第二章一元二次方程（单元测试）2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第二章一元二次方程（单元测试）2024-2025学年九年级上册数学北师大版 一、单选题 1．关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．方程的左边配成完全平方后所得方程为（　　） A． B． C． D． 3．已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ）． A． B． C．2022 D．2023 4．若方程（b，c是常数）的解是，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 5．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为 8m，宽为 5m， 如果地毯中央长方形图案的面积为 18m2．则花边的宽是（ ） A．2m B．1m C．1.5m D．0.5m 6．一元二次方程+2x-6=0的根是（　　） A． == B．=0，=-2 C．=，=-3 D．=-，=3 7．已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（　　） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 8．已知是一元二次方程的两根，且，则k的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 10．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如下图1，2，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（    ） A．289 B．1225 C．1024 D．1378 二、填空题 11．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 ． 12．将一元二次方程化成的形式，则 13．已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是 ． 14．关于 x 的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 16．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为 ． 三、解答题 17．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）；       （2）； （3）；     （4）． 18．解方程∶ (1)；（用配方法） (2)．（用因式分解法） 19．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 20．小明发现规律：当a+b+c=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1=1，方程左边因式分解为(x﹣1)(ax﹣c)=0，则另一根为x2=． （1）请写出一个一元二次方程，使得方程的根为1和； （2）请根据小明发现的规律解方程：121x2﹣98x﹣23=0． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求m的值． 22．已知关于的方程有两个不相等的实数根、,且（2x1+x2）2-8(2x1+x2)+15=0. （1）求证：; （2）试用的代数式表示; （3）当时,求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】将代入方程可得：，解之求得的值，在根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ，即， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 2．B 【分析】按照一元二次方程配方法的解题步骤即可得到正确答案． 【详解】解： 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程的配方法，牢记知识点并能够正确应用是解题重点． 3．D 【分析】利用方程的解的定义和整体思想进行计算即可． 【详解】解：m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解以及已知式子的值求代数式的值．解题的关键是：理解方程的解的定义，利用整体思想进行解题． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法，熟悉换元法的解题步骤是解题关键．用换元法即可求解即可． 【详解】解：∵方程（b，c是常数）的解是， ∴方程的解是或， 解得：． 故选：A． 5．B 【分析】我们可设花边的宽为 x，则地毯的长为 （8﹣2x）m，宽为 （5﹣2x）m，根据面积为 18 平方米，即长与宽的积是 18 平方米，列出方程解答即可． 【详解】解：设花边的宽为 x，则地毯的长为（ 8﹣2x)m，宽为 (5﹣2x)m，根据题意列方程得 , 解得 x1=1，x2=5.5（不符合题意，舍去）． 所以，花边的宽为 1m． 故选：B． 【点睛】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 6．C 【详解】解：，a=1，b=，c=-6，∴△=b2-4ac==32＞0，∴x==，故选C． 7．D 【分析】把y=0代入所给的方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0，求出m的值即可． 【详解】把y=0代入（m-1）y2+my+4m2-4=0得： 4m2-4=0，即m2-1=0 解得：m1=1，m2=-1 当m=1时，关于y的方程由于二次项系数为0，不是一元二次方程， 所以m=-1． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，难度不大．本题易错，容易出现求出m就作答，忽略需满足方程是一元二次方程的条件． 8．B 【分析】根据根与系数的关系可得出，结合可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴． ∵， ∴-k-1=-3， 解得：k=2． 故选：B． 【点睛】一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两个实数根，则有： =， =． 9．C 【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可． 【详解】解：， 整理得：， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， 设方程两个根为、， ∵， ∴两个异号，而且负根的绝对值大． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：， 10．B 【分析】图1中求出1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2．然后把各数分别代入，若解出的n是正整数，则说明符合条件就是所求． 【详解】解：根据题意得：三角形数的第n个图中点的个数为； 正方形数第n个图中点的个数为n2． A、令=289，解得：n= （不合题意，舍去）；再令n2=289，n=±17；不符合条件，错误； B．令=1225，解得n1=49，n2=﹣50（不合题意，舍去）；再令n2=1225，n1=35，n2=﹣35（不合题意，舍去），符合条件，正确． C．