要不充分条件即为所求结果的真子集， 根据选项可得是的真子集， 通过，可推出，通过不可推出， 故是的一个必要不充分条件.故选：C. 【巩固练习2】（24-25高一上·江西赣州·期中）（多选）使成立的一个充分条件可以是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】AC 【分析】对于AC：根据不等式性质分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：若且，则，可得，故A正确； 对于选项B：若且，例如， 则，即，故B错误； 对于选项C：若且，则，可得，故C正确； 对于选项D：若且，例如， 则，即，故D错误 【巩固练习3】（多选）已知命题p：对于任意的实数x，恒成立，则命题p成立的一个充分条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分性的定义、子集的性质进行求解即可. 【详解】由命题:，成立，得，解得. 故命题成立的一个充分条件是的子集，因此选项A、B、D符合 【巩固练习4】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出原命题为假时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义判断各个选项. 【详解】命题“”是假命题，则其否定“”是真命题. 当时，若，则，满足条件. 若，则在上单调递增，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 若，则在上单调递减，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 综上，当原命题为假时的取值范围是， 下面判断各个选项： 选项A：，不能推出，且也不能推出， 所以既不是充分条件也不是必要条件， 选项B：，能推出，但不能推出， 所以是充分不必要条件， 选项C：，不能推出，且不能推出， 所以是既不是充分条件也不是必要条件， 选项D：范围就是，为充要条件. 【题型6】根据充分条件求参数取值范围 基础知识 若元素x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B； 【例题1】集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，因为“”的充分条件是“”， 所以，即，解得， 即实数a的取值范围为.故选：B 【例题2】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）（多选）已知集合，，若是的充分条件，则实数m的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】CD 【分析】分析得，再分是空集和不是空集讨论即可. 【详解】由题意得， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，则，解得， 综上，实数m的取值范围为或. 对比选项可知CD符合题意. 【例题3】（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的补集和交集运算即可求； （2）由题意可得是的真子集，分和两种情况讨论即可求. 【详解】（1）当时，集合， 所以或， 又， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，即时，，满足是的真子集， 当时，即时， ，且不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为或. 【巩固练习1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【详解】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于，可得. 【巩固练习2】若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得：， 因为成立的充分条件是，所以，即，解得， 【巩固练习3】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得. 【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即；因此实数m的取值范围为. 【巩固练习4】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知集合， (1)写出的所有子集； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得再由子集的概念逐个列举即可； （2）由，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由题意， 所以的子集有：. （2）由题意可得：, 故，解得：. 【巩固练习5】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知非空集合，或 (1)时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当，此时且，故. （2）若“”是“”的充分不必要条件，且为非空集合，故是的真子集. 则且后两个不等式不能同时取等号，解得，则的取值范围为. 【题型7】根据必要条件求参数取值范围 基础知识 若元素x∈A是x∈B的必要条件，则B⊆A. 【例题1】已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为或，， 令，， 因为是的充分不必要条件，所以，所以.故选：D 【例题2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可． 【详解】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故；综上所述：． 【巩固练习1】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A 【巩固练习2】（高一上·广东韶关·月考）（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【解析】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，.故选：ABD. 【巩固练习3】已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【解析】令，或， 因为是的充分不必要条件，所以真包含于， 所以或，解得或， 故的取值范围为或． 法二：由真包含于，可得如下两种情况， 结合数轴得或， 解得或， 故的取值范围为或． 【巩固练习4】（高一上·安徽六安·期末）已知，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可知集合是集合的真子集，再分类讨论，从而可求解. 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 当时，即，解得； 当时，即，解得 综上实数的取值范围为. 【巩固练习5】（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，得到，结合并集的概念，即可求解； （2）根据题意，转化为是的真子集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，或，所以. （2）解：因为是的必要不充分条件，可得是的真子集， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. （3）解：因为是的充分不充分条件，可得是的真子集， ①当时，即时，此时，符合题意； ②当时，即时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【题型8】充要条件的证明 基础知识 充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 【例题1】求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【解析】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 【巩固练习1】设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【解析】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【巩固练习2】求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【解析】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 模块三 【课后训练】 1． 