29.5《正多边形与圆》课件 2024-2025学年冀教版数学九年级下册

29.5 正多边形与圆 1.了解正多边形和圆的有关概念. 2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. (重点) 3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点） 学习目标 观察一组图形 问题 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？ 特点： 各边相等，各内角都相等的多边形. 观察与思考 正多边形 【定义】各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 只是各边相等的多边形是正多边形吗? 只是各角相等的多边形是正多边形吗? 正方形 菱形 正方形 矩形 缺一不可 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 不是，因为矩形不符合各边相等； 不是，因为菱形不符合各角相等； 注意 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 正多边形概念 思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢? 正多边形 问题 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 思考 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形. 什么叫做正多边形？ 问题1 问题 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 归纳 思考 探究1 如何在一个圆内画一个正多边形？ 把一个圆n（n≥3）等分，顺次连接各等分点，就得到一个正n边形. 圆的内接正n边形 正n边形的外接圆. 中心 半径 中心角 边心距 类比一下 A B O 圆心 中心 半径 半径 圆心角 中心角 弦心距 边心距 周长 面积 半径、边心距和边长的一半 小试牛刀1 如图，AC是⊙O的内接六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____. 典例精析 例1.（课本17页例1）用尺规作圆的内接正方形. 思考一：如何用尺规作正八边形？（在练习本上画出） 思考二：如何用尺规作正六边形？（在练习本上画出） 找到正n边形的中心角，就找到了圆的等分点.顺次连接即可. 如何做内接正n边形 我们就把这个正变形 思考：把一个圆分成相等的一些弧，连接起来，你可以得到什么？ 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆n(n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得到一个正n边形.我们把这个正n边形叫做圆的内接正n边形，这个圆叫做正n边形的外接圆，外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到边的距离叫做正多边形的边心距.随着边数的增加，正多边形的形状逐渐趋近于一个圆形。 正多边形与圆的位置关系 探究：正多边形与圆的关系 【回忆】圆心角、弧、弦的关系 A B C 在同圆或等圆中， 圆心角相等 弧相等 弦相等 ∠AOB=∠AOC AB=AC O 探究：正多边形与圆的关系 【回忆】三角形与圆的关系 A B C △ABC为⊙O的内接三角形 O A B C O D E F △ABC为⊙O的外切三角形 探究：正多边形与圆的关系 【思考】1.如图，点A、B、C将⊙O的圆周3等分，△ABC是否为正三角形? A B C O 答：△ABC为正三角形。 理由：根据同圆中等弧所对的弦相等，或所对的圆周角相等，都可以证明。 探究：正多边形与圆的关系 【思考】2.如图，点A、B、C将⊙O的圆周3等分，△DEF的三条边分别与⊙O相切于点A、B、C，那么△DEF是为正三角形吗? 连接OA、OB、OC A B C O D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 则∠1=∠2=∠3=∠4 ∵△DEF的三条边分别与⊙O相切于点A、B、C ∴∠OAD=∠OBD=∠OBE=∠OCE=900 ∴∠5=∠6=∠7=∠8 又 ∴AB=BC， ∴△ADB≌△BEC ∴∠D=∠E 同理∠E=∠F ∴∠D=∠E=∠F ∴△DEF是正三角形 我们以圆内接正五边形为例证明. 证明 ∵ AB=BC=CD=DE=EA （ （ （ （ （ ∴ AB=BC=CD=DE=EA , BCE=CDA=3AB （ （ （ ∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上 ∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCD的外接圆. 弧 相 等 弦相等（多边形的边相等） 圆周角相等（多边形的角相等） 正多边形与圆的位置关系 由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。 怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形. ①用量角器度量，使∠AOB=120°．再截取等弧 ②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30° A B C 圆内接正多边形的作法 用量角器等分圆： 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个 的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”. 这种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小． 归纳发现 你能尺规作出正方形、正六边形、正十二边形吗？ O R 圆内接正多边形的作法 (教材第17页例1)用尺规作圆的内接正方形. 已知:如图所示,☉O. 求作:正方形ABCD内接于☉O. 分析: 1.圆内接正方形的中心角是多少度? 2.作互相垂直的两条直径,能否得到圆的内接正方形?你能证明吗? 作法:(1)如图所示,作两条互相垂直的直径,AC,BD. (2)顺次连接AB,BC,CD,DA. 由作图过程可知,四个中心角都是90°, 所以AB=BC=CD=DA. 因为AC,BD都是直径, 所以∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 即四边形ABCD为☉O的内接正方形. 圆内接正多边形的作法 用尺规等分圆： 用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差． 归纳发现 问题1 O C D A B M 半径R 圆心角 弦心距r 弦a 圆心 中心角 A B C D E F O 半径R 边心距r 中心 类比学习 圆内接正多边形 外接圆的圆心 正多边形的中心 外接圆的半径 正多边形的半径 每一条边所 对的圆心角 正多边形的中心角 边心距 正多边形的边心距 正多边形的有关概念及性质 思考1 正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？ 正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 互补 思考2 正n边形的半径R、边心距r和边长a有什么关系？ 思考3 正n边形的面积怎么计算？ 正多边形的有关概念及性质 问题1 中心角 A B C D E F O 半径R 边心距r 中心 正多边 形边数 内角 中心角 外角 3 4 6 n 60 ° 120 ° 120 ° 90 ° 90 ° 90 ° 120 ° 60 ° 60 ° 正多边形的外角=中心角 完成下面的表格： 练一练 课堂练习 360 课堂练习 2.如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n= 15 3.如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，向内作正方形ABMN，连接MC. 求∠BCM的大小。 课堂练习 课堂小结 04.画正多边形的方法(量角器、尺规作图) 01. 正多边形的概念 02. 正多边形与圆的关系 03. 通过等分圆周的方法得到正多边形 圆内接正多边形 正多边形的定义与对称性 正多边形的有 关概念及性质 正多边形的 有关计算 ①正多边形的内角和 ②中心角 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 课堂小结 $$