令=1024，解得：n=（都不合题意，舍去）；再令n2=1024，n=±32；不符合条件，错误； D．令=1378，解得n1=52，n2=﹣53（不合题意，舍去）；再令n2=1378，n= （不合题意，舍去），不符合条件，错误． 故选B． 【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力． 11．/-2x+x2=0 【分析】直接利用已知要求得出符合题意的方程． 【详解】解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2-2x=0． 故答案为：x2-2x=0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键． 12．5 【分析】先把常数项移到方程右侧，两边加上4，利用完全平方公式得到，从而得到，，然后计算即可． 【详解】解：， ， ， 所以，， 所以． 故答案为5． 【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 13．1 【分析】把x=1代入x2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=-1，将其整体代入所求的代数式进行求值即可． 【详解】∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根， ∴12+a+b=0， ∴a+b=﹣1． ∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1． 故答案为：1 14．且 【分析】根据二次项系数非零以及，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：且； 故答案为：且． 【点睛】本题考查根的判别式．解题的关键是掌握，一元二次方程有两个实数根．注意二次项系数非零． 15．且 【分析】根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件先求出k的取值范围，再由根的判别式求出k的取值范围，再取共同的范围． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且，即且， 又∵它有两个不相等的实数根， ∴，解得， 综上：且． 故答案是：且． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握利用一元二次方程跟的判别式判断根的个数的方法． 16．或 【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以 PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解． 【详解】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图， ∵，AB⊥CF， ∴AB⊥AG， ∴∠GAB=∠ABF=90°， ∵D点为AB中点， ∴AD=BD， ∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED， ∴AP=BE， ∵AP=2t， ∴BE=2t， ∴E点坐标为(2t,0)， ∵AB=BC=3， ∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)， ∴Q点坐标为(t-3,0)， ∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合， ∴0＜t＜3， ∵BE=2t，BQ=3-t， ∴QE=BQ+EB=3+t， ∴利用勾股定理有：，，， 根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论： 当PQ=PE时，有， 整理：， 解得（负值舍去）， 当QE=PE时，有， 整理：， 解得（0舍去）， 综上所述：t的值可以为，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想． 17．（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）（2）是一般式，先根据判别式确定根的情况，再利用韦达定理即可；（3）(4)先整理成一般式，再根据判别式确定根的情况，然后利用韦达定理即可． 【详解】解：（1）∵， 且， ∴； （2）∵， 且， ∴； （3）方程化为， ∵， 且， ∴； （4）方程化为，∵，且， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键． 18．(1)， (2)， 【分析】（1）方程两边都加4得：，再化为，再利用直接开平方法解方程即可； （2）先移项，再把方程左边分解因式，化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】（1）解： ， 方程两边都加4得：， ∴ ∴ 解得：， （2）， 移项得：， ∴， ∴或， 解得：， 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与因式分解的方法解一元二次方程”是关键． 19．(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 20．（1）2x2﹣5x+3=0；（2）x1=1，x2= 【分析】（1）注意到方程有一个根为1，根据规律可取a=2，c=3，则可写出方程； （2）由方程各项的系数满足121﹣98﹣23=0，符合所给规律，然后根据规律求解即可． 【详解】解：（1）∵方程的根为1和， ∴可取a=2，c=3， ∴方程为（x﹣1）（2x﹣3）=0，即2x2﹣5x+3=0； （2）∵121x2﹣98x﹣23=0， ∴满足121﹣98﹣23=0， ∴方程有实数根x=1，因式分解为（x﹣1）（121x+23）=0， ∴x1=1，x2=． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，理解好题目中所给的规律是解题的关键． 21．(1)详 (2)m的值为或1 【详解】（1）证明： ∵，， ， ∴ ． ∵， ∴， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的两个实数根为，， ∴，． ∵，即， ∴． 整理，得． 解得，． ∴m的值为或1 22．（1）（2）或（3）1 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于n，k的不等式，结合不等式的性质，证出结论； （2）根据根与系数的关系，把x1+x2=k代入已知条件（2x1+x2）2-8（2x1+x2）+15=0，即可用k的代数式表示x1； （3）首先由（1）知n＜- k2，又n=-3，求出k的范围．再把（2）中求得的关系式代入原方程，即可求出k的值． 【详解】（1）证明:∵关于的方程有两个不相等的实数根, ∴△=,∴. 又,∴. （2）（2x1+x2）2-8（2x1+x2）+15=0 解得：2x1+x2-3=0或2x1+x2-5=0， 根据根与系数的关系，得x1+x2=k， 或 （3）∵n＜- k2，且n=-3， ∴k2<4即-2<k<2. 原方程化为：x2-kx+k2-3=0, 把x1=3-k代入，得到k2-3k+2=0, 解得k1=1,k2=2(舍去) 把x2=5-k代入，得到3k2-15k+22=0,,所以此方程无解. ∴k=1. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$