已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】若，即可得到，从而求出的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，又，，所以， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 2． （24-25高一上·江苏徐州·期中）（多选）“”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】解不等式，根据充分条件的概念即可求解. 【详解】由，得，所以是”的充要条件， 可得是”的必要条件，故A错误； 可得是”的充分条件，故B正确； 可得是”的必要条件，故C错误； 可得是”的充分条件，故D正确. 3． 已知，那么的一个充分不必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，， 是的一个充分不必要条件，A正确； 对于B，，， 是的一个既不充分也不必要条件，B错误； 对于C，，， 是的一个必要不充分条件，C错误； 对于D，，， 是的一个必要不充分条件，D错误.故选：A. 4． （多选）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（    ） A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件 C．是的充分不必要条件 D是的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义逐项判断可得出结论. 【详解】由题意得，，，，，，所以，，， 所以是的充要条件，是的充要条件，是的充要条件， 故选：BD. 5． （高一上·广东潮州·期末）“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自战国时期荀子的《劝学》里的名言.此名言中“成江海”是“积小流”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由名言可知其意为如果不“积小流”，便不能“成江海”， 即“积小流”是“成江海”的必要条件，而非充分条件， 荀子的名言表明“成江海”一定是从“积小流”开始的，而“积小流”未必一定能“成江海”， 故“成江海”是“积小流”的充分不必要条件.故选：A. 6． 集合，集合，其中．若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 【答案】 【分析】因为“”是“”的充分条件，故， 故 ，解得 故“”是“”的充分条件，a的取值范围为 7． 已知集合，若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【解析】因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，，因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 8． （高一上·安徽六安·期中）设集合，，，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据命题间的充分不必要关系转化为集合间的包含关系，进而求出参数取值范围. 【详解】由题意“”是“”的充分不必要条件 得 ①若，则，解得； ②若，则，解得； ，或，， 综合①②得：的取值范围是. 9． （高一下·湖南株洲·期末）已知集合，或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，所以, 所以①若，则，即,满足题意； ②若，则或，即或 所以或 综合①②知，实数的取值范围为. 10． （24-25高一上·广东广州·阶段练习）设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）先求得集合A、B，然后利用交集、并集及补集运算的概念求解即可； （2）根据题意得是的真子集，按照和分类讨论，列不等式组求解即可，注意求并集. 【详解】（1）由，可得，解得， 所以，或， 当时，集合，即， 所以，或； （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，，解得，满足题意， 当时，， 由得，由得，由得， 所以， 综上，实数的取值范围是. 11． （24-25高一上·广东清远·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，从而可求出实数的取值范围； （2）可知集合B是集合A的真子集，然后根据两集合的包含关系列不等式组可求得答案. 【详解】（1）因为， 则，解得， 即实数的取值范围为. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合B是集合A的真子集， 因为，， 若，由（1）可知：； 若，则且（等号不同时成立），无解； 综上所述：实数的取值范围为. 12． （24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合,集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围 【答案】(1)或． (2) 【分析】（1）根据集合的并集和补集的定义即可求解， （2）根据是集合的真子集，讨论和两种情况即可求解. 【详解】（1）由题意可知， 若故， 或． （2）命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题1-5 充分条件与必要条件 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】 命题的真假判断 【题型2】充分条件与必要条件的基本判断 【题型3】从数学逻辑角度赏析经典语句 （逆否命题） 【题型4】根据充要条件求参数值 模块二 中档题型突破 【题型5】充分、必要与集合间的关系 【题型6】根据充分条件求参数取值范围 【题型7】根据必要条件求参数取值范围 【题型8】充要条件的证明 模块三 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】 命题的真假判断 基础知识 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 典型例题 【例题1】下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 巩固练习 题型 【巩固练习1】下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【巩固练习2】（多选）下列说法不正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 【题型2】充分条件与必要条件的基本判断 基础知识 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 典型例题 【例题1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合是4与10的公倍数，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题3】已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 巩固练习 题型 【巩固练习1】设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习3】设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【巩固练习4】已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【巩固练习5】如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型3】从数学逻辑角度赏析经典语句 （逆否命题） 基础知识 我们判断一些“道理”到底是“毒鸡汤”还是真理，也需要应用充分性和必要性来考察。比如“只要努力就是成功！”——这句话给了不少有志气的人以力量，但是呢？效果并不怎么理想。 为了达成某一目标“成功”，我们对此要经历一个付出时间、精力的过程——这是我们大多数人都认可的。毕竟，一旦我们不努力，很多目的就无法达成，所以“努力”是“成功”的必要条件，即要想“成功”就一定得有“努力”。但是，是不是说只要我们“努力”了就一定能“成功”呢？