29.4《切线长定理》课件 2024—2025学年冀教版数学九年级下册

29.4 切线长定理 知识回顾 1、圆的切线的判定定理内容是？ 2、圆的切线的性质定理内容是？ 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 圆的切线垂直于过切点的半径 探究新知 想一想：在下列三种情况下，分别能过点P作⊙O的几条切线？ 0条 1条 2条 A B 点在圆内 点在圆上 P P O O 点在圆外 P O 探究新知 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长， 叫作这点到圆的切线长. 如图： 的长度是点P到圆O的切线长 切线：是直线，无法度量 切线长：是切线上一条线段的长，可以度量 PA 、PB 切线和切线长有无区别？ A B O P 探究新知 想一想：连接PO，若沿直线PO将图形对折，会发生什么？ A B O P 点A、点B可能会重合 猜想： 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 验证猜想 A B O P 已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B. 求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB. 猜想： 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 连接OA、OB， ∵ PA切⊙O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵ OA=OB，OP=OP， ∴ Rt△OAP≌Rt△OBP（HL） ∴ PA=PB，∠OPA=∠OPB. 证： 符号语言： 归纳： ∵ PA、PB分别切⊙O于点A、B ∴ PA=PB，∠OPA=∠OPB. 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 切线长定理 A B O P 注：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法 1.切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 区分切线长与切线 2.切线长与切线的区别 ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. P A O C D 当堂练习 例1 已知：如图，过点P的两条直线分别与⊙O相切于点A，B，Q为劣弧AB上异于点A，B的任意一点，过点Q的切线分别与切线PA，PB相交于点C，D. 求证：△PCD的周长等于2PA. 证明：∵PA，PB，CD都是⊙O的切线， ∴PA=PB ， CQ=CA，DQ= DB. ∴△PCD的周长= PC+PD+CD = PC+PD+CQ+DQ = PC+PD+CA+DB = PA+PB=2PA. 练1 已知：如图，四边形ABCD的四边与圆0相切于点E,F,G,H, 求证：AB+CD=AD+BC 证明：∵AB,BC,CD,AD都是⊙O的切线， ∴AE=AH ， BE=BF，DH= DG， CG=CF ∴AB+CD= AE+BE+DG+CG = AH+BF+DH+CF = AD+BC 一起探究 问题1 从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？ 与三角形三边都相切的圆叫做内切圆 问题2 如何用尺规作图，做出与三角形三边都相切的圆？ A B C O D E F 结论：以三角形的三个角平分线的交点为圆心，以这个交点到三角形一边的距离为半径作圆. 作法： 1.作∠B和∠C的角平分线BM和CN，交点为I. 2.过点I作ID⊥BC.垂足为D. 3.以I为圆心，ID为半径作圆I. 例2 用尺规作圆，使其与已知三角形的三边都相切. 已知：如图，△ABC 求作：⊙I，使它与△ABC的三边都相切. A B C 练习 尝试做出课本13页图29-4-6 的内切圆。 4.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 3.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点. 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. B ┐ A C O ┐ ┐ D E F 三角形的内切圆 r r r 内切圆 外接圆 图 定义 圆心名称 圆心是什么线的交点 到什么距离相等 圆心相对于 三角形的位置 求半径公式 与三边相切 内心 三条角分线的交点 到三边距离相等 在内部 经过三个顶点 外心 三边中垂线的交点 到三顶点距离相等 在内部、外部或边上 Rt△外接圆半径R= 随堂练习 1. 已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm. 过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长. O P A 3cm 6cm 2. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm C x AF=AE CE=CD BF=BD BD=BF=11－x CD=CE=13－x BD+CD=BC (11－x )+(13－x )=14 2. 如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ= cm. 若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝ cm. 3 30° 3. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数. 解：由切线长定理可知PA ＝ PB. ∵PA是⊙O的切线. ∴∠OAP ＝ 90°. ∵∠BAC=25°，∴∠BAP=65°. 又∵PA＝PB，∴∠ABP＝∠BAP ＝ 65°. ∴∠P ＝ 180°－∠BAP－∠ABP ＝ 50°. $$