精品解析：河南省南阳市六校2024-2025学年高二下学期期末考试考前模拟数学试题

2025年春期六校期末考试考前模拟 高二年级数学 试题命题学校：菊潭高中 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔记清晰. 4.按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠､不破损. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知变量关于的线性回归方程为，且，则时，预测的值为（ ） A. 1.6 B. 3.2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归方程的性质，把样本中心点代入线性回归方程，求出参数，求出预测值. 【详解】将代入方程，得，， 所以线性回归方程为，将代入，得， 故选：D. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. 20 B. C. D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】先求导，再计算即可. 【详解】由题意有：，. 故选：A. 3. 从中任取个数字，从中任取个数字，用这个数字组成的没有重复数字的五位数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分五位数中有和没有两种情况，利用排列、组合，直接求解即可. 【详解】若组成的位数中没有，则有个； 若组成的位数中有，则有个， 所以用这个数字组成的没有重复数字的五位数有个. 故选：C 4. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. 14 B. 18 C. 20 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和的片段和性质得到新的等比数列即可求解. 【详解】是等比数列，， 成首项为2，公比为2的等比数列， ，故. 故选：D. 5. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数单调性和函数定义域，判断构造函数的值域和单调性，根据函数导数与单调性的关系，列出不等式，求出范围. 【详解】令，可知在上单调递减， 由复合函数单调性“同增异减”得，在上单调递增且大于0. 在上恒成立且不恒为0， 即在上恒成立，即： 由对勾函数可知在上单调递增，，，即. 在上单调递增，，即，解得； 综上，的取值范围为. 故选：A. 6. 已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，求出抛物线的标准方程，根据抛物线的定义，判断出线段和的最小值，求出结果. 【详解】 抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为1，则有，解得， 在抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方. 过点作准线于，交抛物线于点，连接，过作准线于，连接，如图，显然， 当且仅当点与点重合时取等号，所以. 故选：B. 7. 定义在上的偶函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目已知条件，构造函数，说明构造函数单调性，判断函数值大小，列出不等式，求出解集. 【详解】构造函数，则， 当时，恒有，即在上单调递增. 是偶函数，是偶函数，为偶函数， 在上单调递减. 又，即， ，解得或. 故选：C. 8. 已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用切线长定理可得出，再由椭圆定义可求出，结合勾股定理可得出关于的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值. 【详解】设的内切圆分别切该三角形三边于点，如图所示. 由切线长定理可得， 则 . 因为，所以， 由圆的几何性质可得，故四边形为正方形， 且其边长为. 由对称性可知，由椭圆定义可得，① 又因为，所以，② 联立①②可得. 由勾股定理可得，即， 整理可得，即， 即，整理可得， 因此，. 故选：B. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108 B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，令，求出，写出通项公式，得到答案；B选项，设出事件，利用条件概率公式进行求解；C选项，由正态分布的对称性进行求解；D选项，先利用二项分布求方差公式得到，再利用方差的性质进行计算. 【详解】对于选项A：令，则， 的系数为，A正确； 对于选项B：设“第一次取得红球”为事件，“第二次取得白球”为事件， ，B错误； 对于选项C：由题意知，， ，C正确； 对于选项D：，D正确. 故选：ACD 10. 已知数列则下列说法错误的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 是单调递减数列 C. 数列的前20项和为-698860 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB选项，求出前三项，得到AB错误；C选项，令，得到奇数项和等差数列，偶数项为等比数列，分组求和即可；D选项，分为奇数和偶数两种情况，得到方程，求出答案. 【详解】对于选项A：，易得不是等差数列，A错误； 对于选项B：并非单调递减数列，B错误； 对于选项C：令， 是以1为首项，4为公差的等差数列， ， 是以-2为首项，4为公比的等比数列， ， ，C正确； 对于选项D：①若为奇数， 则， ②若为偶数，则， ，∴， 故，， ，D错误. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在定义域上有2个零点，则的取值范围为 B. 当时，有最大值且最大值为 C. 一定存在极值 D. 若，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数导数和函数单调性、零点、极值、最大值之间的关系，逐个判断各选项正误. 【详解】对于选项A：令，则在上有两个解， 令，令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值，， 因为，且当时，且， 所以的取值范围为，所以A正确； 对于选项B：，令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值，，所以B错误； 对于选项C：由B得，当时，存在极大值， 当时，易得恒成立，故在定义域内单调递增，无极值，所以C错误； 对于选项D：若，则在上单调递增，在上单调递减，因为，不妨设， 设， 则， 所以在上单调递增，所以， 又，所以，即，又，所以， 因为，且在上单调递减，所以，即，所以D正确. 故选：AD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到平面距离的向量方法公式，求出方向向量，代入公式求出距离即可. 【详解】因为，所以点到平面的距离. 故答案为：. 13. 已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，判断出双曲线的参数的值，写出轨迹方程. 【详解】对圆，圆心为；对圆，圆心为. 设动圆的半径为，则，所以点的运动轨迹为以为焦点的双曲线的左支. 易知，解得； 又，解得； ，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为： 14. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知利用导数分别求出、的最大值得到不等式即可得解. 【详解】因为对任意的，总存在，使得， 所以，， 令，得或（舍去）. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故； ，则，因为， 所以在上恒成立， 则在上单调递减，， 所以，故. 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 某电影上映后，一所大学视觉传达设计专业的学生为了解观众对该部电影的特效的评价与年龄的关系，随机抽取了300名观众进行调查，得到如下列联表： 年龄段 评价 合计 好评 差评 青少年 120 150 中老年 60 150 合计 （1）请完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为年龄与对特效的评价有关联； （2）为了解青少年对电影特效的具体看法，视觉传达设计专业的学生设计了一个调查问卷进行调查，现从青少年中按评价情况用分层抽样的方法随机抽取5名观众，然后再利用随机抽样的方法抽取3人做进一步调研，记抽取的3人中给出好评的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表： 年龄段 评价 合计 好评 差评 青少年 120 30 150 中老年 90 60 150 合计 210 90 300 认为年龄与对特效的评价有关联 （2）分布列： 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据表格信息完成表格，运用公式求出的值，判断出年龄与对特效的评价是否有关联即可. （2）好评的人数为服从超几何分布，根据超几何分布求出分布列，并计算数学期望. 