即“努力”是不是“成功”的充分条件呢？答案是否定的。一个人要“成功”所涉及的条件是方方面面的，不单单是一个“努力”就能达成的，还需要像资源、机遇等等条件，使得他们共同起作用。 所以，当我们单纯地拿着“只要努力就是成功！”喊口号的时候，心里必须明白：要成功就必须得努力，但是并非只要努力就一定能成功。清楚了这一点，在我们处事时就会尝试着把视野放宽：自己要努力，也要积极寻求资源，盯着大势准备迎接机遇。唯有此，才能为“成功”多增加一份可能。 以上内容，就是我们学习区分必要性和充分性在思维实践中的价值 【归纳】“若，则”为真命题，即；则也为真命题（即逆否命题） 典型例题 【例题1】（24-25高一上·全国·课后作业）《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 巩固练习 题型 【巩固练习1】王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏镇江·期中）清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习3】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【巩固练习4】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型4】根据充要条件求参数值 基础知识 若A＝B，则p是q的充要条件 已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【巩固练习1】（2024·高一·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【巩固练习2】若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 模块二 中档题型突破 【题型5】充分、必要与集合间的关系 基础知识 1、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即p=A，q=B， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若A⊆B，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若A⊈B，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 2、充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 【例题1】（多选）使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 【例题3】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【巩固练习1】“”的一个必要不充分条件是（  ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·江西赣州·期中）（多选）使成立的一个充分条件可以是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【巩固练习3】（多选）已知命题p：对于任意的实数x，恒成立，则命题p成立的一个充分条件可以是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【题型6】根据充分条件求参数取值范围 基础知识 若元素x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B； 【例题1】集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）（多选）已知集合，，若是的充分条件，则实数m的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 【例题3】（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【巩固练习1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【巩固练习4】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知集合， (1)写出的所有子集； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【巩固练习5】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知非空集合，或 (1)时，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【题型7】根据必要条件求参数取值范围 基础知识 若元素x∈A是x∈B的必要条件，则B⊆A. 【例题1】已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习1】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（高一上·广东韶关·月考）（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【巩固练习3】已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【巩固练习4】（高一上·安徽六安·期末）已知，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【巩固练习5】（24-25高一上·温州·月考）已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围. 【题型8】充要条件的证明 基础知识 充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 【例题1】求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【巩固练习1】设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【巩固练习2】求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 模块三 【课后训练】 1． 已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2． （24-25高一上·江苏徐州·期中）（多选）“”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 3． 已知，那么的一个充分不必要条件是（    ）． A． B． C． D． 4． （多选）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（    ） A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件 C．是的充分不必要条件 D是的充要条件 5． （高一上·广东潮州·期末）“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自战国时期荀子的《劝学》里的名言.此名言中“成江海”是“积小流”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6． 集合，集合，其中．若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 7． 已知集合，若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 8． （高一上·安徽六安·期中）设集合，，，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 9． （高一下·湖南株洲·期末）已知集合，或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 10． （24-25高一上·广东广州·阶段练习）设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 11． （24-25高一上·广东清远·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 12． （24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合,集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$