【小问1详解】 依题意，列联表如下. 年龄段 评价 合计 好评 差评 青少年 120 30 150 中老年 90 60 150 合计 210 90 300 零假设年龄与对特效的评价无关联， 由列联表中的数据可得， 所以根据小概率值的独立性检验推断不成立，即认为年龄与对特效的评价有关联. 【小问2详解】 依题意，抽取的5名观众中，给出好评的人数为，给出差评的人数为， 所以的所有可能取值为2，3，则 所以的分布列为 2 3 故数学期望. 16. 数列满足，.正项等比数列满足，. （1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） 由题意得，，即，且， 所以是以2为首项，为公差的等差数列， ，. （2） 【解析】 【分析】（1）两边取倒数得到，根据等差数列的定义判断数列为等差数列，利用等差数列通项公式求出数列通项即可进一步求解数列的通项公式； （2）利用等比数列通项公式结合已知条件求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的公比为，，， 则，解得或（舍去）， ，. ，① ，② ①-②，得 ， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，为半圆的直径，是弧上异于的点.点在直线上，平面，其中为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为平面，平面平面平面，所以. 又为的中点，所以为的中点. 又为的中点，所以. 因为平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，求得线线平行，再根据线面平行的判定定理，证明线面平行即可. （2）根据求线面角的向量方法，构造空间直角坐标系，求出方向向量和平面的法向量，求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，取的中点，连接. 因为，所以. 由已知底面在半圆上，为圆的直径， 可得. 因为，所以， 所以. 又，所以，所以， 则有， 所以， 又平面平面，所以平面. 建立如图所示的空间直角坐标系，因为， 则， 所以. 设为平面的一个法向量，则，即， 令，则，则平面的一个法向量. 设直线与平面所成的角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. （1）求的方程； （2）若直线与的公共点个数为1，求的值； （3）已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）或 （3） 易知，如图，设， 显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且. 联立，消去得， 显然， 所以， 因为， 所以， 化简得，即， 又，化简得，所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦点的定义，得双曲线的焦点，根据双曲线焦点，求出双曲线标准方程即可. （2）分类讨论双曲线与直线只有一个交点的情况，分别计算直线斜率的值. （3）根据直线与圆锥曲线的位置关系和韦达定理，根据已知条件列出参数的方程，证明直线过定点问题. 【小问1详解】 椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点也为，即. 因为，所以，所以， 故双曲线的方程为. 【小问2详解】 联立，得，即. ①当，即时，直线与的渐近线平行，只有1个交点； ②当，即时， 直线与相切，只有1个交点. 综上，当直线与的公共点个数为1时，或； 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若，求出解析式，求导，求出切线方程； （2）根据定义域为，求导，分类讨论，，，满足是的极大值点，求出的取值范围； （3）由（2）可知，且时，，由恒成立，构造，进行求解. 【小问1详解】 若，则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意，得的定义域为，，所以. 当时，在区间上，单调递减， 在区间和上，单调递增， 所以是的极大值点，满足条件. 当时，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件. 当时，在区间上，单调递减， 在区间和上，单调递增， 是的极小值点，不满足条件. 当时，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，，且时，， 所以在上，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 设，则. 令，则，当时，， 所以即在区间上单调递减，又， 所以，所以在区间上单调递减. 又，所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期六校期末考试考前模拟 高二年级数学 试题命题学校：菊潭高中 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔记清晰. 4.按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠､不破损. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知变量关于的线性回归方程为，且，则时，预测的值为（ ） A. 1.6 B. 3.2 C. D. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. 20 B. C. D. 22 3. 从中任取个数字，从中任取个数字，用这个数字组成的没有重复数字的五位数的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. 14 B. 18 C. 20 D. 30 5. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 7. 定义在上的偶函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108 B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则 10. 已知数列则下列说法错误的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 是单调递减数列 C. 数列的前20项和为-698860 D. 若，则 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在定义域上有2个零点，则的取值范围为 B. 当时，有最大值且最大值为 C. 一定存在极值 D. 若，且，则 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________. 13. 已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为__________. 14. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 某电影上映后，一所大学视觉传达设计专业的学生为了解观众对该部电影的特效的评价与年龄的关系，随机抽取了300名观众进行调查，得到如下列联表： 年龄段 评价 合计 好评 差评 青少年 120 150 中老年 60 150 合计 （1）请完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为年龄与对特效的评价有关联； （2）为了解青少年对电影特效的具体看法，视觉传达设计专业的学生设计了一个调查问卷进行调查，现从青少年中按评价情况用分层抽样的方法随机抽取5名观众，然后再利用随机抽样的方法抽取3人做进一步调研，记抽取的3人中给出好评的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 数列满足，.正项等比数列满足，. （1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 如图，在三棱锥中，为半圆的直径，是弧上异于的点.点在直线上，平面，其中为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. （1）求的方程； （2）若直线与的公共点个数为1，求的值； （3）已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 19. 已知函数. （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $